第三章 二次函数综合测试卷（含答案）
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第三 章 综合测试卷
时间: 90分钟 满分: 120分
一、选择题(每题3分，共30分)
1.若函数 是二次函数，则m 的值为 ( )
A. 1 B. -1 C. ±1 D. -2
2.在函数关系式 中，自变量x的取值范围是 ( )
3.下列函数中，图象开口大小、开口方向相同的是 ( )
A.①④ B.②③ C.⑤⑥ D.②③④
4.二次函数 的图象的顶点坐标是(-2，-1)，且图象与y轴交于点(0，-9).将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，则旋转后得到的函数表达式为 ( )
5.关于二次函数 ，下列说法正确的是 ( )
A.图象顶点坐标为(-2,-1) B.图象对称轴为直线
C.当时，y随x的增大而减小 D.函数值有最大值为1
6.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式 表示，其中h (m)是物体抛出时离地面的高度，v (m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为 ( )
A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m
7.函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能是 ( )
8.已知，二次函数 的图象与x轴交于点 两点，则当 时,则y的值为 ( )
A. 2019 B. 2017 C. 2018
9.关于抛物线 下列说法正确的是 ( )
①开口向上 ②与坐标轴有3个交点 ③一定过点(1,0) ④顶点一定不在第二象限
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
10.二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：
(m为实数).
其中正确的为 ( )
A.①④ B.②③④ C.①②④ D.①②③④
二、填空题(每题3分，共18分)
11.二次函数 的部分图象如图所示，当 时，x的取值范围是____________.
12.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②对称轴为x=1.这个二次函数的表达式可以是___________.
13.已知抛物线 与轴的一个交点为(m，0)，则代数式的值为_____________.
14.若二次函数 的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m 的值为_____________.
15.抛物线. 的部分图象如图所示，则一元二次方程 的根为______________.
16.已知实数x,y满足 则 的最小值为____________.
三、解答题(共72分)
17.(6分)二次函数的图象顶点坐标为且过(1,0).
(1)求该二次函数表达式；
(2)当 时，求函数值y的取值范围.
18.(10分)如图,已知抛物线 与x轴交于点B，C，与y轴交于点E，且点 B 在点C 的左侧.
(1)若抛物线过点 求实数a的值；
(2)在(1)的条件下在抛物线的对称轴上找一点 H，使的值最小，求点 H 的坐标.
19.(8分)已知抛物线(是常数，经过
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)抛物线有两点. 当 时，求m的取值范围.
20.(10分)拱桥是指由拱形结构组成的桥梁，它是中国古代建筑中的重要形式之一，在中国的古代建筑史上占据着重要的地位，因其独特的结构和精美的外观而受到广泛的赞誉和喜爱.图1是一座拱桥，此拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为( 10m时，水面离桥洞的最大距离为5m，如图2，以水平面为x轴，点O 为原点建立平面直角坐标系.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为3m时，求拱桥内水面的宽度.
21.(12分)张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD.
(1)若矩形的面积为120平方米，则AB长为多少米
(2)设AB边长为x米，矩形面积为 S平方米，当x为何值时S有最大值 请求出
22.(12分)李叔叔投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设李叔叔每月获得利润为 w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润 每月的最大利润是多少
(3)如果李叔叔想要每月获得的利润不低于2 000 元，那么李叔叔每月的成本最少需要多少元 (成本=进价×销售量)
23.(14分)如图,抛物线 的顶点 D 坐标为(1，4)，且与x轴相交于A，B两点，点A 在点 B 的左侧，与y轴相交于点C，点E在x 轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F 在抛物线上并且和点 E 关于抛物线的对称轴对称，作矩形 EFGH，其中点G,H都在x轴上.
(1)求抛物线表达式；
(2)设点 F 横坐标为m,
①用含有 m 的代数式表示点 E 的横坐标为_；
②当矩形 EFGH 为正方形时，求点 G的坐标；
③连接AD,当 EG与AD 垂直时,求点G的坐标;
(3)过顶点 D 作. 轴于点 M，过点 F 作 于点P，直接写出 与 相似时，点F 的坐标.
参考答案
1. B 2. B 3. B 4. C 5. C 6. C 7. A 8. D 9. C 10. A
11. (答案不唯一)
13.2020 解析：将(m，0)代入函数表达式，得
14. 4 15. x =1,x =-3
17.解：(1)由抛物线顶点式，设表达式为 代入(1,0),得 解得 故抛物线的表达式为
(2)当x=-2时,y=-2,当x=4时,y=6,
∴当-5≤x<4 时，函数值 y的取值范围是
18.解:(1)将 代入抛物线表达式
解得a=4;
(2)由抛物线表达式 得对称轴为直线
当x=0时,y=-2,∴E(0,-2),
∵点C 关于抛物线对称轴的对称点为点 B，连接BE 交对称轴于点H,连接CH,
∴BH=CH,即 CH+此时CH+EH 的值最小，
设直线 BE表达式为y= kx+b,将B(-4,0)与E(0,-2)代入,得
解得 ∴直线 BE 表达式为
将 代入，得 则
19.解:(1)把 代入
得 解得
∴抛物线的表达式为
∴抛物线开口向下，对称轴为直线.
∴点 M(2,y )关于对称轴 的对称点为(-4,y ).
又∵N(m，y )是在抛物线图象上的点，且 ∴.
20.解:(1)∵OA=10,∴该抛物线的对称轴为直线 A(10,0),
∵水面离桥洞的最大距离为5m ，∴该抛物线的顶点坐标为(5，5)，
设该抛物线的表达式为
把A(10,0)代入,得 解得
∴该抛物线的表达式为
(2)由题意可得 ∴水位上升了2m，
把 代入
得 解得
水面宽为
所以，拱桥内水面的宽度为
21.解:(1)设边 AB 的长为 m 米,则. 2m)米,
由题意，得 解得 或6,
所以,AB长为10或6米;
(2)由题意,得.
∴当 时，S有最大值，最大值为128.
22.解:(1)由题意,得 即
(2)对于函数 的图象的对称轴是直线
又∵a=-10<0,抛物线开口向下,∴当20≤x≤32时,ω随着x的增大而增大,当x=32时,w=2160.所以，当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2 160元；
(3)令 w=2000,得 2000,解得
∵a=-10<0,抛物线开口向下,∴当30≤x≤40时,w≥2 000.
∵20≤x≤32,∴当30≤x≤32时,w≥2 000.
设每月的成本为 P(元)，由题意，得,
∵k=-200<0,∴P 随x的增大而减小.
∴当x=32时,P的值最小,
所以，想要每月获得的利润不低于 2000元，李叔叔每月的成本最少为3600元.
23.解:(1)∵抛物线 的顶点 D 坐标为(1,4),
∴抛物线表达式为
(2)①当y=0时, 解得
则,抛物线对称轴为直线
设E点的横坐标为t，
∴点 E的横坐标为 故答案为:2-m;
②设 则
∵矩形 EFGH 为正方形,∴FG=FE,即
整理得 解得 (舍去), ∴G点坐标为(
③过点 D 作 DM⊥x轴于点 M,如图1,
∵EG⊥AD,而DM⊥x轴,
即 ∴GH=2EH,
即 整理，得
解得 (舍去), ∴G点坐标为
(3)设AD交 EF于Q,如图2,
与 相似，
而 ∴△FDQ 为等腰三角形，∴FD=FQ,
设直线 AD的表达式为,
把A(-1,0),D(1,4)代入,得 解得
∴直线 AD的表达式为,
当 时， ,解得
则
而
而m≠1,
整理得， 解得 (舍去),
∴F点坐标为
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第三 章 综合测试卷
时间: 90分钟 满分: 120分
一、选择题(每题3分，共30分)
1.若函数 是二次函数，则m 的值为 ( )
A. 1 B. -1 C. ±1 D. -2
2.在函数关系式 中，自变量x的取值范围是 ( )
3.下列函数中，图象开口大小、开口方向相同的是 ( )
A.①④ B.②③ C.⑤⑥ D.②③④
4.二次函数 的图象的顶点坐标是(-2，-1)，且图象与y轴交于点(0，-9).将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，则旋转后得到的函数表达式为 ( )
5.关于二次函数 ，下列说法正确的是 ( )
A.图象顶点坐标为(-2,-1) B.图象对称轴为直线
C.当时，y随x的增大而减小 D.函数值有最大值为1
6.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式 表示，其中h (m)是物体抛出时离地面的高度，v (m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为 ( )
A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m
7.函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能是 ( )
8.已知，二次函数 的图象与x轴交于点 两点，则当 时,则y的值为 ( )
A. 2019 B. 2017 C. 2018
9.关于抛物线 下列说法正确的是 ( )
①开口向上 ②与坐标轴有3个交点 ③一定过点(1,0) ④顶点一定不在第二象限
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
10.二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：
(m为实数).
其中正确的为 ( )
A.①④ B.②③④ C.①②④ D.①②③④
二、填空题(每题3分，共18分)
11.二次函数 的部分图象如图所示，当 时，x的取值范围是____________.
12.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向上；②对称轴为x=1.这个二次函数的表达式可以是___________.
13.已知抛物线 与轴的一个交点为(m，0)，则代数式的值为_____________.
14.若二次函数 的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m 的值为_____________.
15.抛物线. 的部分图象如图所示，则一元二次方程 的根为______________.
16.已知实数x,y满足 则 的最小值为____________.
三、解答题(共72分)
17.(6分)二次函数的图象顶点坐标为且过(1,0).
(1)求该二次函数表达式；
(2)当 时，求函数值y的取值范围.
18.(10分)如图,已知抛物线 与x轴交于点B，C，与y轴交于点E，且点 B 在点C 的左侧.
(1)若抛物线过点 求实数a的值；
(2)在(1)的条件下在抛物线的对称轴上找一点 H，使的值最小，求点 H 的坐标.
19.(8分)已知抛物线(是常数，经过
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)抛物线有两点. 当 时，求m的取值范围.
20.(10分)拱桥是指由拱形结构组成的桥梁，它是中国古代建筑中的重要形式之一，在中国的古代建筑史上占据着重要的地位，因其独特的结构和精美的外观而受到广泛的赞誉和喜爱.图1是一座拱桥，此拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为( 10m时，水面离桥洞的最大距离为5m，如图2，以水平面为x轴，点O 为原点建立平面直角坐标系.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为3m时，求拱桥内水面的宽度.
21.(12分)张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD.
(1)若矩形的面积为120平方米，则AB长为多少米
(2)设AB边长为x米，矩形面积为 S平方米，当x为何值时S有最大值 请求出
22.(12分)李叔叔投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设李叔叔每月获得利润为 w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润 每月的最大利润是多少
(3)如果李叔叔想要每月获得的利润不低于2 000 元，那么李叔叔每月的成本最少需要多少元 (成本=进价×销售量)
23.(14分)如图,抛物线 的顶点 D 坐标为(1，4)，且与x轴相交于A，B两点，点A 在点 B 的左侧，与y轴相交于点C，点E在x 轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F 在抛物线上并且和点 E 关于抛物线的对称轴对称，作矩形 EFGH，其中点G,H都在x轴上.
(1)求抛物线表达式；
(2)设点 F 横坐标为m,
①用含有 m 的代数式表示点 E 的横坐标为_；
②当矩形 EFGH 为正方形时，求点 G的坐标；
③连接AD,当 EG与AD 垂直时,求点G的坐标;
(3)过顶点 D 作. 轴于点 M，过点 F 作 于点P，直接写出 与 相似时，点F 的坐标.
参考答案
1. B 2. B 3. B 4. C 5. C 6. C 7. A 8. D 9. C 10. A
11. (答案不唯一)
13.2020 解析：将(m，0)代入函数表达式，得
14. 4 15. x =1,x =-3
17.解：(1)由抛物线顶点式，设表达式为 代入(1,0),得 解得 故抛物线的表达式为
(2)当x=-2时,y=-2,当x=4时,y=6,
∴当-5≤x<4 时，函数值 y的取值范围是
18.解:(1)将 代入抛物线表达式
解得a=4;
(2)由抛物线表达式 得对称轴为直线
当x=0时,y=-2,∴E(0,-2),
∵点C 关于抛物线对称轴的对称点为点 B，连接BE 交对称轴于点H,连接CH,
∴BH=CH,即 CH+此时CH+EH 的值最小，
设直线 BE表达式为y= kx+b,将B(-4,0)与E(0,-2)代入,得
解得 ∴直线 BE 表达式为
将 代入，得 则
19.解:(1)把 代入
得 解得
∴抛物线的表达式为
∴抛物线开口向下，对称轴为直线.
∴点 M(2,y )关于对称轴 的对称点为(-4,y ).
又∵N(m，y )是在抛物线图象上的点，且 ∴.
20.解:(1)∵OA=10,∴该抛物线的对称轴为直线 A(10,0),
∵水面离桥洞的最大距离为5m ，∴该抛物线的顶点坐标为(5，5)，
设该抛物线的表达式为
把A(10,0)代入,得 解得
∴该抛物线的表达式为
(2)由题意可得 ∴水位上升了2m，
把 代入
得 解得
水面宽为
所以，拱桥内水面的宽度为
21.解:(1)设边 AB 的长为 m 米,则. 2m)米,
由题意，得 解得 或6,
所以,AB长为10或6米;
(2)由题意,得.
∴当 时，S有最大值，最大值为128.
22.解:(1)由题意,得 即
(2)对于函数 的图象的对称轴是直线
又∵a=-10<0,抛物线开口向下,∴当20≤x≤32时,ω随着x的增大而增大,当x=32时,w=2160.所以，当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2 160元；
(3)令 w=2000,得 2000,解得
∵a=-10<0,抛物线开口向下,∴当30≤x≤40时,w≥2 000.
∵20≤x≤32,∴当30≤x≤32时,w≥2 000.
设每月的成本为 P(元)，由题意，得,
∵k=-200<0,∴P 随x的增大而减小.
∴当x=32时,P的值最小,
所以，想要每月获得的利润不低于 2000元，李叔叔每月的成本最少为3600元.
23.解:(1)∵抛物线 的顶点 D 坐标为(1,4),
∴抛物线表达式为
(2)①当y=0时, 解得
则,抛物线对称轴为直线
设E点的横坐标为t，
∴点 E的横坐标为 故答案为:2-m;
②设 则
∵矩形 EFGH 为正方形,∴FG=FE,即
整理得 解得 (舍去), ∴G点坐标为(
③过点 D 作 DM⊥x轴于点 M,如图1,
∵EG⊥AD,而DM⊥x轴,
即 ∴GH=2EH,
即 整理，得
解得 (舍去), ∴G点坐标为
(3)设AD交 EF于Q,如图2,
与 相似，
而 ∴△FDQ 为等腰三角形，∴FD=FQ,
设直线 AD的表达式为,
把A(-1,0),D(1,4)代入,得 解得
∴直线 AD的表达式为,
当 时， ,解得
则
而
而m≠1,
整理得， 解得 (舍去),
∴F点坐标为
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