上海市向明中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

上海市向明中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.当我们停放自行车时，只要将自行车的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了( )
A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面
C. 两条相交直线确定一个平面 D. 两条平行直线确定一个平面
2.若(3 + 2 ) ( ∈ )的展开式中第5项的二项式系数最大，则 不可能取值( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3.已知无穷等比数列{ }，若∑
+∞
=1 = 3，则∑
+∞
=1 | |的取值范围为( )
A. {3} B. [3,+∞) C. (0,3] D. (0,+∞)
4.设 为数列{ }的前 项和， 为常数且 ∈ ， ≥ 2，有以下两个命题：
①若{ }是公差不为零的等差数列，则 1 2 … = 0是 1 2 … 2 1 = 0的充分非必要条件；
②若{ }是等比数列，则 + +1 = 0是 1 2 … = 0的充要条件，那么( )
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①、②都是真命题
C. ①是假命题，②是真命题 D. ①、②都是假命题
二、填空题：本题共 12 小题，共 42 分。
5.空间中，直线与平面所成角的范围为______．
6.表面积为16 的球的半径为______．
7.空间垂直于同一直线的两直线的位置关系为______．
8.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为______．
29.满足等式 16 =
5 5
16 的所有整数 组成的集合为______．
2 110.(2 )6展开式中 3项的系数为______. (用数字作答)

11.已知数列{ }的通项公式为 =
2 ，若数列{ }是严格增数列，则实数 的取值范围是______．
12.设 ， ∈ ，向量 = ( , 1,1), = (1, , 1), = (2, 4,2)且 ⊥ , // ，则| + | =______．
13.将4本不同的书分给3位同学，每人至少一本，不同的分法有______种.
14.将一个棱长为 的正方体切成64个全等的小正方体，其表面积增加了______．
15.已知棱长为1的正方体 1 1 1 1中， 为侧面 1 1 中心， 在棱
上运动，
正方体表面上有一点 满足 = 1 1 + 1 ( ≥ 0, ≥ 0)，则所有满足
条件的 点构成图形的面积为______．
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16.从1、2、3、…、10这10个数中任取4个不同的数 1、 2、 3、 4，则存在1 ≤ < ≤ 4且 ， ∈ ，使
得| | = 1的取法种数为______. (用数字作答)
三、解答题：本题共 5 小题，共 46 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图所示，已知点 ∈平面 ，且直线 ∩直线 = ，点 ， 与点 ， 分别在平面 的两侧，直线 ∩ = ，
直线 ∩ = .求证： ， ， 三点共线．
18.(本小题8分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = = 1 = 2，点 ， 分别为棱 ， 1 1的中点．
(1)求异面直线 1 与 的夹角；
(2)求点 到平面 1 1 的距离．
19.(本小题10分)
已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1．
(1)若数列{ }为等差数列， 10 = 100，求数列{ }的通项公式；
1
(2)若数列{ }为等比数列， 4 = ，求满足 > 100 时，正整数 的最小值． 8
20.(本小题10分)
如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥 ，四边形 是等腰梯形， // ， ∩ = ， ⊥
平面 ，∠ = 90°， = 1， = 2， 在 上．
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(1)为保证风筝飞行稳定，需要在 处引一尼绳，使得 = 3 ，求证：直线 //平面 ；
(2)实验表明，当tan∠ = 2时，风筝表现最好，求此时直线 与平面 所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
如图，已知四面体 中， ⊥平面 ， ⊥ ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中， = = = 1，
有一根彩带经过面 与面 ，且彩带的两个端点分别固定在点 和点 处，求彩带的最小长度；
(3)若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 1；任取两个面，记它们互相垂直的概率为 2；
任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为 3.试比较概率 1、 2、 3的大小．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】

5.【答案】[0, ]
2
6.【答案】2
7.【答案】平行、相交、异面
8.【答案】2
9.【答案】{1,3}
10.【答案】 160
11.【答案】( ∞, 3)
12.【答案】3
13.【答案】36
14.【答案】18 2
11
15.【答案】
8
16.【答案】175
17.【答案】证明：直线 与 相交，可以唯一确定一个平面，设两直线确定的平面为 ，
又由 ∈平面 且 ∈平面 ，所以，点 ∈两平面交线 ，
同理，点 ， ∈ ，所以三点共线．
18.【答案】解：(1)以 为原点建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， 1(0,2,2)， (1,0,0)， (1,0,2)，
所以 1 = (1, 2, 2)， = (1,0,2)，

设直线 1 与直线 的夹角为 ，则 = |cos <
| 1 |
1 ， > | = =| | | 1 |
|1 4| √ 5
= ，
3×√ 5 5
故直线 1 与直线 的夹角为
√ 5
arccos ．
5
(2)由(1)知 1(2,0,2)，
所以 1 1 = ( 2,2,0)， = (0,0,2)，
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= 2 + 2 = 0
设平面 1 1 的法向量为 = ( , , )，则{
1 1 ，
1 = 2 2 = 0
令 = 1，则 = ( 2, 2,1)，
| | |0+0+2| 2
所以点 到平面 = =1 1 的距离为 | |
√ 2 2
3．
( 2) +( 2) +12
19.【答案】解：(1)根据题意，设等差数列{ }的公差为 ，
又由 1 = 1， 10 = 100，
10×9
则 10 = 10 1 + = 100， 2
10×9
又 1 = 1，则10 + = 100，解得 = 2， 2
所以 = 2 1；
(2)根据题意，设{ }的公比为 ，
1
1 = 1， 4 = ， 8
则 3

= 4
1 1
= ，解可得 = ，
1 8 2
(1 ) 1 1
则 =
1 = 2 2 ( ) ，而 = ( )
1，
1 2 2
1 1
若 > 100

，则有2 2 ( ) > 100( )
1，
2 2
化简得2 > 101，
又由 ≥ 1且 ∈ ，
则有 ≥ 7，
的最小值为7．
20【. 答案】(1)证明：四边形 是等腰梯形， // ，∴ = 1， = 2，
1
连接 ，∴ = = ，∴ // ，
3
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
(2)解：∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，

∵ tan∠ = 2，∴ = 2，∴ = 2，

∵ ⊥ ，
∴以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，
∴ (0,0,0)， (0,0,2)， (0, 1,0)， (0,2,0)， (2,0,0)，
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∴ = (0, 1, 2), = (0,2, 2), = (2,0, 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 2 = 0
∴ { ，
= 2 2 = 0
令 = 1，∴ = 1， = 1，∴ = (1,1,1)，
| | 3 √ 15
设 与平面 所成角为 ， = |cos < , >= = = ．
| || | √ 5×√ 3 5
与平面 所成角的正弦值为√ 15．
5
21.【答案】(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)将面 与面 沿 展开成如图所示的平面图形，连接 ，
由(1)知：∠ = 90°，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 = = = 1，
所以∠ = 45°，
3
故展开后∠ = ，
4
所以彩带的最小长度为此平面图中 长，
由余弦定理得： 3 = √ 2 + 2 2 ∠ = √ 12 + 12 2 = √ 2 + √ 2，
4
所以彩带的最小长度为√ 2 + √ 2；
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(3)6条棱中任选2条，共有 26 = 15种情况，
其中 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
5 1
所以 1 = = ， 15 3
四个面任取两个面，共有 24 = 6种情况，
其中平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ，
3 1
故 2 = = ， 6 2
任取一个面和不在此面上的一条棱，先从四个平面任选一个平面，有 14种情况，
再从不在此面上的三条棱中选1条，有 13种情况，故共有
1 14 3 = 12种情况，
其中满足垂直关系的有2种，分别为平面 和棱 ，平面 和棱 ，
2 1
故 3 = = ， 12 6
所以 3 < 1 < 2．
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