3.7 切线长定理 课件(共37张PPT)2024-2025学年北师大版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 3.7 切线长定理 课件(共37张PPT)2024-2025学年北师大版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-22 21:21:55 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
北师版·九年级下册
7 切线长定理
1. 直线和圆有哪些位置关系？
2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法)
相离、相交、相切.
(1) 公共点个数
(2) 数量关系法(证明 d = r)；
(3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？
你还有其他的画法吗？
切线长的定义
1
2 条
过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
探究新知
O
P
A
B
PA、PB就是点P到⊙O的切线长.
切线与切线长的区别与联系：
探究新知
O
P
A
B
切线是一条与圆相切的直线.不能度量.
切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长.可以度量
O
P
如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点.
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
是轴对称图形，对称轴是直线 OP .
A
B
如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点.
(2) 在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.
合作探究
O
P
A
B
PA = PB
猜想：
该如何证明？
O
P
A
B
已知：如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点.
求证：PA=PB.
证明：连接 OA，OB.
∵PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴∠PAO = ∠PBO = 90°.
在 Rt△POA 和 Rt△POB中，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴Rt△POA ≌ Rt△POB（HL）.
∴ PA = PB.
O
P
A
B
切线长定理 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.
符号语言表达
∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，
∴ PA=PB .
O
P
A
B
∠APO=∠BPO
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
你还知道这两个角是什么关系吗？
O
P
A
B
你还知道这两个角是什么关系吗？
∠APO=∠BPO
∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，
∴ PA=PB，∠APO=∠BPO.
符号语言表达
知识要点
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.
几何语言：
∵ PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B，
∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB.
切线长定理
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？
A
B
O
C
D
E
F
G
H
结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
即 AD＋BC＝AB＋CD.
利用切线长定理进行证明
例 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径.
B
D
A
F
C
E
O
解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设 OD = r.
在 Rt△ABC 中，
AC = 10，BC = 24，
26
r
B
D
A
F
C
E
O
26
r
∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，AD = AF，CE = CF.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 OECF 为正方形.
∴ CE = CF = r.
∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r.
∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r.
而 AB = 26，
∴ 34 – 2r = 26.
∴ r = 4，
即 ⊙O 的半径为 4.
只适合于直角三角形
1. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，如果 AP = 4，∠APB = 40° ，
则 ∠APO = ，PB= .
20°
4
B
P
O
A
第1题
110°
2. 如图，已知点 O 是 △ABC 的内心，且 ∠ABC= 60°， ∠ACB= 80°，则 ∠BOC= .
A
B
C
O
3. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、E、F三点，如图，已知 AF=3，BD + CE=12，则 △ABC的周长是 .
A
B
C
F
E
D
O
30
4. 如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD. 若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数.
解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，
∴ OB 平分∠ABC，OD⊥BC.
∴∠BOD = 90°-∠OBD = 70°.
A
B
C
D
O
随堂练习
1. 已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm. 过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.
O
P
A
3cm
6cm
2. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（ ）
A.3cm B.4cm
C.5cm D.9cm
C
x
AF=AE
CE=CD
BF=BD
BD=BF=11－x
CD=CE=13－x
BD+CD=BC
(11－x )+(13－x )=14
2. 如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ= cm. 若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝ cm.
3
30°
3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.
解：由切线长定理可知PA ＝ PB.
∵PA是⊙O的切线.
∴∠OAP ＝ 90°.
∵∠BAC=25°，∴∠BAP=65°.
又∵PA＝PB，∴∠ABP＝∠BAP ＝ 65°.
∴∠P ＝ 180°－∠BAP－∠ABP ＝ 50°.
1.如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( )
A. B.2 C.2 D.3
B
链接中考
2.如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°.
(1) 求∠P 的大小；
(2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号).
解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴ PA⊥AB. ∴∠BAP = 90°.
∵∠BAC = 30°，
∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°.
又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C，
∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形.
∴∠P = 60°.
(2) 如图，连接 BC，则∠ACB = 90°.
在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°.
∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°.
∴ △PAC 为等边三角形.
∴ PA = AC.
∴ PA = .
课堂小结
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，
∴ PA=PB，∠APO=∠BPO.
符号语言表达
切线长
切线长定理
作用
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
应用
重要结论
只适合于直角三角形
【教材P96 第1题】
知识技能
如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点.
C是 上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点． 已知 PA=PB =5cm，求△PDE的周长.
解：∵PA与PB分别切⊙O于A,B两点,DE切⊙O于点C，
∴DA=DC，CE=EB.
∴△PDE的周长=PD+DE+EP
=PD+DC+CE+EP
=PD+DA+EB+EP=PA+PB.
又∵PA=PB=5 cm,
∴△PDE的周长=2×5=10(cm).
2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，且 AB=9 cm，BC=14 cm ，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
【教材P96 第2题】
解：由切线长定理知AE=AF ，BF=BD ，CE=CD.令AE=AF=x cm，BF=BD=y cm，CE=CD=z cm.
∵AC=AE+CE，AB =AF+BF，BC=BD+CD，
∴ ，解方程组可得
∴ AF= 4 cm, BD= 5 cm,CE=9 cm.
3.如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∠P=40°.点D在AB上，点E和点F分别在PB和 PA 上，且AD=BE，BD= AF，求∠EDF的度数.
【教材P96 第3题】
解：如图所示,连接OA，OB.
∵PA，PB切⊙O于点A，B，
∴PA=PB，∴∠BAP= ∠ABP.
又∵∠P=40°,
∴∠BAP= (180°-∠P)= 70°.
在△DBE和△FAD中, ,
∴△DBE≌△FAD(SAS),
∴∠BDE=∠AFD,
∠ADF+∠BDE=∠ADF+∠AFD=180°-∠FAD
=180°-70°=110°.
又∵ ∠ADF+∠BDE+∠EDF= 180°，
∴∠EDF=180°-(∠ADF+∠BDE)=180°-110°=70°.
4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD=8cm,且∠B=90°.该四边形存在内切圆吗 如果存在，请计算内切圆的半径.
【教材P96 第4题】
数学理解
解：存在.首先以B点为端点将BA与BC重合在一起折出∠ABC的平分线,其次将BC与DC重合折出∠BCD的平分线,两条角平分线的交点即为圆心O
（以此点О为圆心可以画出四边形ABCD的内切圆）.
如图所示,连接AC,根据折叠得到圆心О在线段AC上,设⊙O与四边形ABCD四边 AB, BC,CD,DA均相切，且切点分别为M，N ，P，Q.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)
∴∠ABC=∠ADC=90°，S△ABC=S△ADC .
连接OM , ON,OP, OQ,设⊙O的半径为rcm,连接OB,OD.
S四边形ABCD=2S△ABC=2× AB·BC=AB·BC=6×8=48(cm2).
又∵S四边形ABCD=
=
=3r+4r+3r+4r=14r.
∴14r=48.∴r= .∴内切圆的半径为 cm.
北师版·九年级下册
7 切线长定理
1. 直线和圆有哪些位置关系？
2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法)
相离、相交、相切.
(1) 公共点个数
(2) 数量关系法(证明 d = r)；
(3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？
你还有其他的画法吗？
切线长的定义
1
2 条
过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
探究新知
O
P
A
B
PA、PB就是点P到⊙O的切线长.
切线与切线长的区别与联系：
探究新知
O
P
A
B
切线是一条与圆相切的直线.不能度量.
切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长.可以度量
O
P
如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点.
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
是轴对称图形，对称轴是直线 OP .
A
B
如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点.
(2) 在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.
合作探究
O
P
A
B
PA = PB
猜想：
该如何证明？
O
P
A
B
已知：如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点.
求证：PA=PB.
证明：连接 OA，OB.
∵PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴∠PAO = ∠PBO = 90°.
在 Rt△POA 和 Rt△POB中，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴Rt△POA ≌ Rt△POB（HL）.
∴ PA = PB.
O
P
A
B
切线长定理 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.
符号语言表达
∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，
∴ PA=PB .
O
P
A
B
∠APO=∠BPO
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
你还知道这两个角是什么关系吗？
O
P
A
B
你还知道这两个角是什么关系吗？
∠APO=∠BPO
∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，
∴ PA=PB，∠APO=∠BPO.
符号语言表达
知识要点
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.
几何语言：
∵ PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B，
∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB.
切线长定理
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？
A
B
O
C
D
E
F
G
H
结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
即 AD＋BC＝AB＋CD.
利用切线长定理进行证明
例 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径.
B
D
A
F
C
E
O
解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设 OD = r.
在 Rt△ABC 中，
AC = 10，BC = 24，
26
r
B
D
A
F
C
E
O
26
r
∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，AD = AF，CE = CF.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 OECF 为正方形.
∴ CE = CF = r.
∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r.
∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r.
而 AB = 26，
∴ 34 – 2r = 26.
∴ r = 4，
即 ⊙O 的半径为 4.
只适合于直角三角形
1. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，如果 AP = 4，∠APB = 40° ，
则 ∠APO = ，PB= .
20°
4
B
P
O
A
第1题
110°
2. 如图，已知点 O 是 △ABC 的内心，且 ∠ABC= 60°， ∠ACB= 80°，则 ∠BOC= .
A
B
C
O
3. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、E、F三点，如图，已知 AF=3，BD + CE=12，则 △ABC的周长是 .
A
B
C
F
E
D
O
30
4. 如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD. 若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数.
解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，
∴ OB 平分∠ABC，OD⊥BC.
∴∠BOD = 90°-∠OBD = 70°.
A
B
C
D
O
随堂练习
1. 已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm. 过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.
O
P
A
3cm
6cm
2. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（ ）
A.3cm B.4cm
C.5cm D.9cm
C
x
AF=AE
CE=CD
BF=BD
BD=BF=11－x
CD=CE=13－x
BD+CD=BC
(11－x )+(13－x )=14
2. 如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ= cm. 若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝ cm.
3
30°
3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.
解：由切线长定理可知PA ＝ PB.
∵PA是⊙O的切线.
∴∠OAP ＝ 90°.
∵∠BAC=25°，∴∠BAP=65°.
又∵PA＝PB，∴∠ABP＝∠BAP ＝ 65°.
∴∠P ＝ 180°－∠BAP－∠ABP ＝ 50°.
1.如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( )
A. B.2 C.2 D.3
B
链接中考
2.如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°.
(1) 求∠P 的大小；
(2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号).
解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴ PA⊥AB. ∴∠BAP = 90°.
∵∠BAC = 30°，
∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°.
又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C，
∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形.
∴∠P = 60°.
(2) 如图，连接 BC，则∠ACB = 90°.
在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°.
∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°.
∴ △PAC 为等边三角形.
∴ PA = AC.
∴ PA = .
课堂小结
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，
∴ PA=PB，∠APO=∠BPO.
符号语言表达
切线长
切线长定理
作用
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
应用
重要结论
只适合于直角三角形
【教材P96 第1题】
知识技能
如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点.
C是 上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点． 已知 PA=PB =5cm，求△PDE的周长.
解：∵PA与PB分别切⊙O于A,B两点,DE切⊙O于点C，
∴DA=DC，CE=EB.
∴△PDE的周长=PD+DE+EP
=PD+DC+CE+EP
=PD+DA+EB+EP=PA+PB.
又∵PA=PB=5 cm,
∴△PDE的周长=2×5=10(cm).
2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，且 AB=9 cm，BC=14 cm ，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
【教材P96 第2题】
解：由切线长定理知AE=AF ，BF=BD ，CE=CD.令AE=AF=x cm，BF=BD=y cm，CE=CD=z cm.
∵AC=AE+CE，AB =AF+BF，BC=BD+CD，
∴ ，解方程组可得
∴ AF= 4 cm, BD= 5 cm,CE=9 cm.
3.如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∠P=40°.点D在AB上，点E和点F分别在PB和 PA 上，且AD=BE，BD= AF，求∠EDF的度数.
【教材P96 第3题】
解：如图所示,连接OA，OB.
∵PA，PB切⊙O于点A，B，
∴PA=PB，∴∠BAP= ∠ABP.
又∵∠P=40°,
∴∠BAP= (180°-∠P)= 70°.
在△DBE和△FAD中, ,
∴△DBE≌△FAD(SAS),
∴∠BDE=∠AFD,
∠ADF+∠BDE=∠ADF+∠AFD=180°-∠FAD
=180°-70°=110°.
又∵ ∠ADF+∠BDE+∠EDF= 180°，
∴∠EDF=180°-(∠ADF+∠BDE)=180°-110°=70°.
4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD=8cm,且∠B=90°.该四边形存在内切圆吗 如果存在，请计算内切圆的半径.
【教材P96 第4题】
数学理解
解：存在.首先以B点为端点将BA与BC重合在一起折出∠ABC的平分线,其次将BC与DC重合折出∠BCD的平分线,两条角平分线的交点即为圆心O
（以此点О为圆心可以画出四边形ABCD的内切圆）.
如图所示,连接AC,根据折叠得到圆心О在线段AC上,设⊙O与四边形ABCD四边 AB, BC,CD,DA均相切，且切点分别为M，N ，P，Q.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)
∴∠ABC=∠ADC=90°，S△ABC=S△ADC .
连接OM , ON,OP, OQ,设⊙O的半径为rcm,连接OB,OD.
S四边形ABCD=2S△ABC=2× AB·BC=AB·BC=6×8=48(cm2).
又∵S四边形ABCD=
=
=3r+4r+3r+4r=14r.
∴14r=48.∴r= .∴内切圆的半径为 cm.