第7课时 分式方程及其应用
A组—基础题
分值:62分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题4分,共20分）
1．[2024德阳]分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．[2022毕节]小明解分式方程的过程如下:
解:去分母,得.①
去括号,得.②
移项、合并同类项,得.③
系数化为1,得.④
以上步骤中,开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．[2024泸州]分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024枣庄]为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
5．[2023张家界]《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”大意是:请人代买一批椽,这批椽的总售价为6 210文.若每株椽的运费是3文,则少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,问6 210文能买多少株椽？设6 210文购买椽的数量为株,则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分,共20分）
6．[2023邵阳]分式方程的解是________．
7．[2024北京]方程的解为__________．
8．[2023永州]若关于的分式方程（为常数）有增根,则增根是________.
9．[2024长沙模拟]对于任意两个非零实数,,定义新运算“*”如下：，例如：.若，则的值为______.
三、解答题（共22分）
10．[2024包头]（6分）解方程:．
11．[2024自贡]（8分） 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
12．[2024威海]（8分）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电.后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电.一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的2倍少.求一盏型节能灯每年的用电量．
B组—中档题
分值:24分 掌握度:☆☆☆
13．[2024邵阳模拟]（12分） 过节了，某超市用6 000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13 000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，购进苹果的数量是试销时的2倍．
（1） 试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？
（2） 如果超市将该品种苹果按每千克8元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的按定价的七折（“七折”即定价的）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
14．[2024长沙模拟]（12分）橘子洲头是长沙的标志性景点之一，被誉为中国第一洲，也是世界上最大的内陆洲.该景点有一文创店，最近一款印有“数风流人物，还看今朝”的橘子洲图案书签销售火爆.该店第一次用1 000元购进这款书签，很快售完，又花1 600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
（1） 该商店两次购进这款书签各多少个？
（2） 第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该商店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完.若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1 880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
C组—提升题
分值:14分 掌握度:☆☆☆
15．[2024邵阳模拟]（14分） 随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场一股不可忽视的力量.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1） 甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2） 该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？第7课时 分式方程及其应用
A组—基础题
一、选择题（每题4分,共20分）
1．D 2．B 3．D 4．B 5．C
二、填空题（每题5分,共20分）
6．
7．
8．
9．1 012
[解析]，
，
,
.
三、解答题（共22分）
10．解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得.
检验：当时，，
是原方程的根．
11．解：设乙组同学平均每小时包个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，
根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子．
12．解：设一盏型节能灯每年的用电量为，则一盏型节能灯每年的用电量为，
根据题意，得，解得.
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：一盏型节能灯每年的用电量为．
B组—中档题
13．（1） 解：设试销时这种苹果的进货价是每千克元.
根据题意，得，
解得.
经检验是原方程的解．且符合题意，
．
答：试销时该品种苹果的进货价是每千克6元.
（2） 试销时进苹果的数量为，
第二次进苹果的数量为：，
盈利为：（元）.
答：超市在这两次苹果销售中共盈利4 040元．
14．（1） 解：设该商店第一次购进这款书签个，则第二次购进这款书签个.
根据题意，得，
解得.
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个.
（2） 设第一次销售时每张书签的售价为元.
根据题意，得，
解得.
答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元．
C组—提升题
15．（1） 解：设乙型充电桩的单价是万元，则甲型充电桩的单价是万元.
根据题意，得，
解得.
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
.
答：甲型充电桩的单价为0.8万元，乙型充电桩的单价为0.6万元.
（2） 设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个.
根据题意，得，
解得，
设所需总费用为万元.
根据题意，得.
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，
此时，.
答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少．第8课时 一元一次不等式（组）及其应用
A组—基础题
分值:68分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题4分,共24分）
1．[2024苏州]若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024河北]下列数中，能使不等式成立的的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．[2024遂宁]不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2023常德]不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．[2024包头]若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．[2023丽水]小霞原有存款52元,小明原有存款70元.从这个月开始,小霞每月存15元零花钱,小明每月存12元零花钱,设经过个月后小霞的存款超过小明,可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分,共16分）
7．[2024福建]不等式的解集是________．
8．[2022十堰]关于的不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示,则该不等式组的解集为____________.
9．[2024吉林]不等式组的解集是____________．
10．[2023凉山州]不等式组的所有整数解的和是____.
三、解答题（共28分）
11．[2024北京]（8分）解不等式组：
12．[2024武汉]（6分） 求不等式组的整数解．
13．[2023扬州]（8分）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来.
14．[2024山西]（6分）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元，干粉灭火器的单价为380元.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
B组—中档题
分值:17分 掌握度:☆☆☆
15．[2024枣庄]（5分）根据以下对话.
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为；
②1班学生的最低身高小于；
③2班学生的最高身高大于或等于．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
16．（6分）不等式组的解集为，则________．
17．[2024娄底模拟]（6分） 若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是______________.
C组—提升题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
18．[2024贵州]（15分）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
（2） 种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？第二章 方程（组）与不等式（组）
第5课时 一次方程（组）及其应用
A组—基础题
分值:70分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题5分,共30分）
1．[2023无锡]下列四组数中,不是二元一次方程的解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
3．[2024宜宾]某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装荔枝，每个小箱装荔枝.该果农现采摘有荔枝，根据市场销售需求，大、小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
4．[2023南充]关于,的方程组的解满足,则的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．已知关于,的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．[2023巴中]某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中,美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒,准备把这些卡纸分成两部分,一部分做侧面,另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面,或者裁出3个底面,如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒,这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
二、填空题（每题5分,共20分）
7．[2023台州]3月12日植树节期间,某校环保小卫士组织植树活动.第一组植树12棵;第二组比第一组多6人,植树36棵.结果两组平均每人植树的棵数相等,则第一组有____人.
8．幻方,最早源于我国,古人称之为纵横图.如图所示的幻方中,各行、各列及各条对角线上的三个数之和均相等,则图中的值为____________.
9．[2022乐山]如果一个矩形内部能用一些正方形铺满,既不重叠,又无缝隙,就称它为“优美矩形”.如图,“优美矩形”的周长为26,则正方形的边长为____.
10．[2023嘉兴、舟山]数学文化 我国古代数学专著《张丘建算经》中有这样一题:一只公鸡值5钱,一只母鸡值3钱,3只小鸡值1钱,现花100钱买了100只鸡.若公鸡有8只,设母鸡有只,小鸡有只,可列方程组为________________________________________________________________.
三、解答题（共20分）
11．（10分） 解下列方程组：
（1） [2024广西]
（2） [2023乐山]
12．[2024陕西]（10分） 星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．
B组—中档题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
13．[2024山西]（10分） 当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多.已知从废旧智能手机中提炼出的黄金，与从废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
14．[2024安徽]（10分） 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植，两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金/万元
4 8
3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问，这两种农作物的种植面积各多少公顷？
C组—提升题
分值:10分 掌握度:☆☆☆
15．[2024连云港]（10分）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1 504元，求两次邮购的折扇各多少把？第6课时 一元二次方程及其应用
A组—基础题
一、选择题（每题4分,共20分）
1．D
2．A
3．C
4．A
5．D
[解析]将代入方程，得，
解得，
的正确值为，
则原方程为.
，
原方程有两个不相等的实数根.故选D.
二、填空题（每题4分,共20分）
6．
7．
8．
9．2
10．7
三、解答题（共25分）
11．解：，
，
则或，
解得，．
12．（1） 解： 原方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
（2） ，
整数的值为2，3，4.
当时，方程为，
解得，；
当或4时，此时方程的解不为整数．
综上所述，的值为2．
13．（1） 证明：，
这里，，，
．
，．
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根.
（2） 解：由题意，得，．
，即，
．
整理，得．
,解得，．
的值为或1．
B组—中档题
14．6
15．
16．任务1 解：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为.
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为.
任务2 设该零件的实际售价定为元，则每个零件的销售利润为元，月销售量为个，
根据题意，得，
整理，得，
解得，，
又 要尽可能让车企得到实惠，
．
答：该零件的实际售价应定为50元．
C组—提升题
17．（1） 解：，
，
,
,,
,
方程是“邻近根方程”.
（2） ，
，
或，
,.
关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，
，
即，
解得或.
（3） 关于的方程，是常数，是“邻近根方程”，设两个根为，，
.
，，
,
,
，
当时，可取最大值为.第6课时 一元二次方程及其应用
A组—基础题
分值:65分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题4分,共20分）
1．[2023新疆生产建设兵团]用配方法解一元二次方程,配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024自贡]关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．[2024北京]若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C．4 D．16
4．[2024广安]若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
5．[2024湖南模拟]明明在解关于的方程时，抄错了的符号，解出其中一个根是，则原方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根是
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
二、填空题（每题4分,共20分）
6．[2023邵阳]某校截止到2022年底,校园绿化面积为.为美化环境,该校计划2024年底绿化面积达到.利用方程思想,设这两年绿化面积的年平均增长率为,则依题意列方程为________________________________.
7．[2023张家界]已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
8．[2024云南]若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为________．
9．[2024深圳]一元二次方程的一个解为，则____．
10．[2024成都]若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为____．
三、解答题（共25分）
11．[2024齐齐哈尔]（6分）解方程：．
12．[2024南充]（9分） 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1） 求的取值范围；
（2） 若，且，，都是整数，求的值．
13．[2024遂宁]（10分）已知关于的一元二次方程．
（1） 求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2） 如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
B组—中档题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
14．[2024烟台]（5分）若一元二次方程的两根为，，则的值为____.
15．[2023黄冈]（5分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为,,若,则实数________.
16．[2024南宁模拟]（10分） 根据以下素材，探索完成任务．
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个.
问题解决
任务1．求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2．为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
C组—提升题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
17．[2024长沙模拟]（15分） 如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”.
（1） 判断方程是否是“邻近根方程”；
（2） 已知关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值；
（3） 若关于的方程,是常数，且是“邻近根方程”，令，试求的最大值.第二章 方程（组）与不等式（组）
第5课时 一次方程（组）及其应用
A组—基础题
一、选择题（每题5分,共30分）
1．D
2．A
3．C
4．D
5．B
[解析] 关于，的二元一次方程组为
，得，
.
，
，
.故选B.
6．C
二、填空题（每题5分,共20分）
7．3
8．
[解析]由题意,得,解得.
9．5
10．
三、解答题（共20分）
11．（1） 解：
，得，解得.
，得，解得.
方程组的解为
（2） 解：
，得.③
，得，解得.
把代入①中，得，解得.
原方程组的解为
12．解：设小峰打扫了，则爸爸打扫了.
根据题意，得，解得．
答：这次小峰打扫了．
B组—中档题
13．解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金，白银.
根据题意,得解得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金，白银．
14．解：设种农作物的种植面积是公顷，种农作物的种植面积是公顷.
根据题意,得
解得
答：种农作物的种植面积是3公顷，种农作物的种植面积是4公顷．
C组—提升题
15．解：如果每次购买都是100把，
则（元）（元），
一次购买多于100把，另一次购买少于100把.
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把.
根据题意，得
，
，
．
答：两次邮购的折扇分别是160把和40把．第8课时 一元一次不等式（组）及其应用
A组—基础题
一、选择题（每题4分,共24分）
1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．A
二、填空题（每题4分,共16分）
7．
8．
9．
10．7
三、解答题（共28分）
11．解：解不等式，得.
解不等式，得.
不等式组的解集为．
12．解：
解不等式①，得.
解不等式②，得.
不等式组的解集为.
故不等式组的整数解为，0，1．
13．解:
解不等式①,得.
解不等式②,得.
原不等式组的解集为.
该不等式组的解集在数轴上表示如答图所示.
第13题答图
14．解：设购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个．
根据题意，得，
解得.
为整数，取最大值为12.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
B组—中档题
15．C
16．
17．
[解析]
解不等式①，得，
解不等式②，得，
该不等式组的解集是.
不等式组有且只有3个整数解，
这三个整数解是3，4，5，
，
解得.
C组—提升题
18．（1） 解：设种植1亩甲作物需要名学生，种植1亩乙作物需要名学生.
根据题意，得解得
答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生.
（2） 设种植甲作物亩，则种植乙作物亩.
根据题意，得，解得，
的最小值为5．
答：至少种植甲作物5亩．
