安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

安徽省阜阳市第三中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 ≤ < 2}， = { | ≥ 1}，则 ∩ =( )
A. { | 1 ≤ ≤ 1} B. { | ≥ 1} C. { | > 2} D. { |1 ≤ < 2}
2.设 ∈ ，使得不等式 2 2 8 < 0成立的一个充分不必要条件是( )
A. { | 2 < < 4} B. { | > 2} C. { |2 ≤ ≤ 3} D. { | < 4}
3.角 的终边与65°的终边关于 轴对称，则 =( )
A. 180° 65°( ∈ ) B. 360° 65°( ∈ )
C. 180° + 115°( ∈ ) D. 360° + 115°( ∈ )
( 1)
4.函数 ( + 1)的定义域为[ 2,2]，函数 ( ) = ，则 ( )的定义域为( )
√ 2 1( 2)
1 1
A. [0,2) ∪ (2,4] B. [ 1,2) ∪ (2,3] C. ( , 2) ∪ (2,4] D. ( , 2) ∪ (2,3]
2 2
2 +5
5.函数 ( ) = | |的图象可能是( )
3
A. B.
C. D.
1 1 1 1 3
6.设 = ( )3， = ( )2， = ln ，则( )
2 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.已知函数 = ( )的图象与函数 = ( > 0且 ≠ 1)的图象关于直线 = 对称，记 ( ) = ( )[ ( ) +
1
2 (2) 1]，若 = ( )在区间[ , 2]上是增函数，则实数 的取值范围是( )
2
1 1
A. [2, +∞) B. (0,1) ∪ (1,2) C. [ , 1) D. (0, ]
2 2
8.已知函数 ( ) = (4 + 1) + √ 22 1，则关于 的不等式 ( + 2) > (2 )解集为( )
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2 2 1 2 1 1 1 1
A. ( , 2) B. ( 1, ) ∪ [ , 2) C. ( , ] ∪ [ , 2) D. ( 1, ] ∪ [ , 2)
3 3 2 3 2 2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的有( )
A. “ = 0”是“ 2 + 2 = 0”的必要不充分条件
B. 已知命题“ ∈ ， 2 2 + 3 ≠ 0”，则该命题的否定为“ ∈ ， 2 2 + 3 = 0”
C. “ 2 2 > 0”是“ > 2”的充分不必要条件
D. “关于 的方程 2 + ( 1) + 1 = 0至多有一个实数根”的必要条件可以是 2 ≤ ≤ 4
10.下列命题中，正确的是( )
A. 若 < ，则 2 < 2
+
B. 若 > > 0， > 0，则 >
+
1 1
C. 若 < ，则 >

D. 若 2 < < 3，1 < < 4，则 5 < 2 < 8
+2 + 2
11.设 ， 为正数，且 = ( > 0且 ≠ 1)，则( ) 3 4
2 81
A. + 的最小值是2 B. 的最大值是
2 16
9 81
C. + 2 的最大值是 D. 2 + 4 2的最大值是
2 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 = 2 1 1( > 0, ≠ 1)的图象恒过定点______．
13.已知函数 = lg( 2 + + 1)的值域是 ，则实数 的取值范围是______．
4
14.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≥ 1时， ( ) = + 3，当0 < < 1时， ( ) = 1 4 ，

若函数 ( ) = [ ( )]2 ( ) 1恰有4个零点，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
化简求值．
3 27 2 1 1
(1)(3 )0 + √ + (0.008) 3 × ( )2；
8 4
(2)lg225 + 25 × 16 ( 232 + 9 2)( 23 + 83) + lg 4．
16.(本小题15分)
在① ∩ = ；② ∪ = ；③ 这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
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问题：已知集合 = { ∈ |( 1)( + 2) > 0}， = { ∈ | = √ + , ∈ }．
(1)当 = 1时，求 ∩ ；
(2)若_____，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内(

以30天计)的日销售价格 ( )(元)与时间 (天)的函数关系近似满足 ( ) = 1 + ( 为常数).该商品的日销售

量 ( ) = | 25| + (个)与时间 (天)部分数据如表所示：
(天) 10 20
( )(个) 110 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(Ⅰ)求出该函数 ( )和 ( )的解析式；
(Ⅱ)求该商品的日销售收入 ( )(1 ≤ ≤ 30, ∈ + )(元)的最小值．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 1 + log 2 ， ( ) = 2 ．
(1)若 ( ) = ( ( )) ( ( ))，求函数 ( )在区间[2,5]上的值域；
( ) 1 2 3 2023
(2)若 ( ) = ，求证： ( ) + (1 ) = 1，并求 ( ) + ( ) + ( ) + + ( )的值；
( )+√ 2 2024 2024 2024 2024
(3)令 ( ) = ( ) 1，则 ( ) = 2( ) + (4 ) ( )，已知函数 ( )在区间[1,4]上有零点，求实数 的取
值范围．
19.(本小题17分)
+ ( )
设函数 = ( )在区间 上有定义，若对任意 1 ∈ ，都存在 2 ∈ 使得：
1 2 = ，则称函数 = ( )
2
在区间 上具有性质 ( )．
(1)判断函数 ( ) = 2 在 上是否具有性质 (0)，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = 3 1在区间[0, ]( > 0)上具有性质 (1)，求实数 的取值范围；
(3)设 ∈ [0,2]，若存在唯一的实数 ，使得函数 ( ) = 2 + 2 + 3在[0,2]上具有性质 ( )，求 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(1,1)
1
13.【答案】[0, ]
4
3 3
14.【答案】[ , ]
2 2
3 1000 2 1
15.【答案】(1)原式= 1 + ( )3 ×
2 8 2
1 1
= + 25 × = 12；
2 2
1
(2)原式= 4 25 + 8 5 × 2 (1 + 9 3 + 9 2 × 83 + ) + 4
22
3
2 4 1 1= 4(lg 5+ 2 5 × 2 + lg22) ( + + )
3 2 6
= 4( 5 + 2)2 2
= 2．
16.【答案】解：(1)集合 = { |( 1)( + 2) > 0} = { | < 2或 > 1}，
当 = 1时， = { ∈ | = √ + 1, ∈ } = { | ≥ 1}，
所以 = { | < 1}，
所以 ∩ = { | < 2}．
(2)由集合 = { | < 2或 > 1}和 = { | ≥ }，
若选择①：由 = { | < 2或 > 1}，得 = { | 2 ≤ ≤ 1}，
要使 ∩ = ，则 > 1，解得 < 1，所以实数 的取值范围是{ | < 1}；
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若选择②：由 ∪ = ，即 ，可得 > 1，解得 < 1，所以实数 的取值范围是{ | < 1}；
若选择③：由 ，可得 ，可得 > 1，解得 < 1，
所以实数 的取值范围{ | < 1}．

17.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，第10天该商品的日销售收入为 (10) (10) = (1 + ) × 110 = 121，解得
10
= 1，
1
所以 ( ) = 1 + ，

由表格可知， (10) = 110， (20) = 120，
又 ( ) = | 25| + ，
|10 25| + = 110 = 1
所以{ ，解得{ ，
|20 25| + = 120 = 125
所以 ( ) = 125 | 25|(1 ≤ ≤ 30. ∈ )；
100 + , 1 ≤ < 25, ∈
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， ( ) = 125 | 25| = { ,
150 , 25 ≤ ≤ 30, ∈
100
+ + 101,1 ≤ < 25, ∈
所以 ( ) = ( ) ( ) = { ,
150
+ 149,25 ≤ ≤ 30, ∈

100
当1 ≤ < 25时， = + 在[1,10]上单调递减，在[10,25)上单调递增，

所以当 = 10时， ( )取得最小值为 (10) = 121；
150
当25 ≤ ≤ 30时， = 单调递减，

所以当 = 30时， ( )取得最小值 (30) = 124．
综上所述，当 = 10时， ( )取得最小值为121，
故该商品的日销售收入 ( )的最小值为121元．
18.【答案】解：(1) ( ) = ( ( )) ( ( )) = (1 + 2 ) 21+ 2 2 = (1 + ) 2 × 2
2 = 2 (1 + ) =
1 1
2 2 + 2 = 2( + )2 ，
2 2
当 ∈ [2,5]时，函数 ( )为增函数，
则函数 ( )的最大值为 (5) = 60，函数 ( )的最小值为 (2) = 12，
所以，函数 ( )的值域为[12,60]．
( ) 2
(2)证明：若 ( ) = ，则 ( ) = ，
( )+√ 2 2 +√ 2
2 21 2 2 21
∴ ( ) + (1 ) = + = + 2 +√ 2 21 +√ 2 2 +√ 2 2 (21 +√ 2)
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2 2 2 √ 2
=
2
+ = + = 1，
+√ 2 2+ 2 2 2 √ +√ 2 √ 2+2
1 2 3 2023
设 ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) = ，
2024 2024 2024 2024
2023 2022 2021 1
则 ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) = ，
2024 2024 2024 2024
1 2023 2 2022 2023 1
两式相加：[ ( ) + ( )] + [ ( ) + ( )] + + [ ( ) + ( )] = 2 ，
2024 2024 2024 2024 2024 2024
2023 1
所以2023[ ( ) + ( )] = 2 ，
2024 2024
即2 = 2023，
2023
则 = ，
2
1 2 3 2023 2023
故 ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) = ．
2024 2024 2024 2024 2
(3) ( ) = ( 22 ) + (4 ) 2 + 4 ，
设 = log2 ，当 ∈ [1,4]时， ∈ [0,2]，
则函数 ( )等价于 = ( ) = 2 + (4 ) + 4 ，
若函数 ( )在区间[1,4]上有零点，则等价于 = ( ) = 2 + (4 ) + 4 在 ∈ [0,2]上有零点，
即 ( ) = 2 + (4 ) + 4 = 0在区间[0,2]上有解，
所以， 2 + 4 + 4 (1 + ) = 0在区间[0,2]上有解，
2
2+4 +4 ( +1) +2( +1)+1 1
所以， = = = + 1 + + 2，
1+ +1 +1
1
设 = + 1，则 ∈ [1,3]，则 = + + 2，

1 16
因为函数 ( ) = + + 2在区间[1,3]上单调递增，且 (1) = 4， (3) = ，
3
16 16
当1 ≤ ≤ 3时， ( ) ∈ [4, ]，所以，4 ≤ ≤ ，
3 3
16
所以，实数 的取值范围是[4, ]．
3
19.【答案】解：由已知得对任意 1 ∈ ，都存在 2 ∈ 使得 ( 2) = 1 + 2 ，即函数 = + 2 ， ∈
的值域为 = ( )， ∈ 值域的子集，
(1)因为 ( ) = 2 的值域为 +， = 的值域为 ，显然 不是 +的子集，即函数 ( ) = 2 在 上不具有性
质 (0)；
(2)函数 ( ) = 3 1在区间[0, ]( > 0)的值域为[ 1,3 1]，函数 = + 2在[0, ]上的值域为[ +
2,2]，
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+ 2 ≥ 1
要使函数 ( )具有性质 (1)，只需{ ，解得1 ≤ ≤ 3，即 的取值范围为[1,3]；
2 ≤ 3 1
(3)由题意 = + 2 的值域为[2 2,2 ]，
因为 ∈ [0,2]，所以 ( ) = 2 + 2 + 3的对称轴 = ∈ [0,2]，且开口向下，
所以 ( )的最大值为 ( ) = 2 + 3，又 (0) = 3， (2) = 4 1，
2 2 = 3 5
当3 ≤ 4 1，即2 ≥ ≥ 1时， ( )的值域为[3, 2 + 3]，要满足题意，只需{
2 = 2
，解得 = ， =
+ 3 2
√ 2 > 1，符合题意；
2 2 = 4 1
当4 1 < 3，即0 ≤ < 1时， ( )的值域为[4 1, 2 + 3]，要满足题意，只需{ 2 ，解得 =2 = + 3
2 ± √ 2，所以 = 2 √ 2符合题意，
综上， 的取值为2 √ 2，√ 2．
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