27.1.2圆的对称性 第2课时 垂径定理 课时作业（含简单答案） 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.1.2圆的对称性 第2课时 垂径定理 课时作业（含简单答案） 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 350.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-21 19:20:08 | ||
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文档简介
2.圆的对称性 第2课时 垂径定理
@预习导航
垂径定理及推论
定 理：垂直于弦的直径 ，并且 .
推 论：(1)平分弦(不是直径)的直径 ，并且 .
(2)平分弧的直径 这条弧所对的弦.
注 意：①直径(过圆心的弦)；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论.
说 明：(1)可以利用圆的轴对称性证明定理.
(2)如图，连结OA、OB，利用等腰三角形的性质也可证明定理.
@归类探究
类型之一 垂径定理及其推论
[2024·四川期末]已知圆O的半径长为5，弦AB与弦CD平行，AB＝6，CD＝8.求弦AB与弦CD之间的距离.
类型之二 垂径定理的实际应用
[2022·宜昌]石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1)，隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为.桥的跨度(弧所对的弦长)AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为点D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD＝5m.连结OB.
(1)直接判断AD与BD的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1m).
@当堂测评
1.下列命题中，是真命题的是( )
A.圆的任何一条直径都是它的对称轴
B.平分弦的直径必平分该弦所对的弧
C.垂直于弦的直线必经过圆心
D.圆中一条弦所对的两条弧的中心的连线是直径
2.[2023·宜昌]如图，OA、OB、OC都是☉O的半径，AC、OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为( )
第2题图
A.5 B.4
C.3 D.2
3.[2022·长沙]如图，A、B、C是☉O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 .
第3题图
@分层训练
1.已知点A、B、C、D在圆上，弦AB和CD交于点E，则下列说法正确的是( )
A.若CD平分AB，则CD⊥AB
B.若CD⊥AB，则CD平分AB
C.若CD垂直平分AB，则圆心在CD上
D.若圆心在CD上，则CD垂直平分AB
2.[2023·陕西]陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图.是☉O的一部分，D是的中点，连结OD，与弦AB交于点C，连结OA、OB.已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则☉O的半径OA为( )
A.13cm B.16cm
C.17cm D.26cm
3.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则☉O的半径OC为 .
第3题图
4.[2022·荆州]如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
第4题图
5.如图，某地欲搭建一座圆弧形拱桥，跨度AB＝32m，拱高CD＝8m(C为AB的中点，D为的中点).
(1)该圆弧所在圆的半径为 m；
(2)在距离桥的一端4m处欲立一桥墩EF支撑，桥墩EF的高度为 m.
6.[2023春·萧县月考]新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦.
(1)如图1，AB、AC是☉O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D、E.求证：四边形ADOE是正方形.
图1
(2)如图2，AB是☉O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交☉O于D、C两点，连结CD.求证：AB、CD是☉O的等垂弦.
图2
7.(推理能力)根据素材解决问题：
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m.
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH＝12m，EF＝2.1m.因水深足够，货船可以根据需要运载货物.据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01m.
图3
问题解决
任务1 求圆形桥拱的半径.
任务2 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
第2课时 垂径定理
【预习导航】
平分这条弦 平分这条弦所对的两条弧 垂直于这条弦 平分这条弦所对的两条弧 垂直平分
【归类探究】
【例1】弦AB与CD之间的距离为1或7.
【例2】(1)AD＝BD
(2)这座石拱桥主桥拱的半径约为19m.
【当堂测评】
1.D 2.B 3.7
【分层训练】
1.C 2.A 3.
4.7.5 5.(1)20 (2)4 6.略
7.任务1：圆形拱桥的半径为10m.
任务2：根据图3状态，货船通过圆形桥拱，至少要增加10吨的货物才能通过.理由略.
教材回归(六) 与垂径定理有关的辅助线
【教材母题】
☉O的半径为13cm.
【变式跟进】
1.D 2.拱门所在圆的半径是15dm.
3.A 4.OP＝5
5.弦CD的长为6，☉O的半径为.
6.(1)AC＝BD.理由略.
(2)大圆的半径等于13.
(3)圆环的面积为119π.
。
@预习导航
垂径定理及推论
定 理：垂直于弦的直径 ，并且 .
推 论：(1)平分弦(不是直径)的直径 ，并且 .
(2)平分弧的直径 这条弧所对的弦.
注 意：①直径(过圆心的弦)；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论.
说 明：(1)可以利用圆的轴对称性证明定理.
(2)如图，连结OA、OB，利用等腰三角形的性质也可证明定理.
@归类探究
类型之一 垂径定理及其推论
[2024·四川期末]已知圆O的半径长为5，弦AB与弦CD平行，AB＝6，CD＝8.求弦AB与弦CD之间的距离.
类型之二 垂径定理的实际应用
[2022·宜昌]石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1)，隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为.桥的跨度(弧所对的弦长)AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为点D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD＝5m.连结OB.
(1)直接判断AD与BD的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1m).
@当堂测评
1.下列命题中，是真命题的是( )
A.圆的任何一条直径都是它的对称轴
B.平分弦的直径必平分该弦所对的弧
C.垂直于弦的直线必经过圆心
D.圆中一条弦所对的两条弧的中心的连线是直径
2.[2023·宜昌]如图，OA、OB、OC都是☉O的半径，AC、OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为( )
第2题图
A.5 B.4
C.3 D.2
3.[2022·长沙]如图，A、B、C是☉O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 .
第3题图
@分层训练
1.已知点A、B、C、D在圆上，弦AB和CD交于点E，则下列说法正确的是( )
A.若CD平分AB，则CD⊥AB
B.若CD⊥AB，则CD平分AB
C.若CD垂直平分AB，则圆心在CD上
D.若圆心在CD上，则CD垂直平分AB
2.[2023·陕西]陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图.是☉O的一部分，D是的中点，连结OD，与弦AB交于点C，连结OA、OB.已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则☉O的半径OA为( )
A.13cm B.16cm
C.17cm D.26cm
3.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则☉O的半径OC为 .
第3题图
4.[2022·荆州]如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
第4题图
5.如图，某地欲搭建一座圆弧形拱桥，跨度AB＝32m，拱高CD＝8m(C为AB的中点，D为的中点).
(1)该圆弧所在圆的半径为 m；
(2)在距离桥的一端4m处欲立一桥墩EF支撑，桥墩EF的高度为 m.
6.[2023春·萧县月考]新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦.
(1)如图1，AB、AC是☉O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D、E.求证：四边形ADOE是正方形.
图1
(2)如图2，AB是☉O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交☉O于D、C两点，连结CD.求证：AB、CD是☉O的等垂弦.
图2
7.(推理能力)根据素材解决问题：
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m.
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH＝12m，EF＝2.1m.因水深足够，货船可以根据需要运载货物.据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01m.
图3
问题解决
任务1 求圆形桥拱的半径.
任务2 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
第2课时 垂径定理
【预习导航】
平分这条弦 平分这条弦所对的两条弧 垂直于这条弦 平分这条弦所对的两条弧 垂直平分
【归类探究】
【例1】弦AB与CD之间的距离为1或7.
【例2】(1)AD＝BD
(2)这座石拱桥主桥拱的半径约为19m.
【当堂测评】
1.D 2.B 3.7
【分层训练】
1.C 2.A 3.
4.7.5 5.(1)20 (2)4 6.略
7.任务1：圆形拱桥的半径为10m.
任务2：根据图3状态，货船通过圆形桥拱，至少要增加10吨的货物才能通过.理由略.
教材回归(六) 与垂径定理有关的辅助线
【教材母题】
☉O的半径为13cm.
【变式跟进】
1.D 2.拱门所在圆的半径是15dm.
3.A 4.OP＝5
5.弦CD的长为6，☉O的半径为.
6.(1)AC＝BD.理由略.
(2)大圆的半径等于13.
(3)圆环的面积为119π.
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