湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高一（上）联考数学试卷（12月份）（PDF版，含答案）

湖北省重点高中智学联盟 2024-2025 学年高一（上）联考数学试卷（12
月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
1.若 = { ∈ | ≤ 0}， = { |log5 < 1}，则 ∩ =( ) 8
A. {2,3,4} B. C. {1,2} D. {2,3}
2.已知 ， ， ∈ ，则下列结论中正确的有( )
1 1
A. 若 > 且 > ，则 > 0 B. 若 > > > 0，则 >

+
C. 若 > > > 0，则 < D. 若 > ，则 2 > 2
+
3.已知 > 1，则函数 = 与函数 = ( )的图像在同一坐标系中可以是( )
A. B.
C. D.
4.若 > 0， > 0，lg + lg = lg( + 2 )，则2 + 的最小值为( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
5.函数 ( )与指数函数 ( ) = ( > 0且 ≠ 1)互为反函数，且 ( )过点( 2,4)，则 (1) + (2) =( )
1
A. 1 B. 0 C. 1 D.
4
6.已知 = 2 43， = log 8， = 30.64 ，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1
( ) 1, 0
7.已知函数 ( ) = { 2 ，若 ( ( )) + 3 ≥ 0，则实数 的取值范围是( )
2 + 2 , > 0
A. [3, +∞) B. ( ∞, 2] C. ( ∞, 3] D. [ 2, +∞)
8.已知定义在 上的奇函数 = ( )，对于 ∈ 都有 (1 + ) = (1 )，当 1 ≤ < 0时， ( ) =
log2( )，则函数 ( ) = ( ) 2在(0,8)内所有的零点之和为( )
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A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中最小值为2的是( )
A. ( ) = + 2 B. ( ) = ( 22 + 4)
2+2 1
C. ( ) =
2
D. ( ) = 2 √ 1 +
+1 8
10.下列命题为真命题的是( )
1
A. 幂函数 ( )的图象过点 ( , 2)，则 ( ) = 2
4
B. 函数 ( )的定义域为 ，若 ( )是奇函数， ( + 1)是偶函数，则 (2024) = 0
C. 函数 ( ) = 2 + 2 3的零点是( 3,0)，(1,0)
3
D. 函数 ( ) = ln 的零点所在区间可以是(2,3)

11.已知函数 = ( )的定义域为 ，区间 ，若存在非零常数 ，使得对任意 ∈ ， + ∈ ，都有 ( +
) < ( )，则称函数 ( )是区间 上的“ 衰减函数”.下列说法正确的有( )
1
A. 函数 ( ) = 是( 2, 1)上的“1 衰减函数”

B. 若函数 ( ) = 2是( 2, 1)上的“ 衰减函数”，则 的最大值为1
C. 已知函数 ( )为偶函数，且当 ≥ 0时， ( ) = | | ( > 0)，若 ( )是( 2, 1)上的“1 衰减函
1
数”，则 的最大值为
2
D. 已知函数 ( )为奇函数，且当 ≥ 0时， ( ) = | | ( > 0)，若 ( )是( 2, 1)上的“1 衰减函
2
数”，则 的最小值为
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设lg 2 = ，lg 3 = ，则log512 =__________. (结果用 和 表示)
13.“4 + < 0”是“ 2 2 > 0”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ．
3 2
14.已知实数 ， 满足4 + 2 = 3， 2 √3 + 1 + = ，则2 + 3 =__________． 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知命题 ：函数 ( ) = log3 在区间( , 9)上没有零点；命题 ： 0 ∈ [0,2]，使得
2
0 3 0 + 5 > 09
成立．
(1)若 和 均为真命题，求实数 的取值范围；
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(2)若 和 其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若景区开业后的第一年接待游客 万人，则需
9, &0 < ≤ 3,
2
另投入成本 ( )万元， ( ) = { + 24 60, &3 < < 30,景区门票价格为64元/人．
900
65 + 420, & ≥ 30,

(1)求该景区开业后的第一年的利润 ( )(万元)关于人数(万人)的函数解析式．
(2)当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润是多少？
17.(本小题15分)
2 ( + 1), & > 0
在① ( ) = ，② ( ) = 4(√ 2 + )，③ ( ) = {
3 这三个条件中任选
2 +1 3( + 1), & ≤ 0
一个补充在下面的问题中，并加以解答．
已知__________，若函数 ( )为奇函数，且函数 = ( )的零点在区间( 2,3)内，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数 ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，且 ， ∈ ( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，都有 ( ) = ( ) + ( )成
立．
(1)求 (1)， ( 1)的值，并判断 ( )的奇偶性．
( )
(2)已知函数 ( ) = ，当 > 1时， ( ) < 0．

( )判断 ( )在(0, +∞)上的单调性；
( )若 ∈ [0,1]均有 ( 2 + 1) + (2 ) < (2)，求满足条件的最小的正整数 ．
19.(本小题17分)
当 > 0且 ≠ 1时，log ( × ) = log + log 对一切 > 0， > 0恒成立．学生小刚在研究对数运算
时，发现有这么一个等式log2(1 × 1) = log21 × log21，带着好奇，他进一步对log2( × ) = log2 × log2
进行深入研究．
(1)若正数 ， 满足log2( × ) = log2 × log2 ，当 = 8时，求 的值；
(2)除整数对(1,1)，请再举出一个整数对( , )满足log2( × ) = log2 × log2 ；
(3)若 > 1，求使得等式log2( × ) = log2 × log2 成立的正整数对( , ).
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2 +
12.【答案】
1
13.【答案】{ 丨 4}
14.【答案】2
1
15.【答案】解：(1)函数 ( ) = log3 在区间( , 9)上单调递增， 9
1
若 为真命题：∴ ( ) = log3 在区间( , 9)上没有零点， 9
1 1
∴ ( ) = log
9 3
= 2 ≥ 0或者 (9) = log39 = 2 0， 9
得 ≤ 2或 ≥ 2；
若 为真命题：令 ( ) = 2 3 + 5 (0 ≤ ≤ 2)，∴ < 2 3 + 5有解，即 < 5，
故 和 均为真命题，则{ 2 或 2
< 5
所以(1) ， 均为真命题， 的范围为： ≤ 2或2 ≤ < 5；
(2) ， 一真一假，
2 或 2
若 真， 假，则{ ，解得 的取值范围是 ≥ 5;
5
2 < < 2
若 假， 真，则{ ，即 2 < < 2，
< 5
∴ 的取值范围是 ≥ 5或 2 < < 2．
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64 200 9,0 < ≤ 3,
16.【答案】解：(1) ( ) = {64 200 (
2 + 24 60),3 < < 30,
900
64 200 (65 + 420), ≥ 30,

64 209,0 < ≤ 3,
即 ( ) = {
2 + 40 140,3 < < 30,
900
+ 220, ≥ 30.

(2)当0 < ≤ 3时， ( )单调递增， ( )max = (3) = 17(万元)．
当3 < < 30时， ( )max = (20) = 260(万元)．
900 900
当 ≥ 30时， ( ) = ( + ) + 220 ≤ 2√ + 220 = 160，当且仅当 = 30时，等号成立．

综上，当该景区开业后的第一年接待游客20万人时，获得的利润最大，最大利润为260万元．
17.【答案】解：选 ①；
∵ ( )是奇函数，
2 2
∴ ( ) + ( ) = + = 0，得 = 1． 2 +1 2 +1
2
∴ ( ) = 1 ，经检验，满足题意， 2 +1
易知 ( )在 上是增函数，且 (0) = 0，
∴ ( )有唯一零点0，
∵函数 = ( )的零点在区间( 2,3)内，
∴ = 0在( 2,3)上有解，
∴ = ，即 ∈ ( 2,3)．
选 ②；
∵ ( )是奇函数，
∴ ( ) + ( ) = log4(√ 2 + ) + log4(√ 2 + + ) = 0，
得 = 1，经检验，满足题意，
∴ ( ) = log4(√ 2 + 1 + )，易知 ( )在 上是增函数，且 (0) = 0，
∴ ( )有唯一零点0，
∵函数 = ( )的零点在区间( 2,3)内，
∴ = 0在( 2,3)上有解，
故 ∈ ( 2,3)．
选 ③；
当 < 0时， > 0，
∴ ( ) = log3( + 1)，
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∵函数 ( )是定义在 上的奇函数，
∴ ( ) = log3( + 1)，
∴ ( ) = log3( + 1)( < 0)，
得 = 1，经检验，满足题意，
log ( + 1), > 0,
∴ ( ) = { 3 易知 ( )在 上是增函数，且 (0) = 0，
log3( + 1), ≤ 0,
∴ ( )有唯一零点0．
∵函数 = ( )的零点在区间( 2,3)内，
∴ = 0在( 2,3)上有解，
∴ = ，即 ∈ ( 3,2)．
18.【答案】解：(1)令 = = 1，得 (1) = 2 (1)，解得 (1) = 0，
令 = = 1，得 (1) = 2 ( 1) = 0，故 ( 1) = 0．
令 = 1，得 ( ) = ( 1) ( )，即 ( ) = ( )，
又 ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，关于原点对称，所以 ( )是奇函数．
( ) ( ) ( )
(2)( )由 ( ) = ( ) + ( )，可得 = + ，

即 ( ) = ( ) + ( )．
1， 2 ∈ (0, +∞)且 1 < 2，

有 ( ) = ( 2) = ( ) + ( 22 1 1 )， 1 1

因为 22 > 1 > 0，所以 > 1， 1

从而 ( 2) < 0，得 ( 2) ( 1) < 0， 1
因此 ( )在(0, +∞)上单调递减．
( ) ( )
( )因为 ( ) = = = ( )， ∈ ( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，所以 ( )是偶函数．

( 2 + 1) + (2 ) = ( 4 + 2 ) < (2)，而 ( )在(0, +∞)上单调递减，
则有 4 + 2 > 2或 4 + 2 < 2，由题可知，只需考虑 4 + 2 > 2成立，
2 2 1 2 1 1 1 2 1
从而有 > = 2 ( ) 4 2 2
= 2 ( ) ． 2 4 8
1 1 1 1 2 1
因为 ∈ [0,1]，所以 ∈ [ , 1]，则2 ( ) 的最大值在 = 0处取到， 2 2 2 4 8
1 2 1
故只需 > 2 (1 ) = 1．
4 8
综上，满足条件的最小的正整数 = 2．
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19.【答案】(1)解：∵ log2(8 ) = log28 × log2 = 3log2 ，
∴ log28 + log2 = 3log2 ，即2log2 = 3，
3
∴ = 22 = 2√ 2．
(2)解：log2(4 × 4) = log24 × log24，
所以整数对(4,4)满足．
(3)证明：∵ log2( × ) = log2 × log2 ，
∴ log 2 + log2 = log2 × log2 ，且 ， ∈ ．
当 = 2时，1 + log2 = log2 ，显然无解．
当 = 3时，log23 + log2 = log23 × log2 ，
log23可得log2 = = log33，无正整数解， log23 1 2
同理，当 = 2和 = 3时， 也无正整数解．
log 1
当 ≥ 4， ≥ 4时，log2 =
2 = 1 + ，
log2 1 log2 1
1
∵ log2 ≥ 2，∴由复合函数单调性可得1 + ∈ (1,2]， log2 1
又∵ log2 ≥ 2，∴当且仅当 = = 4时，原等式成立，
即若 > 1，使得等式log2( × ) = log2 × log2 成立的正整数对仅(4,4)．
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