27.4 正多边形和圆 课时作业（含简单答案）2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

27.4　正多边形和圆
@预习导航
1.正多边形
定　　义：各 相等，各 也相等的多边形叫做正多边形.
2.正多边形与圆的关系
规　　律：把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是圆的内接正n边形.
关　　系：任何正多边形都有一个 和 .
3.正多边形的有关概念
中　　心：正多边形的外接圆(或内切圆)的 叫做正多边形的中心.
半　　径：正多边形的 的半径叫做正多边形的半径.
边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的 叫做正多边形的边心距.
中心角：正多边形每一边所对的外接圆的 叫做正多边形的中心角.
说　　明：在由正n边形外接圆半径R、内切圆半径r、边长的一半组成的Rt△OAT中，有一锐角为.这一基本图形是解决正多边形问题的关键.
4.正多边形的画法
原　　理：由于在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因此可以用等分圆心角的方法来等分圆周，画正多边形.
方　　法：等分圆周有两种方法：①用 等分；②用 等分.
@归类探究
类型之一　正多边形的有关计算
　如图，有一个亭子，它的地基是外接圆的半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积.(≈1.732，结果保留小数点后一位)
类型之二　画正多边形
　　　如图，已知☉O和☉O上的一点A.
(1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题所作的图中，若点E在上，求证：EB是☉O的内接正十二边形的一边.
@当堂测评
1.一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是(　 　)
A.3 B.6 C.8 D.12
2.如图，在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为 .
第2题图
3.[2022·成都]如图，正六边形ABCDEF内接于☉O.若☉O的周长等于6π，则正六边形的边长为 .
第3题图
@分层训练
1.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于☉O，则AD∶AB＝(　 　)
A.2∶ B.∶
C.∶ D.∶2
2.[2023·福建]刘徽在《九章算术注》中提到了“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图，☉O的半径为1，以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为(　 　)
A. B.2
C.3 D.2
3.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口b＝3cm，则螺帽的边长a＝ cm.
4.[2023·内江]如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为 .
5.[2023·衡阳]如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 .
6.在半径为2的圆中，其内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距之比为 .
7.图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图2，AE是☉O的直径，用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹).
8.如图1，小吴同学在陶艺课上为八角花盆制作圆形托盘.已知八角花盆底部截面是一个正八边形(如图2)，请根据下列信息解决问题.
(1)求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数；
(2)若八角花盆底部截面正八边形的边长是16cm，小吴同学制作的圆形托盘半径是22cm，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？(图3中边长的数据为近似值，供选用)
9.(推理能力)如图1，正五边形ABCDE内接于☉O，阅读以下作图过程，并回答问题.
作法：如图2，①作直径AF；
②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与☉O交于点M、N；
③连结AM、MN、NA.
(1)求∠ABC的度数.
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由.
(3)从点A开始，以DN长为半径，在☉O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值.
(4)应用：如图3，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形的边长为 .
图3
27.4　正多边形和圆
【预习导航】
1.边　角　2.外接圆　内切圆　3.圆心　外接圆　距离　圆心角　4.量角器　圆规
【归类探究】
【例1】亭子地基的周长为24m.地基的面积为41.6m2.
【例2】略
【当堂测评】
1.D　2.5　3.3
【分层训练】
1.B　2.C　3.　4.45°　5.10　6.1∶∶
7.略
8.(1)正八边形的一个内角为135°.
(2)这个托盘适用于此八角花盆.
9.(1)∠ABC＝108°.
(2)△AMN是正三角形.理由略.
(3)n的值是15.
(4)
。