第七章 相似形
第28课时 相似
A组—基础题
一、选择题（每题5分,共25分）
1．A 2．D 3．D 4．C 5．B
二、填空题（每题5分,共30分）
6．
[解析],
，
.
，
．
7．3
[解析]，，
，
是的中位线，
.
，
.
，，
，
，
，
，
．
8．
9．
10．
11．
三、解答题（共10分）
12．（1） 证明：,.
,,
,.
（2） ,,
.
,
,
,
.
,
.
B组—中档题
13．（1） 解：与相切.证明如下:
如答图,连接.
第13题答图
,
.
是的直径,
,
,.
,
,
,
,
.
又为的半径,
与相切.
（2） ,,
.
设,则,
,,,
,.
,
,
.
,
,
.
C组—提升题
14．（1） ①
②
（2） 解：是直角三角形.理由如下：
，，
，
，
，
由（1）得，
，.
，
，
，
是直角三角形.
（3） ，，
，
，
．
如答图，以点为圆心，2为半径作，则点，都在上，延长到点，使，交于点，则， ，
第14题答图
，则.
，
，
，
点在过点且与垂直的直线上运动.
如答图，过点作，垂足为，即为最短的，连接，
，
四边形是矩形.
在中可求得，
当线段的长度取得最小值时，线段的长为．第29课时 相似的应用
A组—基础题
一、选择题（每题5分,共25分）
1．C 2．A 3．A 4．B 5．B
二、填空题（每题5分,共25分）
6．6
7．
8．
9．
10．
三、解答题（共15分）
11．解：由题意得，，，
，，，
，，
与的比是，
，
，
，.
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是，，，．
B组—中档题
12．解：方案一：过点作于点，如答图.
第12题答图
由题意，得，，
，
四边形为矩形，
，.
在中，，
，
．
方案二：由题意，得，，， ，，
，
，即，解得．
答：树的高度约为．
C组—提升题
13．（1） 证明：，，
，
，
.
（2） 解：过点作交于点，如答图①，
第13题答图①
，
.
，
，.
是的中点，
，
.
在中，由勾股定理，得，
，
，
.
（3） 解：如答图②.
第13题答图②
，是的中点，
.
设，则.
由（1）知，，
，
，，
.
在中，，
，
，
，
.
在中，于点，
， ，
，
，，
.
， ，
，
,
，即，
.
在中， ，
，
．
A
325°--
D
E
C
B
A、E
C
PF.D
B
M
A(E)
H
N
G
C
B
F
D
M第七章 相似形
第28课时 相似
A组—基础题
分值:65分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题5分,共25分）
1．[2023甘肃]若,则（ ）
A．6 B． C．1 D．
2．[2024重庆A卷]若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024连云港]下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
4．如图,在中,点在边上,连接,点在边上,过点作,交于点,过点作,交于点,则下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2023安徽]如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点.若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分,共30分）
6．[2024云南]如图，与交于点，且.若，则________．
7．[2024重庆A卷]如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点.若，，则____．
8．[2023乐山]如图,在中,是线段上一点,连接,交于点.若,则________.
9．如图,是的直径,是外一点,点在上,与相切于点, .若,,,则弦的长为________.
10．如图,在中,,垂足为,,,四边形和四边形均为正方形,且点,,,,都在的边上,那么与四边形的面积比为________.
11．[2024眉山]如图，菱形的边长为6， ，过点作，交的延长线于点，连接分别交，于点，，则的长为________
三、解答题（共10分）
12．[2023上海]（10分）如图,在梯形中,,点,分别在线段,上,且,.
（1） 求证:;
（2） 若,求证:.
B组—中档题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
13．[2023云南]（15分）如图,是的直径,是上异于,的点.外的点在射线上,直线与垂直,垂足为,且.设的面积为,的面积为.
（1） 判断直线与的位置关系,并证明你的结论;
（2） 若,,求常数的值.
C组—提升题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
14．[2024济南]（20分） 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
【拓展探究】
如图①，在中， ，，垂足为．
（1） 兴趣小组的同学得出.理由如下：
, . , , , . , , , .
请完成填空：
① __________，
② __________；
（2） 如图②，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
【学以致用】
（3） 如图③，是直角三角形， ，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且.当线段的长度取得最小值时，求线段的长．第29课时 相似的应用
A组—基础题
分值:65分 掌握度:☆☆☆
一、选择题（每题5分,共25分）
1．[2022丽水]如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点,,都在横线上.若线段,则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
2．[2022重庆B卷]如图,与位似,点是它们的位似中心,且相似比为,则与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
3．[2023遂宁]在方格图中,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中,格点,成位似关系,则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．[2023南充]如图,数学活动课上,为测量学校旗杆的高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上）,直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面的高度为,同时量得小菲与镜子的水平距离为,镜子与旗杆的水平距离为,则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．[2022十堰]如图,某零件的外径为,用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径.如果,且量得,则零件的厚度的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分,共25分）
6．[2023江西]《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图,点,,在同一水平线上,和均为直角,与相交于点.测得,,,则树高____.
7．[2022成都]如图,和是以点为位似中心的位似图形.若,则与的周长比是________.
8．[2022嘉兴]如图,在中, , ,直尺的一边与重合,另一边分别交,于点,.点,,,处的读数分别为15,12,0,1,则直尺宽的长为________.
9．如图,是双曲线上一动点,连接,过点作,且使,当点在双曲线上运动时,点在双曲线上移动,则的值为________.
10．[2023绥化]如图,在平面直角坐标系中,与的相似比为,点是位似中心.已知点,, ,则点的坐标为__________________.（结果用含,的式子表示）
三、解答题（共15分）
11．[2024常州]（15分）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴，以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图，一幅书画在装裱前的大小是.装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是，，，.若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．
B组—中档题
分值:15分 掌握度:☆☆☆
12．[2024湖北].（15分）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图①，测得地与树相距，眼睛处观测树的顶端的仰角为 ；
方案二：如图②，测得地与树相距，在处放一面镜子，后退到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端．
已知小明的眼睛到地面的高度是，试选择一个方案求出树的高度.（结果保留整数，）
C组—提升题
分值:20分 掌握度:☆☆☆
13．[2024长沙模拟]（20分）如图①，在中， ，,是的中点，点是边上一点，连接，在线段的左侧作，射线与边交于点．
（1） 求证：；
（2） 若，求的值；
（3） 如图②，过点作于点，与线段，分别交于点，，当点与点重合时，求的值．
