第17课时 全等三角形
A组—基础题
分值:65分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题5分,共25分）
1．[2024绥化]下列命题中，真命题是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
2．[2022金华]如图,与相交于点,,,不添加辅助线,判定的依据是（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2023台州]如图,在锐角中,,点,分别在边,上,连接,.下列命题是假命题的是（ ）
第3题图
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
4．[2022南充]如图,在中, ,的平分线交于点,,交于点,于点,,,则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．[2024遂宁]如图①，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在中，，点，在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题（每题5分，共25分）
6．经典题 如图,在和中,,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件:____________________________,使和全等.
第6题图
7．如图，在中, ,平分,,,____.
第7题图
8．[2022荆州]如图,点,分别在的边,的延长线上,连接,分别交,于点,.添加一个条件使,这个条件可以是____________________________（只需写一种情况）.
9．如图,已知的周长是18,,分别平分,,于点,且,则的面积是____.
10．[2023重庆A卷]如图,在中, ,,为上一点,连接.过点作于点,过点作交的延长线于点.若,,则的长度为____.
三、解答题（共15分）
11．[2024泸州]（15分） 如图，在中，，是对角线上的点，且.求证：．
B组—中档题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
12．[2024苏州]（15分）如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，与交于点．
（1） 求证：；
（2） 若， ，求的长．
C组—提升题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
13．[2022北京]（20分）在中, ,为内一点,连接,,延长到点,使得.
（1） 如图①,延长到点,使得,连接,,若,求证:;
①
（2） 连接,交的延长线于点,连接,依题意补全图②.若,用等式表示线段与的数量关系,并证明.
②第16课时 三角形的基础知识
A组—基础题
分值:78分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题8分,共24分）
1．[2023衡阳]下列长度的各组线段能首尾相接组成一个三角形的是（ ）
A．,, B．,,
C．,, D．,,
2．[2023聊城]如图,分别过的顶点,作.若 , ,则的度数为（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2023江西]如图,平面镜放置在水平地面上,墙面于点,一束光线照射到镜面上,反射光线为,点在上.若 ,则的度数为（ ）
第3题图
A． B． C． D．
二、填空题（每题10分,共40分）
4．[2023连云港]一个三角形的两边长分别是3和5,则第三边长可以是________________（只填一个即可）.
5．如图,,,分别为三边的中点.若的周长为10,则的周长为____________.
第5题图
6．[2023十堰]一副三角板按如图所示放置,点在上,点在上.若 ,则__________.
第6题图
7．[2022扬州]“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图,已知三角形纸片,第1次折叠使点落在边上的点处,折痕交于点;第2次折叠使点落在点处,折痕交于点.若,则____.
三、解答题（共14分）
8．[2022温州]（14分）如图,是的角平分线,,交于点.
（1） 求证:;
（2） 当时,请判断与的大小关系,并说明理由.
B组—中档题
分值:10分 掌握度:☆☆☆
9．[2023扬州]（10分）在中, ,,若是锐角三角形,则满足条件的的长可以是（ ）
A．1 B．2 C．6 D．8
C组—提升题
分值:12分 掌握度:☆☆☆
10．[2023陕西]（12分）如图,是的中位线,点在上,,连接并延长,与的延长线相交于点.若,则线段的长为（ ）
A． B．7 C． D．8第19课时 直角三角形和勾股定理
A组—基础题
分值:60分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题5分,共25分）
1．下列每组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,不能构成直角三角形的是（ ）
A．3,4,5 B．6,8,10 C．,2, D．5,12,13
2．[2024陕西]如图，在中， ，是边上的高，是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图,点,都在边长相同的方格纸上的格点上.若,则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．数学文化 《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃（读,门槛的意思）一尺,不合二寸,问门广几何？题目大意是:如图①②（图②为图①的平面示意图）,推开双门,双门间隙,的距离为2寸,点和点距离门槛都为1尺（1尺寸）,则的长是（ ）
① ②
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
5．[2024安徽]如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分,共25分）
6．[2023荆州]如图,为斜边上的中线,为的中点.若,,则____.
7．[2024吉林]图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点，尺，尺.设的长度为尺，可列方程为______________________________．
8．[2022成都]若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根,则这个直角三角形斜边的长是________.
9．[2023随州]如图,在中, ,,,为上一点.若是的平分线,则____.
第9题图
10．如图,在中, ,,点在斜边上,以为直角边作等腰, ,则,,三者之间的数量关系是____________________________.
第10题图
三、解答题（共10分）
11．[2023广西]（10分）如图,在中, , .
（1） 在斜边上求作线段,使,连接;（要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母）
（2） 若,求的长.
B组—中档题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
12．[2023广元]（20分）如图,将边长为4的等边三角形纸片沿边上的高剪成两个三角形,用这两个三角形拼成一个平行四边形.
（1） 画出这个平行四边形（画出一种情况即可）;
（2） 根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长.
C组—提升题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
13．（20分）
（1） 由4个直角边长分别为,的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示,根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理,还可以用来证明结论:若,,且为定值,则当______时,取得最大值（填“ ”“ ”或“”）.
（2） [2022内江]勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形,正方形,正方形的面积分别为,,.若正方形的边长为4,则__.
① ②
（3） [2023金华]如图,在中, ,以其三边为边在的同侧作三个正方形,点在上,与交于点,与交于点.若,则的值是（ ）
A． B． C． D．
（4） [2024武汉]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为.若，则用含的式子表示 的值是__________________________．第20课时 尺规作图
A组—基础题
分值:65分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题5分,共25分）
1．[2024深圳]在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
2．[2024天津]如图，在中， ， ，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的度数为（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2023天津]如图,在中,分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等）,两弧相交于,两点,直线分别与边,相交于点,,连接.若,,,则的长为（ ）
第3题图
A．9 B．8 C．7 D．6
4．[2024武汉]如图，小美同学按如下步骤作四边形（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，.若 ，则的度数是（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．[2024成都]如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点.若，，下列结论错误的是（ ）
第5题图
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分,共25分）
6．[2024贵州]如图，在中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接.若，则的长为____．
第6题图
7．[2024枣庄]如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，.若， ，则到的距离为______．
第7题图
8．[2023遂宁]如图,在中,为对角线,分别以点,为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点,,作直线交于点,交于点.若,,,则的长为____.
第8题图
9．[2024齐齐哈尔]如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点，画射线.若，则____．
第9题图
10．[2023成都]如图,在中,是边上一点,按以下步骤作图:
①以点为圆心,以适当长为半径作弧,分别交,于点,;
②以点为圆心,以长为半径作弧,交于点;
③以点为圆心,以长为半径作弧,在内部交前面的弧于点;
④过点作射线交于点.
若与四边形的面积比为,则的值为________.
三、解答题（共15分）
11．[2024达州]（15分）如图，线段，相交于点，且，于点．
（1） 尺规作图：过点作的垂线，垂足为，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2） 若，请判断四边形的形状，并说明理由.（若前问未完成，可画草图完成此问）
B组—中档题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
12．[2024河南]（15分）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2） 证明（1）中得到的四边形是菱形．
C组—提升题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
13．[2024甘肃]（20分）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图①的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图②，已知和圆上一点.作法如下：
①以点为圆心，长为半径，作弧交于，两点；
②延长交于点；
即点，，将的圆周三等分．
（1） 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图②中将的圆周三等分；（保留作图痕迹，不写作法）
（2） 根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为________．第四章 三角形
第15课时 线段、角、相交线与平行线
A组—基础题
分值:70分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题6分,共30分）
1．[2023河南]如图,直线,相交于点.若 , ,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024盐城]小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图.若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．[2023张家界]如图,已知直线,平分, ,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024陕西]如图，，， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024南充]如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空8分,共40分）
6．
（1） __;
（2） 把化成度的形式,则____________;
（3） 一个角的度数是,则它的余角的度数是______________,补角的度数是________________.
7．[2024绥化]如图，， ，.则________．
B组—中档题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
8．[2024滨州]（15分）一副三角板如图①摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图②，即时，的度数为________．
C组—提升题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
9．[2023荆州]（15分）如图所示的“箭头”图形中,, , ,则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．第四章 三角形
第15课时 线段、角、相交线与平行线
A组—基础题
一、选择题（每题6分,共30分）
1．B 2．B 3．A 4．B 5．C
二、填空题（每空8分,共40分）
6．（1） 87
（2）
（3） ；
7．
[解析]， ， ， ，，
.
B组—中档题
8．
[解析]由已知可得， ，， .由图可得， ，
.
C组—提升题
9．C第19课时 直角三角形和勾股定理
A组—基础题
一、选择题（每题5分,共25分）
1．C 2．C 3．B 4．C 5．B
二、填空题（每题5分,共25分）
6．3
7．
8．
9．5
10．
三、解答题（共10分）
11．（1） 解：所作线段如答图所示.
第11题答图
（2） , ,
.
,.
,即为的中点.
,.
.
.
B组—中档题
12．（1） 解：如答图①，以为对角线；如答图②，以为对角线；如答图③，以为对角线.
第12题答图① 第12题答图② 第12题答图③
（2） 分三种情况讨论,由勾股定理可求解.
,,
,,
如答图①,四边形是矩形,则其对角线的长为4.
如答图②,,连接,过点作，交的延长线于点,
则,,.
如答图③,过点作,交的延长线于点,连接,
.
由题意,得,,
.
C组—提升题
13．（1）
（2） 48
（3） B
（4）
C
0
A
B
A
C
i
1
B
D
E
A
D
上E
B
C第18课时 等腰三角形
A组—基础题
一、选择题（每题5分,共25分）
1．C 2．D 3．C 4．C 5．D
二、填空题（每题5分,共25分）
6．2
7．4
8．20或22
9．6
10．；
三、解答题（共10分）
11．（1） 证明：为的中点，.
，
，，
在和中，,,，
．
（2） 为的中点，，
直线为线段的垂直平分线，
.
由（1）可知：，
，．
B组—中档题
12．（1） 证明：， ．
在和中，，，，
，．
（2） 解：小军的证明过程：
分别延长，至，两点，使得，，如答图所示，
第12题答图
，，
．
， ．
在和中，，，，
，．
，，
，.
，，
．
小民的证明过程：
，
与均为直角三角形.
根据勾股定理，得：，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
C组—提升题
13．（1） ① 证明:和都是等边三角形,
,, ,
,
,.
.
② 解：.理由如下:
和关于对称,.
,.
.
（2） 解：.理由如下:
如答图①,过点作于点,得 .
第13题答图①
和关于对称,
,.
, ,
..
是直角三角形,,
,,
,
,
,
,,
.
,即.
（3） 解：,
.
,,
.
如答图②,过点作于点.
,
,
.
.
.
第13题答图②第18课时 等腰三角形
A组—基础题
分值:60分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题5分,共25分）
1．[2023眉山]如图,在中,, ,则的度数为（ ）
第1题图
A． B． C． D．
2．数学文化 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒,组成,两根棒在点相连并可绕点转动，点固定,,点,可在槽中滑动.若 ,则的度数为（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．如图,在等腰中,为的平分线, ,,,则（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．[2023甘肃]如图,是等边的边上的高,以点为圆心,的长为半径作弧交的延长线于点,则（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．[2024自贡]如图，等边钢架的立柱于点，长.现将钢架立柱缩短成， .则新钢架减少用钢（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分,共25分）
6．[2023江西]将含 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置.已知 ,点,表示的刻度分别为,,则线段的长为____.
第6题图
7．[2023重庆B卷]如图,在中,,是边的中线.若,,则的长为____.
第7题图
8．[2022广安改编].若,则以,为边长的等腰三角形的周长为________.
9．[2022苏州]定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰是“倍长三角形”,底边的长为3,则腰的长为____.
10．[2024湖北]如图，为等边三角形，分别延长，，，到点，，，使，连接，，，连接并延长交于点.若，则________，________．
三、解答题（共10分）
11．[2024南充]（10分）如图，在中，为边的中点，过点作交的延长线于点．
（1） 求证：；
（2） 若，求证：．
B组—中档题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
12．[2024滨州]（20分）【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在中，若，，则有；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知.若把①中的替换为，还能推出吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．
小军 小民
证明：分别延长，至，两点，使得…… 证明：， 与均为直角三角形， 根据勾股定理，得……
【问题解决】
（1） 完成①的证明；
（2） 把②中小军、小民的证明过程补充完整．
C组—提升题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
13．[2023武威]（20分）
（1） 【模型建立】如图①,和都是等边三角形,点关于的对称点在边上.
① 求证:;
② 用等式写出线段,,的数量关系,并说明理由.
（2） 【模型应用】如图②,是直角三角形,,,垂足为,点关于的对称点在边上.用等式写出线段,,的数量关系,并说明理由.
（3） 【模型迁移】在（2）的条件下,若,,求的值.第20课时 尺规作图
A组—基础题
一、选择题（每题5分,共25分）
1．B 2．B 3．D 4．C 5．D
二、填空题（每题5分,共25分）
6．5
7．
8．5
9．2
10．
三、解答题（共15分）
11．（1） 解：如答图，，，为所求作.
第11题答图
（2） 四边形是平行四边形.理由如下：
，，
，，
， .
在和中，
，．
， 四边形是平行四边形．
B组—中档题
12．（1） 解：如答图，即为所求作.
第12题答图
（2） 证明：由（1），得，
．
， 四边形是平行四边形.
是斜边上的中线，
，是菱形．
C组—提升题
13．（1） 解：如答图，点，，即为所求．
第13题答图
（2）
[解析]设交于点，连接,,，如答图．
，
， ，
，
，
，
，，
，
的周长为.
A
B
E
C
E
F
M
A
D
B
A
C
E
M
B第16课时 三角形的基础知识
A组—基础题
一、选择题（每题8分,共24分）
1．D 2．B 3．C
二、填空题（每题10分,共40分）
4．4（答案不唯一）
5．
6．
7．6
三、解答题（共14分）
8．（1） 证明:是的角平分线,
.
,
,
.
（2） 解:.理由如下:
,.
,
,,
,,.
由（1）得,,
,.
B组—中档题
9．C
C组—提升题
10．C第17课时 全等三角形
A组—基础题
一、选择题（每题5分,共25分）
1．C 2．B 3．A 4．A 5．D
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（答案不唯一）
7．3
8．（答案不唯一）
9．9
10．3
三、解答题（共15分）
11．证明： 四边形是平行四边形，
，，．
在和中，
，．
B组—中档题
12．（1） 证明：由作图知：．
在和中，
．
（2） 解：， ，
.
又，，．
，
，
．
C组—提升题
13．（1） 证明:在和中,
.
,
.
,
.
（2） 解:依题意补全图形如答图所示.
第13题答图
线段与的数量关系是：.证明如下:
如答图,延长到点,使,连接,.
,,
.
由（1）可知,.
,
，
,，
， .
又,
.
A
H
D
B
C
一一◆
E
