第22课时 矩形
A组—基础题
分值:65分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题5分,共25分）
1．[2024甘肃]如图，在矩形中，对角线，相交于点， ，，则的长为（ ）
第1题图
A．6 B．5 C．4 D．3
2．[2024成都]如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
第2题图
A． B．
C． D．
3．[2024上海]四边形为矩形，过，作对角线的垂线，过，作对角线的垂线.如果四个垂线拼成一个四边形，那么这个四边形为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
4．如图,在矩形中,,分别是边,上的点,,连接,,与对角线交于点,且,,,则的长为（ ）
第4题图
A． B．8 C． D．6
5．如图,矩形的对角线,交于点,,,过点作,交于点,过点作,垂足为,则的值为（ ）
第5题图
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分,共25分）
6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件：____________________________，使矩形是正方形．
7．图①是一种矩形时钟,图②是时钟的示意图,时钟上的数字2的刻度在矩形的对角线上,时钟中心在矩形对角线的交点上.若,则________.
① ②
8．如图,在矩形中,对角线与相交于点,过点作,垂足为.若,,则____.
第8题图
9．[2023台州]如图,在矩形中,,.在边上取一点,使,过点作,垂足为,则的长为________.
第9题图
10．如图,在矩形中,,点在边上,将沿直线折叠,点恰好落在对角线上的点处.若,则的长为____.
三、解答题（共15分）
11．[2024新疆]（15分） 如图，的中线，交于点，点，分别是，的中点．
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 当时，求证：四边形是矩形．
B组—中档题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
12．[2024遂宁]（15分）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其他判定定理．
（1） 实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段，，，；
③顺次连接所得的四点得到四边形，如图①．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：____________________________________________．
（2） 猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图②，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．
C组—提升题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
13．[2022威海]（20分）
（1） 将两张长为8,宽为4的矩形纸片按如图①所示叠放.
①
① 判断四边形的形状,并说明理由;
② 四边形的面积为__.
（2） 如图②,在矩形和矩形中,,,,求四边形的面积.
②第五章 四边形
第21课时 多边形与平行四边形
A组—基础题
一、选择题（每题5分,共25分）
1．A 2．B 3．C 4．C 5．A
二、填空题（每题5分,共25分）
6．7
7．
8．2
9．10
10．
三、解答题（共15分）
11．（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，，．
，
，．
在和中，
．
（2） 解：添加，如答图.理由如下：
，，．
四边形是平行四边形，
， 四边形是平行四边形．
第11题答图
B组—中档题
12．（1） 证明：在和中，
，
，
即，
，
是等腰三角形.
（2）
[解析]与直线的位置关系是：，理由如下：
连接，过作 直线于点，过点作 直线于点，如答图所示：
第12题答图
则 ，，
，
.
在和中，
，
，
四边形为平行四边形，
．
C组—提升题
13．（1） 证明：,,,分别是各边的中点,
,,
四边形是平行四边形,.
同理可证,四边形是平行四边形,
,
四边形是平行四边形.
（2） 解：如答图,连接.
第13题答图
,分别是,的中点,
点是的重心,
,.
是的中线,.
是和的对角线,
.
的面积为4,
的面积为12.
A
F
D
B
E
C
A
D
1
G
B i
M E
CN FI
A
H
D
N
E
G
M
B
F
C第24课时 正方形及四边形的综合
A组—基础题
一、选择题（每题5分,共25分）
1．C 2．C 3．B 4．C 5．C
二、填空题（每题5分,共25分）
6．（答案不唯一）
7．
8．2
9．
10．
三、解答题（共15分）
11．（1） 证明: 四边形是正方形,
,.
又,
,
,
.
（2） 如答图,延长,交的延长线于点.
第11题答图
是的中点,.
又 ,,
,
,即是的中点.
又 ,
在中,.
B组—中档题
12．（1） 证明:在正方形中,,
,
,
,.
（2） 解:.理由如下:
如答图,连接交于点.
第12题答图
为正方形的对角线,
.
又,,
,.
在正方形中, ,
又,,
四边形为矩形,,
,.
由（1）得,
,
,
,
.
C组—提升题
13．（1） 解：.理由如下：
，，，
，
，
．
，
，
，，
，
．
（2） .理由如下：
过点作于点，过点作于点，如答图①.
第13题答图①
四边形是正方形，是正方形的对角线，
，平分， ，
，
．
，，
．
，
，
．
，，， ，
四边形是正方形，
是正方形的对角线，，
，，
，，
，
．
，
，
．
（3） .理由如下：
过点作于点，过点作，交的延长线于点，如答图②，
第13题答图②
，，，
，
，
.
，
，
．
在正方形中， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
，
，
，
．第24课时 正方形及四边形的综合
A组—基础题
分值:65分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题5分,共25分）
1．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:
.两组对边分别相等;
.一组对边平行且相等;
.一组邻边相等;
.一个角是直角.
顺次添加的条件:;;,则正确的是（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
2．[2024岳阳模拟]如图，在菱形中，对角线，交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
第2题图
A． B．
C． D．
3．[2024陕西]如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点.若，，则的长为（ ）
第3题图
A．2 B．3 C． D．
4．[2022重庆B卷]如图,在正方形中,对角线,相交于点,,分别为,上一点,且,连接,,.若 ,则的度数为（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．[2024广西]如图，在边长为5的正方形中，，，，分别为各边的中点.连接，，，，交点分别为，，，，那么四边形的面积为（ ）
第5题图
A．1 B．2 C．5 D．10
二、填空题（每题5分,共25分）
6．[2023龙东地区]如图,在矩形中,对角线,相交于点,试添加一个条件:____________________________,使得矩形为正方形.
第6题图
7．[2024北京]如图，在正方形中，点在上，于点，于点.若，，则的面积为________．
第7题图
8．[2024福建]如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为____．
第8题图
9．[2023枣庄]如图,在正方形中,对角线与相交于点,为上一点,,为的中点.若的周长为32,则的长为________.
第9题图
10．[2023广西]如图,在边长为2的正方形中,,分别是,上的动点,,分别是,的中点,则的最大值为______.
三、解答题（共15分）
11．（15分）经典题 如图,在正方形中,是的中点,连接,过点作交于点,交于点.
（1） 求证:;
（2） 连接,求证:.
B组—中档题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
12．[2023绍兴]（15分）如图,在正方形中,是对角线上的一点（与点,不重合）,,,垂足分别为,.连接,,并延长交于点.
（1） 求证:;
（2） 判断与是否垂直,并说明理由.
C组—提升题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
13．[2024甘肃]（20分）【模型建立】
（1） 如图①，已知和，，，，.用等式写出线段，，之间的数量关系，并说明理由;
【模型应用】
（2） 如图②，在正方形中，点，分别在对角线和边上，，.用等式写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3） 如图③，在正方形中，点在对角线上，点在边的延长线上，，.用等式写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．第23课时 菱形
A组—基础题
分值:70分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题5分,共25分）
1．关于菱形的性质,下列说法不正确的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．[2023乐山]如图,菱形的对角线与相交于点,为边的中点,连接.若,,则的长为（ ）
第2题图
A．2 B． C．3 D．4
3．如图,在菱形中,, ,则的长为（ ）
第3题图
A． B．1 C． D．
4．如图,四边形的两条对角线相交于点且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2024山西]在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，相交于点.若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
二、填空题（每题5分,共25分）
6．[2022达州]如图,菱形的对角线,相交于点,,,则菱形的周长为__.
第6题图
7．如图,在平面直角坐标系中,菱形对角线的交点坐标是,点的坐标是,且,则点的坐标是________________.
第7题图
8．[2023甘肃]如图,在菱形中, ,,,垂足分别为,.若,则________.
第8题图
9．[2024广西]如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 ，则重合部分构成的四边形的周长为________．
第9题图
10．[2022铁岭、葫芦岛]如图,是的角平分线,过点分别作,的平行线,交于点,交于点.若 ,,则四边形的周长是__.
三、解答题（共20分）
11．[2024广安]（10分）如图，在菱形中，点，分别是，边上的点，，求证：．
12．[2023随州]（10分）如图,矩形的对角线,相交于点,,.
（1） 求证:四边形是菱形;
（2） 若,,求四边形的面积.
B组—中档题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
13．[2023怀化]（15分）如图,在矩形中,过对角线的中点作的垂线,分别交,于点,.
（1） 求证:;
（2） 连接,,求证:四边形是菱形.
C组—提升题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
14．[2023江西]（15分）【课本再现】
思考 我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【定理证明】
（1） 为了证明该定理,小明同学画出了图形（如图①）,并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在中,对角线,垂足为.
求证:是菱形.
【知识应用】
（2） 如图②,在中,对角线和相交于点,,,.
① 求证:是菱形;
② 延长至点,连接交于点,若,求的值.第五章 四边形
第21课时 多边形与平行四边形
A组—基础题
分值:65分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题5分,共25分）
1．[2024枣庄]如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形.若 ，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
2．[2023成都]如图,在中,对角线与相交于点,则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2023衡阳]如图,在四边形中,已知.添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
4．[2023十堰]如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架,然后向左扭动框架.观察所得四边形的变化,下列说法错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形
B．对角线的长度减小
C．四边形的面积不变
D．四边形的周长不变
5．[2023泸州]如图,的对角线,相交于点,的平分线与边相交于点,是的中点.若,,则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题5分,共25分）
6．[2024包头]若一个边形的内角和是 ，则____．
7．[2024威海]如图，在正六边形中，，，垂足为.若 ，则________．
8．[2023株洲]如图,在中,,,的平分线交线段于点,则____.
第8题图
9．[2023福建]如图,在中,为的中点,过点且分别交,于点,.若,则的长为__.
第9题图
10．数学文化 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,是的对角线,点在上,, ,则的度数是________.
三、解答题（共15分）
11．[2024武汉]（15分）如图，在中，点，分别在边，上，．
（1） 求证：；
（2） 连接.请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形.（不需要说明理由）
B组—中档题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
12．[2024常州]（15分） 如图，，，，是直线上的四点，，相交于点，，，．
（1） 求证：是等腰三角形；
（2） 连接，则与的位置关系是____________．
C组—提升题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
13．[2023扬州].（20分）如图,,,,分别是各边的中点,连接,相交于点,连接,相交于点.
（1） 求证:四边形是平行四边形;
（2） 若的面积为4,求的面积.第22课时 矩形
A组—基础题
一、选择题（每题5分,共25分）
1．C 2．C 3．A 4．D 5．C
二、填空题（每题5分,共25分）
6．（答案不唯一）
7．
8．1
9．
10．6
三、解答题（共15分）
11．（1） 证明：和是的中线，
和分别为和的中点，
是的中位线，
，．
同理可得，，，
，，
四边形是平行四边形．
（2） 的中线，交于点，
点是的重心，
，．
又，分别是，的中点，
，，
，．
，．
又 四边形是平行四边形，
是矩形．
B组—中档题
12．（1） 对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2） 证明： 四边形是平行四边形，
，
在和中，
，.
， ，
，
四边形是矩形．
C组—提升题
13．（1） ① 解:四边形是菱形.理由如下:
四边形和四边形都是矩形,
,,，
四边形是平行四边形.
,,
.
平行四边形是菱形.
② 20
（2） 设,则.
四边形和四边形都是矩形,
,,，
四边形是平行四边形.
,,
.
,即,解得.
在中,由勾股定理,得
,
解得或（负值舍去）,
,
.第23课时 菱形
A组—基础题
一、选择题（每题5分,共25分）
1．B 2．B 3．D 4．A 5．A
二、填空题（每题5分,共25分）
6．52
7．
8．
9．
10．16
三、解答题（共20分）
11．证明： 四边形是菱形，
，.
，.
在和中，
，
，．
12．（1） 证明:,,
四边形是平行四边形.
矩形的对角线,相交于点,
,,,
, 四边形是菱形.
（2） 解:四边形是矩形,,,
,,
.
四边形是菱形,
.
B组—中档题
13．（1） 证明: 四边形是矩形,
,.
是的中点,.
又,
.
（2） 由（1）知,.
四边形是矩形,
,即，
四边形是平行四边形.
, 四边形是菱形.
C组—提升题
14．（1） 证明: 四边形是平行四边形,
.
又,垂足为,
是的垂直平分线,
,是菱形.
（2） ① 证明:在中,对角线和相交于点,,,
,.
又,
在中,,
,即.
是菱形.
② 解:如答图,设的中点为,连接.
第14题答图
是的中位线,.
由①知,四边形是菱形,
.
,,
又,
,.
是的中位线,，
,.
,,.
A
D
G
0
F
B
C
E
