第二十六章 反比例函数 专项训练（含答案） 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十六章反比例函数专项训练 2024-2025学年人教版九年级数学下册
一、单选题
1．反比例函数的图象上有两点、，且，则m的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
2．若反比例函数y= （k≠0）的图象经过点（﹣1，2），则这个函数的图象一定经过点（　　）
A．（1，﹣1） B．（﹣ ，4）
C．（﹣2，﹣1） D．（ ，4）
3．如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，过点 M 的直线l∥y轴，且分别与反比例函数和 （x＞0，k≠0）的图象相交于 P，Q两点.若，则 k 的值为（　　）
A．38 B．22 C．-7 D．-22
4．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝ （x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　）
A． B． C． D．12
5．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”，下列函数的图象上不存在“同号点”的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．5
8．如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…Pn（n，yn），作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…An，连结A1P2，A2P3，…An-1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3……，以此类推，则点B20的坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣ （x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝ （x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y 上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
二、填空题
11．若点 、 在反比例函数 图象上，则 、 大小关系是　 　.
12．已知反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，则m的取值范围是　 　．
13．若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝　 　．
14．如图，已知在平面直角坐标系中，点P在反比例函数图象上，点B为y轴负半轴上一点，连结交x轴于点A，点C为x轴负半轴上一点，连结和．若，，且的面积为3，则k的值是　 　．
15．如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝　 　．
16．如图，一定质量的氧气，其体积V（）是密度ρ（）的反比例函数，其图象如图，当时的氧气的体积　 　．
17．如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴交x轴于点B，，　 　．
三、解答题
18．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
19．如图，直线与双曲线 交于点和点，与 y轴交于点A，求点A的坐标．
20．某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变．实验发现，当每次漂洗用水量（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量（克）与漂洗次数（次）满足（为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．
（1）求的值．
（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？
（3）现将20升水等分成次（）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？
21．如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
22．如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）．
（1）求m的值和一次函数的解析式．
（2）求点C的坐标．
（3）将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）将直线向下平移个单位长度得到直线l：，设直线l与反比例函数的图象交于点P，与x轴交于点D．
①连接，，若，求m的值；
②连接，，当是等腰三角形时，请直接写出点D到直线的距离．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
【解析】【解答】解：将点（﹣1，2）代入y= 得，2=﹣ ，
解得k=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ，
当x=﹣ 时，y=4.
故答案为：B.
【分析】将点（﹣1，2）代入反比例函数解析式求得k的值，然后对各个选项进行判断即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵l∥y轴，
∴l⊥x轴，
∵直线l分别与反比例函数和 的图象相交于 P，Q两点，
∴S△POM=×8=4，S△OMQ=|k|，
∵S△POM+S△OMQ=S△POQ=15
∴4+|k|=15，
∴k=±22，
∵的图象经过第四象限，
∴k＜0，
∴k=-22.
故答案为：D.
【分析】易得l⊥x轴，从而由反比例函数k的几何意义可得S△POM=×8=4，S△OMQ=|k|，进而根据S△POM+S△OMQ=S△POQ建立方程求出k的值，再结合函数所在的象限即可得出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD＝3AD，
∴D（ ，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴ ＝k，∴E（a， ），
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣ ﹣ k﹣ （b﹣ ）＝9，
∴k＝ ，
故答案为：C．
【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，
函数的图象在二、四象限，不满足条件，
故答案为：C.
【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，据此判断即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵正比例函数y1=ax的图象经过点（1，-1），
∴a=-1，
∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限 ，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，即该函数的图象一定不会经过第三象限，
故A、B、D三个选项都是错误的，不符合题意；只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】将点（1，-1）代入正比例函数y1=ax可求出a=-1，根据反比例函数的图象与系数的关系，由反比例函数的图象位于第一、第三象限，得b＞0，进而根据一次函数的图象与系数的关系：y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，即可判断得出答案.
7．【答案】B
【解析】【解答】正方形的边长是3，
点的横坐标和点的纵坐标为3，
，，，
，，
的面积为，
，
或（舍去），
，，
作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，
，
，，
，
即的最小值为，
故选：B．
【分析】本题考查反比例函数的系数的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质.根据正方形的边长是3，据此可推出点的横坐标和点的纵坐标为3，求得，，，进而可求出BE和BD，利用三角形的面积公式可列方程，解方程可求出k的值，进而可求出点D和点E的坐标：，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，利用勾股定理可求出，进而可求出答案．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：点 P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数图象上 ，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点B1的纵坐标是：，即B1（2，6），
同理可得，点B2的纵坐标为：，即，
点B3的纵坐标为：，
...
点Bn的横坐标为：，纵坐标为：，
.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点 P1 、 P2 的纵坐标，由平行四边形的性质得到B1、 B2的坐标，以此类推得到规律并求出点B20的坐标.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵OB=1，AB⊥OB，点A在函数 (x<0)的图象上，
∴当x= 1时，y=2，
∴A( 1，2).
∵此矩形向右平移3个单位长度到 的位置，
∴B1(2，0)，
∴A1(2，2).
∵点A1在函数 (x>0)的图象上，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为 ，O1(3，0)，
∵C1O1⊥x轴，
∴当x=3时，
∴P
故答案为：C.
【分析】先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：设点D（m， ），
如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，
∵∠GDC+∠DCG=90°，∠GDC+∠HDA=90°，
∴∠HDA=∠GCD，
又AD=CD，∠DHA=∠CGD=90°，
∴△DHA≌△CGD（AAS），
∴HA=DG，DH=CG，
同理△ANB≌△DGC（AAS），
∴AN=DG=1=AH，则点G（m， -1），CG=DH，
AH=-1-m=1，解得：m=-2，
故点G（-2，-4），D（-2，-3），H（-2，1），
则点E（- ，-4），GE= ，
CE=CG-GE=DH-GE=4- =3.5，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特点设点D（m， ），如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，根据同角的余角相等得出∠HDA=∠GCD，从而利用AAS判断出△DHA≌△CGD，根据全等三角形的性质得出HA=DG，DH=CG，同理△ANB≌△DGC，推出AN=DG=1=AH，故G（m， -1），CG=DH，从而列出方程，求解算出m的值得出G，D，H三点的坐标，进而得出点E的坐标，根据两点间的距离公式得出GE的长，最后根据CE=CG-GE=DH-GE即可算出答案。
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=
中，k=1＞0，∴此函数图象的两个分支分别为与一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小.
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴A、B两点都在第三象限的分支上，
∴y1＞y2.
故答案为：y1＞y2.
【分析】反比例函数
，图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，则先比较横坐标的大小，确定所在的象限，从而可判断函数值的大小.
12．【答案】
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数y1＝中自变量系数2＞0，
∴图象的两支分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，
∴当x=1时，函数最大值a=2；
∵ 反比例函数y2＝﹣中自变量系数-3＜0，
∴图象的两支分布在第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵当1≤x≤3时，函数y2的最大值是b，
∴当x=3时，函数最大值b=-1；
∴ab=2-1=.
故答案为：.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此可求出a、b的值，进而再根据负整数指数幂的性质计算可得答案.
14．【答案】-3
【解析】【解答】解：过P作PD⊥x轴，如下图：
∵PA=PC，PD⊥AC；
∴
∵ ，
∴AD=OA，
在
∴（ASA），
∴AD=OA，PD=OB，
设OA=a，OB=b，
则A（-a，0），B（0，-b），AC=2a，
∴P（-2a，b），
∵的面积为3 ，
∴
∴
化简得：，
∵P（-2a，b）在
∴k=-2ab=-3，
故答案为：-3.
【分析】过P作PD⊥x轴，证明，得OA=OC=AD，设OA=a，OB=b，来表示A、B坐标及AC长度，继而得到P点坐标，根据 的面积为3 得到a和b的关系，根据P在反比例函数上，将P代入解析式，求得k
15．【答案】16
【解析】【解答】解：∵C是OB的中点，∴△AOC和△ABC的面积相等，
∴△AOB的面积是4×2＝8
即
∴
∴k=16
故答案为：16
【分析】k为A点横纵坐标的乘积，A在第一象限，横纵坐标的值分别和OB和AB相等，所以k=OB×AB
16．【答案】6
17．【答案】3
18．【答案】（1），
（2）或
19．【答案】
20．【答案】（1）
（2）3次
（3）5升
21．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
（2）或或
22．【答案】（1），
（2）
（3）
23．【答案】（1）反比例函数的表达式为，点B的坐标为
（2）①；②当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或