第十二讲 二次函数的图象与性质
A层·基础过关
1.二次函数y=ax2+bx+c满足以下三个条件:①ac>0;②b2>4ac;③a-b+c<0,则它的图象可能是( )
2.(2024·包头中考)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位长度后,所得新抛物线的顶点式为( )
A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2
C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2
3.若二次函数y=x2-3x-m的最小值是非负数,则实数m的取值范围为( )
A.m<- B.m≥-
C.m>- D.m≤-
4.(2024·凉山州中考)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2,y1),(0,y2),三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
5.如图,已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点,则关于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是( )
A.-3≤x≤1 B.-1≤x≤3
C.x≥1或x≤-3 D.x≥3或x≤-1
6.(2024·陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A.图象的开口向上
B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x=1
7.若函数y=(m+1)x2-3x+2的图象与x轴只有一个交点,则m的值为 .
8.(2024·福建中考)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的表达式;
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
B层·能力提升
9.(2024·泸州中考)已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限,则实数a的取值范围为( )
A.1≤a< B.0
C.010.(2024·达州中考)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是( )
A.b+c>1 B.b=2
C.b2+4c<0 D.c<0
11.(2024·乐山中考)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是( )
A.0C.2≤t≤4 D.t≥2
12.(2024·连云港中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a<0)的顶点为(1,2).小烨同学得出以下结论:①abc<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③若ax2+bx+c=0的一个根为3,则a=-;④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的.其中一定正确的是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
13.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+2mx-m2+1与y轴的交点为A,过点A作直线l垂直于y轴.将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折,其余部分保持不变,组成图形G.点M(x1,y1),N(x2,y2)为图形G上任意两点.若对于x1=m+3,x2=m-3,都有y1A.0C.m<3 D.-314.如图,抛物线y=x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ.则线段OQ的最大值是 .
C层·素养挑战
15.定义:在平面直角坐标系xOy中,当点N在图形M的内部,或在图形M上,且点N的横坐标和纵坐标相等时,则称点N为图形M的“梦之点”.
(1)如图①,矩形ABCD的顶点坐标分别是A(-1,2),B(-1,-1),C(3,-1),D(3,2),在点M1(1,1),M2(2,2),M3(3,3)中,是矩形ABCD“梦之点”的是 ;
(2)点G(2,2)是反比例函数y1=图象上的一个“梦之点”,则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ,直线GH的表达式是y2= ,y1>y2时,x的取值范围是 ;
(3)如图②,已知点A,B是抛物线y=-x2+x+上的“梦之点”,点C是抛物线的顶点.连接AC,AB,BC,判断△ABC的形状,并说明理由.第十二讲 二次函数的图象与性质
A层·基础过关
1.二次函数y=ax2+bx+c满足以下三个条件:①ac>0;②b2>4ac;③a-b+c<0,则它的图象可能是(C)
2.(2024·包头中考)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位长度后,所得新抛物线的顶点式为(A)
A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2
C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2
3.若二次函数y=x2-3x-m的最小值是非负数,则实数m的取值范围为(D)
A.m<- B.m≥-
C.m>- D.m≤-
4.(2024·凉山州中考)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2,y1),(0,y2),三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是(D)
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
5.如图,已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点,则关于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是(C)
A.-3≤x≤1 B.-1≤x≤3
C.x≥1或x≤-3 D.x≥3或x≤-1
6.(2024·陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(D)
A.图象的开口向上
B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x=1
7.若函数y=(m+1)x2-3x+2的图象与x轴只有一个交点,则m的值为 -1或 .
8.(2024·福建中考)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的表达式;
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
【解析】(1)由题意,将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c得∴
∴二次函数的表达式为y=x2+x-2.
(2)由题意,设P(m,n)(m<0,n>0),
又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,
∴=2,即=2.
∴=2.又CO=2,∴n=2CO=4.
由m2+m-2=4,∴m1=-3,m2=2(舍去).
∴点P坐标为(-3,4).
B层·能力提升
9.(2024·泸州中考)已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限,则实数a的取值范围为(A)
A.1≤a< B.0C.010.(2024·达州中考)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是(A)
A.b+c>1 B.b=2
C.b2+4c<0 D.c<0
11.(2024·乐山中考)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是(C)
A.0C.2≤t≤4 D.t≥2
12.(2024·连云港中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a<0)的顶点为(1,2).小烨同学得出以下结论:①abc<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③若ax2+bx+c=0的一个根为3,则a=-;④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的.其中一定正确的是(B)
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
13.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+2mx-m2+1与y轴的交点为A,过点A作直线l垂直于y轴.将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折,其余部分保持不变,组成图形G.点M(x1,y1),N(x2,y2)为图形G上任意两点.若对于x1=m+3,x2=m-3,都有y1A.0C.m<3 D.-314.如图,抛物线y=x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ.则线段OQ的最大值是 3.5 .
C层·素养挑战
15.定义:在平面直角坐标系xOy中,当点N在图形M的内部,或在图形M上,且点N的横坐标和纵坐标相等时,则称点N为图形M的“梦之点”.
(1)如图①,矩形ABCD的顶点坐标分别是A(-1,2),B(-1,-1),C(3,-1),D(3,2),在点M1(1,1),M2(2,2),M3(3,3)中,是矩形ABCD“梦之点”的是 ;
(2)点G(2,2)是反比例函数y1=图象上的一个“梦之点”,则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ,直线GH的表达式是y2= ,y1>y2时,x的取值范围是 ;
(3)如图②,已知点A,B是抛物线y=-x2+x+上的“梦之点”,点C是抛物线的顶点.连接AC,AB,BC,判断△ABC的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A(-1,2),B(-1,-1),C(3,-1),D(3,2),
∴矩形ABCD的“梦之点”(x,y)满足-1≤x≤3,-1≤y≤2,∴点M1(1,1),M2(2,2)是矩形ABCD的“梦之点”,点M3(3,3)不是矩形ABCD的“梦之点”,
答案:M1,M2
(2)∵点G(2,2)是反比例函数y1=图象上的一个“梦之点”,∴把G(2,2)代入y1=得k=4,
∴y1=,
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等,
∴“梦之点”都在y=x的图象上,联立,解得或,
∴H(-2,-2),
∴直线GH的表达式为y2=x,
∴y1>y2时,x的取值范围是x<-2或0答案:(-2,-2) x x<-2或0(3)△ABC是直角三角形,
理由:∵点A,B是抛物线y=-x2+x+上的“梦之点”,
∴,
解得或,
∴A(3,3),B(-3,-3),
∵y=-x2+x+=-(x-1)2+5,
∴顶点C(1,5),
∴AC2=(3-1)2+(3-5)2=8,
AB2=(-3-3)2+(-3-3)2=72,BC2=(-3-1)2+(-3-5)2=80,
∴BC2=AC2+AB2,
∴△ABC是直角三角形.