2024-2025学年重庆市鲁能巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市鲁能巴蜀中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：与：互相垂直，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知空间中，点，，，则平面的一个法向量为( )
A. B. C. D.
3.若直线与圆交于，两点，则( )
A. B. C. D.
4.抛物线上一点到的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
7.如图，曲线由三部分构成：半圆：，半圆：，半椭圆：，直线：交于、，动点在曲线上，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于、，的内切圆半径为，的内切圆半径为，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知正方体的棱长为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 直线与平面所成的角为
D. 点与平面的距离为
10.已知实数，满足方程，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11.已知双曲线：的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于、其中在一象限，若，则列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线经过点，且是的一个方向向量，则点到的距离为______．
13.已知抛物线：，直线与抛物线相交于、，且的中点为，则 ______．
14.平面点集，所构成区域的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：，圆：，直线：．
若圆与圆外切，求实数的值；
若与圆、都相切，求实数的值．
16.本小题分
已知椭圆经过点，．
求椭圆的方程；
设椭圆的左右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，若为锐角，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，平面平面，为中点．
求证：面；
点在棱上，设，若二面角余弦值为，求．
18.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点为、，直线：与双曲线相交于、，且双曲线上任意一点到的距离与到：的距离的比为．
求双曲线的标准方程；
斜率存在且不为的直线与双曲线相切．
若与相交于点，与相交于点证明：为定值；
若与直线和分别相交于、，证明：、、、四点共圆．
19.本小题分
已知点在抛物线：上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设，．
求抛物线的方程；
求证：数列是等差数列，并求，；
求的面积．
参考答案
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15.解：圆：，即，
圆：，
两圆的圆心和半径分别为，，，，
则，解得或．
圆心到直线的距离，解得舍负，
圆心到直线的距离，解得或．
16.解：设椭圆，
由椭圆经过点，．
可得，
所以；
由知，，
设、，
设：，与椭圆方程联立，消去，
可得，
即有恒成立，
则，易知，
因为为锐角，，
，
即，
故的取值范围为．
17.证明：由题意：，，
，同理，
又，，
，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
，
又且面，面，，
面；
解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
由，有，
令是平面的一个法向量，
则，即，
令，有，
取面的一个法向量，
则，解得．
18.解：由直线：与双曲线相交于、，且．
可知在双曲线上，所以，
又双曲线上任意一点到的距离与到：的距离的比为，
设，即有，
所以，
又，解得，即．
设：，代入双曲线，
可得，
所以；
证明：由可得，所以；
由，可得，所以，
故，
，
所以，
所以为定值；
证明：若与直线和分别相交于、，
由，可得；由，可得，
且，
所以，，
因为，
所以，
因为，
所以，
故，，，四点在以为直径的圆上．

19.解：将点的坐标代入抛物线的方程可得，可得，
因此，抛物线的方程为．
证明：在抛物线上，则，，
过，且斜率为的直线的方程为，
可得，
解得或，所以，可得，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
所以，；
，则直线的方程为，
则，
点到直线的距离
，
故．

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