6.3 特殊的平行四边形
一、填空题
1.矩形的两条对角线的一个交角是60°，一条对角线与较短边的和是12 cm，则对角线长是_________.
2.在矩形ABCD中，BD、AC相交于O，AC=6，AB=3，则BC=_________，BD=_________，∠AOB=_________，S矩形ABCD=_________.
3.有三个角是_________的四边形是矩形.对角线_________的平行四边形是矩形.有一个角是_________的平行四边形是矩形.
4.如图1，矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上，如果∠BAE=50°，则 ∠DAF=_________.
图1
5.已知矩形的两条对角线的一个交角是40°，那么对角线与矩形的边所成的角是_________.
6.矩形ABCD的两条对角线交于点O，(AB＞BC)，AC=2BC，则∠AOB=________.
7.顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________.顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________.顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是_________.由此猜想：顺次连结_________的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连结_________的四边形四边中点所得四边形是菱形.即新四边形的形状与原四边形的_________有关.
8.菱形的周长是20 cm，则菱形的一边长是_________.
9.菱形的相邻两内角之比为1∶2，则这两个角的度数分别是_________.
10.已知菱形ABCD的两条对角线长分别是6 cm和8 cm，则菱形的周长是_______.
11.对角线互相垂直平分的四边形是_________.
二、选择题
12.能判定一个四边形是菱形的题设是（ ）
A.有一组邻边相等 B.对角线互相垂直
C.有三边相等 D.四条边都相等
13.如图2，在菱形ABCD中，若∠ABC=120°，则BD∶AC等于（ ）
图2
A.∶2 B.1∶2
C. ∶1 D. ∶3
14.若菱形ABCD的周长为16，∠A∶∠B=1∶2，则菱形的面积为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.8
15.□ABCD中，AC、BD交于点O，OM是△OBC的高，若点M是BC中点，那么□ABCD（ ）
A.一定是矩形 B.一定不是矩形
C.不一定是矩形 D.以上答案都不对
三、解答题
16.如图3，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE=∠BDE，求∠EDC的度数.
图3
17.矩形ABCD中,AD=9 cm,AB=3 cm，将其折叠使点D与点B重合，求折叠后DE的长.
图4
18.已知：如图5，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE∥AB，DF∥AC，求证：四边形AFDE是菱形.
图5
19.如图6,矩形ABCD中,AC、BD相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,若∠CAE=15°，求∠BOE的度数.
图6 参考答案
一、1.8 cm 2.3 6 60° 9 3.直角 相等 90° 4.20° 5.70°,20° 6.120° 7.菱形 矩形 菱形 对角线互相垂直 对角线相等 对角线 8.5 cm 9.60°,120° 10.20cm 11.菱形
二、12.D 13.D 14.D 15.A
三、16.60° 17.5cm 18.略 19.75°
课件15张PPT。第6章 平行四边形
6.3 特殊的平行四边形（1）
—矩形的定义及性质推论1.什么叫平行四边形？2.平行四边形有哪些性质？
①边:
②角:
③对角线:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .对边平行且相等.对角相等且邻角互补.互相平分.1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形之间的关系；
2. 探索并能够证明矩形的性质定理；
3. 探索并证明性质定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.阅读课文第17页到第20页，思考以下问题：1、什么叫矩形？2、矩形有哪些性质定理和推论？矩形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.1、矩形是一个特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.矩形有哪些性质呢？ABCD矩形是轴对称图形.2、矩形还有哪些特殊性质呢？猜想1：矩形的四个角都是直角．证明：∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠C=∠A=90°，
∠D= ∠B
AD∥BC
∴ ∠A+ ∠B=180°
∴ ∠D=∠B=180°-∠A
=180°- 90° =90°
即矩形的四个角都是直角.已知：如图，四边形ABCD是矩形，且∠A=90°
求证：∠A= ∠ B= ∠ C= ∠ D=90° 猜想2：矩形的对角线相等．已知：四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD证明：在矩形ABCD中∵∠ABC = ∠DCB = 90°又∵AB = DC ， BC = CB∴△ABC≌△DCB∴AC = BD即矩形的对角线相等.矩形的四个角都是直角．矩形的两条对角线相等．从角上看：从对角线上看：数学语言∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°数学语言∵四边形ABCD是矩形 ∴AC = BDOD证明: 延长BO至D, 使OD=BO,
连结AD、DC.∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°∴平行四边形ABCD是矩形∴AC=BD已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证: BO = AC ?∴BO= BD= AC直角三角形的性质定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． O 例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
已知∠BOC＝120°，AB＝6cm. 求AC的长.解：1、判断下列命题是否是真命题？
（1）平行四边形的两条对角线的长度相等
（2）矩形相邻的两个角的度数相等
（3）矩形的两条对角线互相平分
（4）矩形的对角线平分它的一组对角假命题真命题真命题假命题2、已知: 如图, 过矩形ABCD的顶点作CE//BD，
交AB的延长线于E. 求证：∠CAE=∠CEA※ 矩形的性质定理1矩形的四个角都是直角.※ 矩形的性质定理2矩形的对角线相等.※ 直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形是轴对称图形，两条对称轴.习题P20，练习第1、2题．作 业课件15张PPT。第6章 平行四边形
6.3 特殊的平行四边形（2）
—矩形的判定四边形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.试一试已知△ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠，
BD是斜边AC上的中线若BD=3㎝则AC＝ ㎝
2 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，
BD＝ ㎝，∠BDC＝6510120°1. 经历探索、猜想、证明的过程，理解并掌握矩形的判定定理；
2. 能用综合法来证明矩形的判定定理以及相关结论，解决相关的实际问题.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.你还有其它的判定方法吗？平行四边形ABCD∠A=90°四边形ABCD是矩形思考你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？情境一：
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.你能证明上述结论吗？矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵∠A＝∠B＝90° ∴∠A＋∠B＝180° ∴AD∥BC 同理：AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵∠A＝90° ∴四边形ABCD是矩形矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形. ∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形几何语言：情境二：
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.你能证明上述结论吗？矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.图1-16矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. ∵ 四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
（或OA=OC=OB=OD）
∴四边形ABCD是矩形几何语言：做一做解：1、如图，平行四边形ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠DAB+∠ABC=180°证明：同理：∠EFG=90°、∠FGH=90°∴四边形EFGH是矩形∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ∴∠EAB+∠EBA=90 °∴∠AEB=90°，即∠HEF=90°四边形EFGH是矩形2、已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，
四边形ABEC是平行四边形．
求证：四边形ABCD是矩形．※ 矩形的判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形.※ 矩形的判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形.习题6.3，第3题．作 业课件25张PPT。第6章 平行四边形
6.3 特殊的平行四边形（3）
—菱形的性质及判定定理1. 经历菱形的概念、性质、判定定理的发现过程，掌握菱形的性质定理 “菱形的四条边都相等” ，“菱形的对角线互相垂直, 并且每条对角线平分一组对角” ；
2. 掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” ；
3. 能够运用菱形的知识解决简单的具体问题. 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道如果平行四边形有一个角是直角时, 成为什么图形 ?矩形, 由角变化得到 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢?想一想 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？ 平行四边形 菱形 菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.菱形是轴对称图形(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由.提示:从边、角、对角线等方面来探讨 (1) 观察得到的菱形, 它是轴对称图形吗?
如果是，有几条对称轴?
对称轴之间有什么位置关系?2条对称轴，对称轴互相垂直平分 由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.菱形的性质：菱形的性质1：
菱形的四条边都相等.又：符号语言
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
符号语言
∵四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD
AC平分∠BAD和∠BCD ；
BD平分∠ABC和∠ADC菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.菱形的 两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等边对角线角数学语言菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角.∵四边形ABCD是菱形 ∴ AB=BC=CD=DA∴ ∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
∠ADB=∠CDB
∠ABD=∠CBD
AC⊥BD ∴ OA=OC;OB=OD∴ ∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC ∴ ∠DAB+∠ABC= 180° 菱形的性质已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.证明：∵四边形ABCD是菱形在△ABD中， BO=DO∴AB=AD（菱形的四条边都相等）∴AC⊥BD，AC平分∠BAD同理： AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；
BD平分∠ABC和∠ADC . 证一证想一想 我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？ 那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？一组邻边相等的平行四边形是菱形.根据定义得：命题：有四条边相等的四边形是菱形.已知：在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形证明：∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形四条边都相等的四边形是菱形.∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形数学语言菱形的判定定理1：探究 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形. 转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD; ∴BA=BC ∴ 平行四边形ABCD是菱形求证：平行四边形ABCD是菱形已知：在平行四边形ABCD中，AC ⊥ BD对角线互相垂直的平行四边形是菱形.数学语言菱形的判定定理2：∵在□ABCD中，AC⊥BD∴ □ABCD是菱形菱形常用的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形有四条边相等的四边形是菱形下列三个图形都是菱形, 正确吗? 为什么？有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形 有四条边相等的四边形是菱形有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可. 你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？1、如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠ EAF=60°, ∠ BAE=18°, 求∠ CEF的度数.2、已知：如图, 四边形ABCD是边长为13cm的菱形, 其中对角线BD长10cm.求: (1)对角线AC的长度 (2)菱形的面积解: (1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠AED=90°,∴AC=2AE=2×12=24(cm).=2×△ABD的面积解：(2) 菱形ABCD的面积
=△ABD的面积+△CBD的面积求: (2)菱形的面积 由此可进一步推导得出：
对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半.1.你的收获是什么？你的困惑是什么？
2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？习题P26，练习第1、2题．作 业课件16张PPT。第6章 平行四边形
6.3 特殊的平行四边形（4）
—正方形四边形矩形平行四边形菱形说一说1. 理解并掌握正方形的概念、性质及判定；
2. 经历探索正方形有关性质和判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形的关系.正方形正方形有一个角是
直角
情景一★正方形是特殊的菱形问题: 1. 图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？2. 当CD移动到C?D?位置，此时AD?＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？AB★ 正方形是特殊的矩形两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD 情景二邻边相等的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？矩形正方形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？菱形正方形定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形._______________的菱形是正方形. _______________的矩形是正方形.有一个角是直角有一组邻边相等轴对称图形，有4条对称轴(1)它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，
两组对角相等，
对角线互相平分.(2) 具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等.(3)具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.(A)(B)(C)(D)1、对称性2、性质正方形的判定方法：（可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法例2 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PM⊥BC于M， PN⊥DC于N. 试说明：AP=MN证明:连接PC∵PM⊥BC ， PN⊥DC 四边形ABCD是正方形∴∠NCM=90°∴四边形PMCN是矩形∴PC=MN又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形∴AP=PC∴AP=MN1、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数.2、 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB.求证：四边形CEDF是正方形.∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形 )∴ DE=DFDE⊥AC， DF⊥BC∵ CD平分∠ACB∴ 四边形ABCD为矩形而∠ACB=90°∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB习题6.3，第11、12题．作 业1. 正方形是轴对称图形，有4条对称轴.
2. 正方形的四条边都相等.
3. 正方形的四个角都相等.
4. 正方形的对角线互相垂直平分且相等，
且每一条对角线平分一组对角. 一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
