福建省福州市闽侯县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

福建省闽侯县第一中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 2 2 2
1.曲线 + = 1与曲线 + = 1( < 4)的( )
9 4 9 4
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等
2.已知数列{ }的通项公式为 =
2 + ，且2和7是{ }中的两项，则 =( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 3
3.已知中心在原点的双曲线 的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为(0, √ 10)，则 的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2
A. = 1 B. 2

= 1 C. = 1 D. = 1
2 8 4 4 6 8 2
4.设 为“ + +3 = +1 + +2”， 为“{ }是等差数列”，则 是 的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若直线 ： 4 = 0与圆 ： 2 + 2 = 4相离，则点 ( , )( )
A. 在圆 外 B. 在圆 内 C. 在圆 上 D. 位置不确定
2 2
6.设 为椭圆 + = 1上一动点， 1， 2分别为椭圆的左、右焦点， ( 1,0)，则| 2| + | |的最小值为( ) 25 9
A. 8 B. 7 C. 6 D. 4
3 2 + 7.设等差数列{ }和{ }的前 项和分别为 和 ，若 = ，则
1 17 =( )
+2 2+ 18
7 9 25
A. B. C. D. 2
3 4 12
8.已知 为抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点，△ 的三个顶点都在 上，且 为△ 的重心.若| | +
| |的最大值为10，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列{ }的前 项和为 ， 9 = 27， 2 + 10 = 10，则( )
A. 1 = 5 B. 6 = 2 C. ≥ 3 D. 7 = 7
10.已知直线 的方程为 = 0， (1, 1)， (3,3)，则下列结论正确的是( )
A. 点 不可能在直线 上
B. 直线 恒过点(1,0)
C. 若点 ， 到直线 的距离相等，则 = 2
D. 直线 上恒存在点 ，满足 = 0
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11.如图，在三棱锥 中， ⊥ ， ⊥平面 ， = = = 2，
， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点， 是 的中点， 是线段 上
的动点，则( )
A. 存在 > 0， > 0，使得 = +
B. 不存在点 ， ，使得 ⊥
C. |
√ 5
|的最小值为
2
√ 10
D. 异面直线 与 所成角的余弦值为
5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在空间直角坐标系 中，点 ( , 0,2 3)与 ( , 0, )关于原点 对称，则点 的坐标为______．
13.记数列{ }的前 项和为 ，已知 +1 + 1 = 2 + 2 ( ≥ 2)且 1 = 1， 2 = 3，则 = ______．
14.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为
“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短
2 2
半轴长的平方和.如图为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)及其蒙日圆 ， 的离心
√ 6
率为 ，点 ， ， ， 分别为蒙日圆 与坐标轴的交点， ， ， ， 分
3
别与 相切于点 ， ， ， ，则四边形 与四边形 的面积的比值为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设{ }为递增的等差数列，其前 项和为 ，已知
2
1 = 6，且2 5 = 3．
(Ⅰ)求{ }的通项公式；
(Ⅱ)求使 > 3 成立的 的最小值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形． = = 2, = 4, = 2√ 2, = 2√ 5, 为 的
中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
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17.(本小题15分)
已知 是抛物线 ： 2 = 2 (0 < < 3)的焦点， ( 0, 4)是 上一点，且 在 的准线上的射影为 ，| | = 5．
(1)求 的方程；
4
(2)过点 作斜率大于 的直线 与 交于另一点 ，若△ 的面积为3，求 的方程．
3
18.(本小题15分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为2，左、右焦点分别是 1， 2， 是 的右支上一点， 1
的中点为 ，且| 1| | | = 1( 为坐标原点)， 是 的右顶点， ， 是 上两点(均与点 不重合)．
(1)求 的方程；
(2)若 ， 不关于坐标轴和原点对称，且 的中点为 ，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
(3)若 ， 不关于 轴对称，且 ⊥ ，证明：直线 过定点．
19.(本小题17分)
在空间直角坐标系 中，已知向量 = ( , , )，点 0( 0, 0, 0).若平面 以 为法向量且经过点 0，则
平面 的点法式方程可表示为 ( 0) + ( 0) + ( 0) = 0，一般式方程可表示为 + + +
= 0．
(1)若平面 1： + 2 1 = 0，平面 1：2 + 1 = 0，直线 为平面 1和平面 1的交线，求直线 的方向
向量(写出一个即可)；
(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为 2、 2、 ，其中平面 2经过点 (4,0,0)，点 (3,1, 1)，点 ( 1,5,2)，
平面 2： + = 4，平面 ： + ( + 1) + ( + 2) + 3 = 0，求出点 到平面 的距离；
(3)已知集合 = {( , , )|| | ≤ 1，| | ≤ 1，| | ≤ 1}， = {( , , )|| | + | | + | | ≤ 2}，记集合 中所有点
构成的几何体的体积为 1， ∩ 中所有点构成的几何体的体积为 2，求 1和 2的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(0,0,1)
13.【答案】 2 + 1， ∈
8
14.【答案】
3
15.【答案】解：( ){ }为递增的等差数列， 1 = 6，且2 5 =
2
3，
5×4
所以2 × (5 × 6 + ) = (6 + 2 )2，
2
解得 = 2或 = 3(舍)，
故 = 6 + 2( 1) = 2 + 4；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得， = 6 + ( 1) =
2 + 5 ，
若 2 > 3 ，则 + 5 > 6 + 12，
解得 > 4，
故 的最小值为5．
16.【答案】解：(1)证明：∵ = 2, = 2√ 5, = 4，
∴ 2 = 2 + 2，
∴ ⊥ ，
∵ = = 2, = 2√ 2，
∴ 2 = 2 + 2，
∴ ⊥ ，
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∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
∴ ⊥ ．
(2) ∵四边形 是矩形，∴ ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， ， 平面 ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (1,4,0)， (0,0,2)，
∴ = (2,0,0), = ( 1,4,0), = ( 2,0,2)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{ ⊥
= + 4 = 0，则{ ，
⊥ = 2 + 2 = 0
令 = 1，可得 = 4， = 4，
∴平面 的一个法向量为 = (4,1,4)．
设直线 与平面 所成的角为 ，
| | |2×4+0×1+0×4| 4√ 33
则 = = =| || | 33 ，
2×√ 42+12+42
∴直线 与平面 所成角的正弦值为4√ 33．
33
17.【答案】解：(1)因为 ( 0, 4)是抛物线 上一点，
所以42 = 2 0，
16 8
解得 0 = = ， 2
8
由抛物线的定义得| | = + = 5，
2
因为0 < < 3，
所以 = 2，
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则 的方程为 2 = 4 ；
(2)由(1)知 (1,0)， (4,4)，
3
设直线 的方程为 4 = ( 4)(0 < < )，
4
= 4 + 4
联立{ 2 ，消去 并整理得
2 4 + 16 16 = 0，
= 4
由韦达定理得 = 4 = 16 16，
解得 = 4 4，
所以| | = √ 1 + 2| | = √ 1 +
2|4 4 4| = 4(2 )√ 1 + 2，
|1×1 ×0+4 4| 3 4
因为点 到直线 的距离为 = = ，
√ 2 1+( ) √ 1+ 2
1 1 3 4
所以 △ = | | = × 4(2 )√ 1 +
2 × = 3，
2 2
√ 1+ 2
即2(2 )(3 4 ) = 3，
1 9
解得 = 或 = (舍去)，
2 4
1
则直线 的方程为 4 = ( 4)．
2
即2 4 = 0．
18.【答案】解：(1)令 2( , 0)， 1( , 0)( > 0)，连接 2．
因为 是 1 2的中点， 是 1的中点，
1
所以 // 2, | | = | 2|， 2
所以2 = | 1| | 2| = 2| 1| 2| | = 2，那么 = 1．

又因为 = = 2 = 2 = 2．

所以 2 = 2 2 = 22 12 = 3，
所以 为 2
2
= 1．
3
(2)证明：设 ( 2, 2)， ( 1, 1)， ( 0, 0)( 0 ≠ 0且 0 ≠ 0)．
因为 的中点为 ，所以 1 + 2 = 2 0， 1 + 2 = 2 0，
2 2
因为 ， 是 上的两点，所以 21
1 = 1①，所以 2 2 ，
3 2
= 1②
3
2 2 ( + )( )
由① ②，可得 2 2 1 21 = 0，所以( 1 + 2)(
1 2 1 2
1 2) = 0， 2 3 3
2 0(
3
所以2 ( ) 1 2
) 1 2 0
0 1 2 = 0，所以 = ， 3 1 2 0
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0
所以 1 2 0 = × = 3，直线 与直线 的斜率之积为定值3． 1 2 0 0
(3)证明：根据题干易知点 ， 不关于 轴对称， (1,0)，
所以直线 的斜率不为0，令 的方程为 = + ( ≠ 1)，
2
代入双曲线 2

= 1，化简得(3 2 1) 2 + 6 + 3 2 3 = 0，
3
3 2 1 ≠ 0,
所以{ 2 = (6 ) 4(3 2 1)(3 2 3) = 12(3 2 + 2 1) > 0,
2
根据韦达定理可得 6 3 3 1 + 2 = 2 , 1 2 = ， 3 1 3 2 1
又因为 ⊥ ，
所以 = ( 1 1, 1) ( 2 1, 2) = ( 1 1)( 2 1) + 1 2
= ( 1 + 1)( 2 + 1) + 1 2 = (
2 + 1) 1 2 + ( 1)( 1 +
2
2) + ( 1)
( 2+1)(3 2 3) 6 × ( 1)
= + ( 1)2
3 2 1 3 2 1
3 2 2 3 2+3 2 3 6 2 2+6 2 +3 2 2 6 2 +3 2 2+2 1
=
3 2 1
2 2+2 4
= = 0，所以 = 1(舍去)或 = 2，
3 2 1
所以直线 过定点( 2,0)．
19.【答案】解：(1)平面 1： + 2 1 = 0的法向量为 1 = (1,2,0)，
平面 1：2 + 1 = 0的法向量为 2 = (0,2, 1)，
设平面 1与平面 1的交线 的方向向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
则{ 1 ，取 = 1，得 = ( 2,1,2)，
2 = 2 = 0
所以直线 的一个方向向量为 = ( 2,1,2)；
(2)设平面 2： + + + 1 = 0，
由平面 2经过点 (4,0,0)，点 (3,1, 1)，点 ( 1,5,2)，
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4 + 1 = 0
1 1
得{3 + + 1 = 0 ，解得 = , = , = 0，即平面
4 4 2
： + = 4，
+ 5 + 2 + 1 = 0
又平面 2： + = 4，平面 ： + ( + 1) + ( + 2) + 3 = 0，
记平面 2、 2、 的法向量分别为： 2 = (1,1,0), 2 = (0,1,1), = ( , + 1, + 2)，
设平面 2、 2的交线 ′的方向向量为 ′ = ( ′, ′, ′)，
′ = ′ + ′ = 0
则由 ⊥ 2 ，
2
⊥ 2，可得{ ，取 ′ = (1, 1,1)，
2 ′ = ′ + ′ = 0
依题意， ′ = (1, 1,1) ( , + 1, + 2) = + 1 = 0，解得 = 1，
平面 ： 3 = 0，其法向量为 = (1,0, 1)，
在平面 内取点 (3,0,0)，则 = (0,1, 1)，
| | 1 √ 2
故点 到平面 的距离为 = = = ；
| | √ 2 2
(3)集合 的子集 ′ = {( , , )| + + ≤ 2， ≥ 0， ≥ 0， ≥ 0}，
即为三个坐标平面与 + + = 2围成的四面体，
四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，
1 1 4 32
此四面体的体积为 ′ = × 2 × ( × 2 × 2) = ，由对称性知 1 = 8 ′ = ； 3 2 3 3
集合 的子集 ′ = {( , , )|0 ≤ ≤ 1，0 ≤ ≤ 1，0 ≤ ≤ 1}，
′构成的几何体是棱长为1的正方体，
而 ′ = {( , , )| + + ≤ 2， ≥ 0， ≥ 0， ≥ 0}，
则 ′ ∩ ′为截去三棱锥 4 1 2 3后剩下的部分，
′的体积 ′ = 1 × 1 × 1 = 1，
1 1 1
三棱锥 4 1 2 3的体积为 = × 1 × × (1 × 1) = ， 4 1 2 3 3 2 6
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1 5
′ ∩ ′的体积为 ′∩ ′ = ′ 4 1 = 1 = ， 2 3 6 6
20
由对称性知 2 = 8 ′∩ ′ = ． 3
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