吉林省长春市基础教育2024-2025学年高二上学期质检数学试卷（PDF版，含答案）

吉林省长春市基础教育 2024-2025 学年高二上学期质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ， 是两个实数， ： 2 2 3 ≤ 0， ：0 ≤ ≤ 2，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.下列说法正确的是( )
A. 若 > > 0，则 > B. 若 > ，则| | > | |
2 + C. 若 < < 0，则 > D. 若 > > ，则 >
+
3.已知 ， ∈ ， + lg(2 ) = 1，则4 + 的最小值为( )
A. 2√ 2 B. 4√ 2 C. 2√ 5 D. 4√ 5
1 3
4.已知sin( + ) = ，sin( ) = ，则 的值为( )
5 5 tan
1 1
A. . 2 B. . 2 C. D. ．
2 2
5.已知集合 = {( , )| ， ∈ }，集合 = {( , )|0 < < 2，0 < < 1}，集合 = {( , )| ≤ }，则以
下元素属于集合 ∩ ( )的是( )
1 1 1 1 1 3 1
A. ( , 1) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
4 2 4 4 2 4 2
6.如图，在等腰梯形 中， // ， = 5， = 4， = 1， 是
线段 上一点，且 = 4 ，动点 在以 为圆心，1为半径的圆上，则
的最大值为( )
A. √ 3 √ 21
B. 2√ 3 6
C. √ 21 6
D. √ 3
7.甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两
胜制(无平局情况)，第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最
终甲胜的概率为( )
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.57 D. 0.575
8.已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， = = = = = 2√ 2， = 2√ 3，则
球 的表面积为( )
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40 27 21
A. B. 20 C. D.
3 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
√ 2 + , ≥ 2
9.设函数 ( ) = { ( > 0且 ≠ 1).则下列四个结论正确的是( ) | 2|, < 2
A. 当 = 2时，存在 ，方程 ( ) = 有唯一解
B. 当 ∈ (0,1)时，存在 ，方程 ( ) = 有三个解
C. 对任意实数 ( > 0且 ≠ 1)， ( )的值域为[0,+∞)
D. 存在实数 ，使得 ( )在区间( ,+∞)上单调递增
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列
为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数，则 = [ ]称
为高斯函数，如[3.24] = 3，[ 1.5] = 2.若 ( ) = [ ]，则( )
A. 当2024 ≤ < 2025时， ( ) = 2024
B. ( + 1) ( ) = 1
C. 函数 ( )是增函数
D. 函数 ( )的值域为[0,1)
2
11.已知函数 ( ) = 2 + cos(2 + )，则( )
3
7
A. 函数 ( )的图象关于点( , 0)对称
12
7
B. 将函数 ( )的图象向左平移 个单位长度后所得到的图象关于 轴对称
12
C. 函数 ( )在区间[0, ]上有2个零点
5
D. 函数 ( )在区间[ , ]上单调递增
3 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。
( + 4), > 0
12.已知函数 ( ) = { ，则不等式 ( 1) ≤ ( )的解集是______．
( 4), ≤ 0 2

13.已知函数 ( ) =

+ 是奇函数，则 = ______．
14.如图，边长为4的等边△ ，动点 在以 为直径的半圆上.若 = + ，则
1
+ 的取值范围是______．
2
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四、解答题：本题共 4 小题，共 38 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 + √ 3 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 2√ 3，则△ 的面积为2√ 3，求 ， ．
16.(本小题10分)
1
已知幂函数 ( )的图象过点(3,9)， ( ) = ( ) ．
3
(1)求 ( )的解析式；
(2)记 ( )， ( )在区间[1,2)上的值域分别为集合 ， ，若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题10分)
为了研究某种理财工具的使用情况，对[20,70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：
[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]，并整理得到频率分布直方图如图：
(1)求直方图中 的值；
(2)采用分层随机抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？
(3)在(2)中抽取的8人中，随机抽取2人，则这2人都来自第三组的概率是多少？
18.(本小题10分)
1
如图，多面体 中，已知面 是边长为4的正方形，△ 是等边三角形， // ， = ，
2
平面 ⊥平面 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求二面角 的大小．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2
12.【答案】[ , 2]
3
1
13.【答案】
2
1 5
14.【答案】[ , ]
2 4
15.【答案】解：(1)由 + √ 3 = 0，
根据正弦定理，化简得 + √ 3 = 0，
因为 = sin( ) = sin( + ) = + ，
所以√ 3 = 0，即 (√ 3 1) = 0．

在△ 中， ≠ 0，可得√ 3 = 1，即2 ( ) = 1，
6
1 5
所以sin( ) = ，结合 ∈ ( , )，可得 = ，即 = ；
6 2 6 6 6 6 6 3
1 √ 3
(2)根据题意，△ 的面积 = = 2√ 3，即 = 2√ 3，解得 = 8…①，
2 4
2 2
+ 2 2 + 2 2 1
由余弦定理 = ，可得 = ，结合 = 2√ 3，整理得 2 + 2 = 20…②，
2 2 2
由①②组成方程组，解得 = 2， = 4或 = 4， = 2．
16.【答案】解：(1)设幂函数 ( ) = ， ∈ ；
由 ( )的图象过点(3,9)，3 = 9，解得 = 2，
所以 ( ) = 2；
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(2)因为 ( ) = 2在[1,2)上的值域为 = [1,4)，
1
函数 ( ) = ( )
1 1
在区间[1,2)上的值域为 = ( , ]，
3 9 3
若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，则 是 的子集，
1
≥ 1 11 8
即{9 ，解得 < ≤ ，
1 3 9
< 4
3
11 8
所以实数 的取值范围是{ | < ≤ }.
3 9
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质，可得(0.040 + 2 + 0.015 + 0.005) × 10 = 1，
解得 = 0.020；
(2)由频率分布直方图知第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，
所以三个组依次抽取的人数为2，4，2；
(3)记第二组两人分别为 1， 2，第三组四人分别为 1， 2， 3， 4，第四组两人分别为 1， 2，
则样本空间 = {( 1, 2)，( 1, 1)，( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 4)( 1, 1)，( 1, 2)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 2, 3)
，( 2, 4)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 4)，( 1, 1)，( 1, 2)，( 2, 3)，( 2, 4)，( 2, 1)，
( 2, 2)，( 3, 4)，( 3, 1)，( 3, 2)，( 4, 1)，( 4, 2)，( 1, 2)
}，共28个样本点，
都来自第三组的为：( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 4)，( 2, 3)，( 2, 4)，( 3, 4)，共6个样本点，
6 3
故其概率为 = = ．
28 14
18.【答案】解：(1)证明：由 是正方形，得 ⊥ ，
而平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，则 ⊥平面 ，
又 平面 ，于是 ⊥ ，
又 // ，所以 ⊥ ．
(2)在平面 内过 作 ⊥ ，由平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
得 ⊥平面 ，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 (0,4,0), (4,4,0), (2,0,2√ 3), (2,2,2√ 3)，
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= (4,0,0), = (2, 2,2√ 3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 4 = 0
则{ ，令 = 1，得
= (0, √ 3, 1)
，
= 2 2 + 2√ 3 = 0
而平面 的法向量为 = (0,0,1)，
设二面角 的平面角为 ，显然 为锐角，
| | 1 1
于是 = |cos < ， > | = = = ，则 = ，
| | | | 1×2 2 3

所以二面角 的大小 ．
3
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