27.2.3切线 第2课时 切线长定理和三角形的内切圆 课时作业（含简单答案）2024-2025学年数学华东师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.2.3切线 第2课时 切线长定理和三角形的内切圆 课时作业（含简单答案）2024-2025学年数学华东师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 333.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-21 19:22:48 | ||
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文档简介
3.切 线 第2课时 切线长定理和三角形的内切圆
@预习导航
1.切线长定理
切线长：圆的切线上某一点与 之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分这两条 的夹角.
常用结论：如图所示，OP⊥AB.
相似三角形：△OAP∽△ODA∽△ADP.
相等的线段：PA＝PB，OA＝OB，AD＝BD.
相等的角：∠OPA＝∠OPB，∠POA＝∠POB，∠PAB＝∠PBA，∠OAB＝∠OBA，∠OAP＝∠OBP＝∠ODA＝∠ODB＝90°.
2.三角形的内切圆、内心
定 义：与三角形 叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.
内 心：三角形的 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形 的交点.
3.三角形内心的性质
内心性质：(1)三角形内心到三边的距离相等；
(2)三角形内心与顶点的连线平分三角形内角；
(3)三角形内心一定在三角形的内部.
三角形的面积：已知△ABC的面积为S，内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则有S＝(a＋b＋c)r.
直角三角形内切圆半径：r＝(其中a、b为直角边长，c为斜边长).
@归类探究
类型之一 切线长定理的运用
如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，Q为上一点，过点Q作☉O的切线，分别交PA、PB于E、F两点.已知PA＝12cm，∠P＝70°.求：
(1)△PEF的周长；
(2)∠EOF的度数.
【点悟】 (1)当点Q在上移动时，△PEF的周长不随Q点的移动而变化.(2)求此类三角形的周长，通常利用切线长定理进行线段的等价代换.
类型之二 三角形的内切圆
如图，☉O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝45°.连结BO并延长交AC于点G，AB＝4，AG＝2.求：
(1)∠A的度数；
(2)☉O的半径.
@当堂测评
1.如图，☉O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
第1题图
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
2.[2022·长沙]如图，PA、PB是☉O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为( )
第2题图
A.32° B.52°
C.64° D.72°
3.[2023·嘉兴、舟山]如图，点A是☉O外一点，AB、AC分别与☉O相切于点B、C，点D在上.已知∠A＝50°，则∠D的度数是 .
@分层训练
1.如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为( )
第1题图
A.28° B.50°
C.56° D.62°
2.如图，边长为2的等边三角形ABC的内切圆的半径为( )
第2题图
A.1 B.
C.2 D.2
3.如图，已知PA、PB切☉O于点A、B，C是劣弧AB上一动点，过点C作☉O的切线交PA于点M，交PB于点N.已知∠P＝56°，则∠MON的度数是( )
A.56° B.60°
C.62° D.不可求
4.[2023·泰安]为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是 cm.(精确到0.1cm；参考数据：≈1.73)
5.如图，△ABC的内切圆☉O分别与AB、AC、BC相切于点D、E、F.若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则☉O的半径等于 .
6.如图，PA和PB是☉O的切线，点A和点B是切点，AC是☉O的直径.已知∠P＝40°，求∠ACB的度数.
7.[2022·株洲]中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是：一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)，如图所示.
第7题图
问题：此图中，正方形的一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，☉O的半径为2丈，则BN的长度为 丈.
8.如图，等边三角形ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是 .
第8题图
9.[2024·常德月考]已知PA、PB分别切☉O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于点C，交PB于点D.
(1)若PA＝6，求△PCD的周长；
(2)若∠P＝50°，求∠DOC.
10.(推理能力)如图，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求☉O的半径.
第2课时 切线长定理和三角形的内切圆
【预习导航】
1.切点 切线长 切线 2.各边都相切的圆 内切圆 三条内角平分线
【归类探究】
【例1】(1)C△PEF＝24cm.
(2)∠EOF＝55°.
【例2】(1)∠A＝90°.
(2)☉O的半径为.
【当堂测评】
1.B 2.B 3.65°
【分层训练】
1.C 2.A 3.C 4.6.9 5.2
6.∠ACB＝70°. 7.(8－2) 8.
9.(1)C△PCD＝12. (2)∠COD＝65°.
10.(1)略 (2)☉O的半径是2－.
。
@预习导航
1.切线长定理
切线长：圆的切线上某一点与 之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分这两条 的夹角.
常用结论：如图所示，OP⊥AB.
相似三角形：△OAP∽△ODA∽△ADP.
相等的线段：PA＝PB，OA＝OB，AD＝BD.
相等的角：∠OPA＝∠OPB，∠POA＝∠POB，∠PAB＝∠PBA，∠OAB＝∠OBA，∠OAP＝∠OBP＝∠ODA＝∠ODB＝90°.
2.三角形的内切圆、内心
定 义：与三角形 叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.
内 心：三角形的 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形 的交点.
3.三角形内心的性质
内心性质：(1)三角形内心到三边的距离相等；
(2)三角形内心与顶点的连线平分三角形内角；
(3)三角形内心一定在三角形的内部.
三角形的面积：已知△ABC的面积为S，内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则有S＝(a＋b＋c)r.
直角三角形内切圆半径：r＝(其中a、b为直角边长，c为斜边长).
@归类探究
类型之一 切线长定理的运用
如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，Q为上一点，过点Q作☉O的切线，分别交PA、PB于E、F两点.已知PA＝12cm，∠P＝70°.求：
(1)△PEF的周长；
(2)∠EOF的度数.
【点悟】 (1)当点Q在上移动时，△PEF的周长不随Q点的移动而变化.(2)求此类三角形的周长，通常利用切线长定理进行线段的等价代换.
类型之二 三角形的内切圆
如图，☉O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝45°.连结BO并延长交AC于点G，AB＝4，AG＝2.求：
(1)∠A的度数；
(2)☉O的半径.
@当堂测评
1.如图，☉O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
第1题图
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
2.[2022·长沙]如图，PA、PB是☉O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为( )
第2题图
A.32° B.52°
C.64° D.72°
3.[2023·嘉兴、舟山]如图，点A是☉O外一点，AB、AC分别与☉O相切于点B、C，点D在上.已知∠A＝50°，则∠D的度数是 .
@分层训练
1.如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为( )
第1题图
A.28° B.50°
C.56° D.62°
2.如图，边长为2的等边三角形ABC的内切圆的半径为( )
第2题图
A.1 B.
C.2 D.2
3.如图，已知PA、PB切☉O于点A、B，C是劣弧AB上一动点，过点C作☉O的切线交PA于点M，交PB于点N.已知∠P＝56°，则∠MON的度数是( )
A.56° B.60°
C.62° D.不可求
4.[2023·泰安]为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是 cm.(精确到0.1cm；参考数据：≈1.73)
5.如图，△ABC的内切圆☉O分别与AB、AC、BC相切于点D、E、F.若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则☉O的半径等于 .
6.如图，PA和PB是☉O的切线，点A和点B是切点，AC是☉O的直径.已知∠P＝40°，求∠ACB的度数.
7.[2022·株洲]中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是：一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)，如图所示.
第7题图
问题：此图中，正方形的一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，☉O的半径为2丈，则BN的长度为 丈.
8.如图，等边三角形ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是 .
第8题图
9.[2024·常德月考]已知PA、PB分别切☉O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于点C，交PB于点D.
(1)若PA＝6，求△PCD的周长；
(2)若∠P＝50°，求∠DOC.
10.(推理能力)如图，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求☉O的半径.
第2课时 切线长定理和三角形的内切圆
【预习导航】
1.切点 切线长 切线 2.各边都相切的圆 内切圆 三条内角平分线
【归类探究】
【例1】(1)C△PEF＝24cm.
(2)∠EOF＝55°.
【例2】(1)∠A＝90°.
(2)☉O的半径为.
【当堂测评】
1.B 2.B 3.65°
【分层训练】
1.C 2.A 3.C 4.6.9 5.2
6.∠ACB＝70°. 7.(8－2) 8.
9.(1)C△PCD＝12. (2)∠COD＝65°.
10.(1)略 (2)☉O的半径是2－.
。