3.8 圆内接正多边形 课件(共37张PPT) 2024-2025学年北师大版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 3.8 圆内接正多边形 课件(共37张PPT) 2024-2025学年北师大版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-22 21:29:13 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
北师版·九年级下册
8 圆内接正多边形
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看到的.你能从这些图案中找出基本的几何图形吗
新课导入
探究新知
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
问题2 怎样由圆得到正多边形呢？
合作探究
把一个圆 n 等分(n ≥ 3)，依次连接各分点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
能否类比圆学习一下圆内正多边形.
问题1 如何作圆内接正三角形 正四边形 正五边形
正六边形
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
圆心到弦的距离
正多边形的边心距
如图，五边形 ABCDE 是⊙O的内接正五边形，说一说你知道的哪些知识点？
E
A
B
C
D
O
圆心O叫做这个正五边形的中心.
OA是这个正五边形的半径.
∠AOB是这个正五边形的中心角.
M
OM是这个正五边形的边心距.
说一说
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
A
B
C
D
E
F
O
G
解：连接 OD.
∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴ △COD 为等边三角形.
∴ CD = OC = 4 .
在Rt△COG 中，OC = 4，
∴ 正六边形 ABCDEF 的中心角为60°， 边长为 4，边心距为
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
A
B
C
D
E
F
O
G
2. 作边心距，构造直角三角形.
1. 连半径，得中心角；
O
边心距 r
边长一半
半径 R
B
P
中心角一半
圆内接正多边形的辅助线:
总结
方法总结
已知 ⊙O 的半径为 r，求作 ⊙O 的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 ，
所以正六边形的边长与圆的半径 .
因此，在半径为 r 的圆上依次截取等于 的弦，
即可将圆六等分.
60°
相等
r
. O
做一做
O
如何用尺规作一个已知圆的内接正六边形呢？
作法一
由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径 R . 所以，在半径为 R 的圆上，依次截取等于 R 的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形.
R
O
分别以F，C
为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，
与⊙O相交于点E，A和D，B，
如何用尺规作一个已知圆的内接正六边形呢？
作法二
作⊙O的任意一条直径FC，
F
C
E
A
D
B
则 A，B，C，D，E，F 是 ⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.
你还能借助尺规作出圆内接正四边形吗？
O
C
D
A
B
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 各边都相等的多边形是正多边形
B. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 各边都相等的圆内接多边形是正多边形
D. 各角都相等的圆内接多边形是正多边形
C
随堂练习
各角也要相等
边数是偶数的正多边形
内接矩形，各角都相等，但不是正多边形.
2. 分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.
·
A
B
C
O
D
解：如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，OB=6cm，OD⊥BC．
等边三角形的内心和外心重合，所以OB平分∠ABC，则∠OBD=30°；
∴ OD=OB·sin30°=6· =3 cm.
3.如图，点 O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点 O（使该角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积 n 等分，那么 n 的所有可能取值的个数是（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
B
解析：根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化成正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题！
1.下列说法正确的是（ ）
A. 各边都相等的多边形是正多边形
B. 一个圆有且只有一个内接正多边形
C. 圆内接正四边形的边长等于半径
D. 圆内接正n边形的中心角度数为
D
2. 已知正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是 24 ，则⊙O 的半径长是 ( )
O
30°
24÷6÷2 = 2
R
B
P
B
3. 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH．
(1) 求∠FAB 的度数；
(2) 求证：OG = OH．
(1) 解：∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
O
∴∠FAB = .
(2) 证明：连接 OA、OB.
∵ OA = OB，
∴∠OAB =∠OBA.
∵∠FAB =∠CBA，
∴∠OAG =∠OBH.
∴△AOG≌△BOH (SAS).
∴ OG = OH．
又∵ AG = BH，
O
拓广探索：如图，M，N 分别是☉O 内接正多边形的边AB，BC 上的点，且 BM = CN.
(1) 图①中∠MON = °，图②中∠MON = °，
图③中∠MON = °；
(2) 试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系.
90
72
120
.
A
B
C
M
N
O
图①
A
B
C
D
M
N
O
图②
A
B
C
D
E
M
N
O
图③
1. 如图，已知 ⊙O 的周长等于 6π，则该圆内接正六边形 ABCDEF 的边心距 OG 为 ( )
C
链接中考
链接中考
2. 如图，正六边形ABCDEF 内接于 ⊙O ，点 M 在 上，则 ∠CME 的度数为 ( )
A.30° B.36°
C.45° D.60°
D
圆内接正多边形
正多边形和圆的关系
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正 n 边形各顶点等分其外接圆
课堂小结
通过本节课的学习，你对圆的内接正多边形还有哪些疑问？
【教材P99 第1题】
1．如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形 DFHKGE，求这个正六边形的面积.
2．求半径为6 cm的圆内接正四边形的边长、边心距和面积.
【教材P99 第2题】
3．各边相等的圆内接四边形是正方形吗 各角相等的圆内接四边形呢 如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.
【教材P99 第3题】
4.⊙O半径为r，其内接正三角形、正四边形、正六边形的边长分别为a， b，c.
（1）求a， b，c;
（2）以a， b，c为边可否构成三角形 如果能，构成的是什么三角形 如果不能，请说明理由.
【教材P99 第4题】
5．画一个正五边形，再画出它的对角线，那么你会得到一个什么图案
【教材P99 第5题】
北师版·九年级下册
8 圆内接正多边形
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看到的.你能从这些图案中找出基本的几何图形吗
新课导入
探究新知
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
问题2 怎样由圆得到正多边形呢？
合作探究
把一个圆 n 等分(n ≥ 3)，依次连接各分点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
能否类比圆学习一下圆内正多边形.
问题1 如何作圆内接正三角形 正四边形 正五边形
正六边形
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
圆心到弦的距离
正多边形的边心距
如图，五边形 ABCDE 是⊙O的内接正五边形，说一说你知道的哪些知识点？
E
A
B
C
D
O
圆心O叫做这个正五边形的中心.
OA是这个正五边形的半径.
∠AOB是这个正五边形的中心角.
M
OM是这个正五边形的边心距.
说一说
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
A
B
C
D
E
F
O
G
解：连接 OD.
∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴ △COD 为等边三角形.
∴ CD = OC = 4 .
在Rt△COG 中，OC = 4，
∴ 正六边形 ABCDEF 的中心角为60°， 边长为 4，边心距为
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
A
B
C
D
E
F
O
G
2. 作边心距，构造直角三角形.
1. 连半径，得中心角；
O
边心距 r
边长一半
半径 R
B
P
中心角一半
圆内接正多边形的辅助线:
总结
方法总结
已知 ⊙O 的半径为 r，求作 ⊙O 的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 ，
所以正六边形的边长与圆的半径 .
因此，在半径为 r 的圆上依次截取等于 的弦，
即可将圆六等分.
60°
相等
r
. O
做一做
O
如何用尺规作一个已知圆的内接正六边形呢？
作法一
由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径 R . 所以，在半径为 R 的圆上，依次截取等于 R 的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形.
R
O
分别以F，C
为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，
与⊙O相交于点E，A和D，B，
如何用尺规作一个已知圆的内接正六边形呢？
作法二
作⊙O的任意一条直径FC，
F
C
E
A
D
B
则 A，B，C，D，E，F 是 ⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.
你还能借助尺规作出圆内接正四边形吗？
O
C
D
A
B
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 各边都相等的多边形是正多边形
B. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 各边都相等的圆内接多边形是正多边形
D. 各角都相等的圆内接多边形是正多边形
C
随堂练习
各角也要相等
边数是偶数的正多边形
内接矩形，各角都相等，但不是正多边形.
2. 分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.
·
A
B
C
O
D
解：如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，OB=6cm，OD⊥BC．
等边三角形的内心和外心重合，所以OB平分∠ABC，则∠OBD=30°；
∴ OD=OB·sin30°=6· =3 cm.
3.如图，点 O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点 O（使该角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积 n 等分，那么 n 的所有可能取值的个数是（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
B
解析：根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化成正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题！
1.下列说法正确的是（ ）
A. 各边都相等的多边形是正多边形
B. 一个圆有且只有一个内接正多边形
C. 圆内接正四边形的边长等于半径
D. 圆内接正n边形的中心角度数为
D
2. 已知正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是 24 ，则⊙O 的半径长是 ( )
O
30°
24÷6÷2 = 2
R
B
P
B
3. 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH．
(1) 求∠FAB 的度数；
(2) 求证：OG = OH．
(1) 解：∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
O
∴∠FAB = .
(2) 证明：连接 OA、OB.
∵ OA = OB，
∴∠OAB =∠OBA.
∵∠FAB =∠CBA，
∴∠OAG =∠OBH.
∴△AOG≌△BOH (SAS).
∴ OG = OH．
又∵ AG = BH，
O
拓广探索：如图，M，N 分别是☉O 内接正多边形的边AB，BC 上的点，且 BM = CN.
(1) 图①中∠MON = °，图②中∠MON = °，
图③中∠MON = °；
(2) 试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系.
90
72
120
.
A
B
C
M
N
O
图①
A
B
C
D
M
N
O
图②
A
B
C
D
E
M
N
O
图③
1. 如图，已知 ⊙O 的周长等于 6π，则该圆内接正六边形 ABCDEF 的边心距 OG 为 ( )
C
链接中考
链接中考
2. 如图，正六边形ABCDEF 内接于 ⊙O ，点 M 在 上，则 ∠CME 的度数为 ( )
A.30° B.36°
C.45° D.60°
D
圆内接正多边形
正多边形和圆的关系
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正 n 边形各顶点等分其外接圆
课堂小结
通过本节课的学习，你对圆的内接正多边形还有哪些疑问？
【教材P99 第1题】
1．如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形 DFHKGE，求这个正六边形的面积.
2．求半径为6 cm的圆内接正四边形的边长、边心距和面积.
【教材P99 第2题】
3．各边相等的圆内接四边形是正方形吗 各角相等的圆内接四边形呢 如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.
【教材P99 第3题】
4.⊙O半径为r，其内接正三角形、正四边形、正六边形的边长分别为a， b，c.
（1）求a， b，c;
（2）以a， b，c为边可否构成三角形 如果能，构成的是什么三角形 如果不能，请说明理由.
【教材P99 第4题】
5．画一个正五边形，再画出它的对角线，那么你会得到一个什么图案
【教材P99 第5题】