7.2.3 平行线的性质（第二课时） 课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
7.2.3 平行线的性质
第二课时
第7章 相交线与平行线
人教版(新教材)数学七年级下册
《目录》
3
课后总结
4
拓展延伸
1
新课导入
2
新知讲解
学习目标
1.掌握平行线的性质与判定的区别与联系，发展推理意识，能够理解数学基本概念之间的联系.
2.会能综合运用平行线的性质与判定进行推理和计算，锻炼识图能力，会对已有条件进行归纳与转化，提升应用能力.
3.通过对平行线的性质与判定的运用，培养数学语言表达能力，发展应用意识和决策能力.
新课导入
新课导入
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
思考：平行线的判定与性质之间有什么关系？
新课导入
性质 文字语言 符号语言 图示
性质1 两直线平行，同位角相等 如果 a//b， 那么∠1=∠2
性质2 两直线平行，内错角相等 如果 a//b， 那么∠2=∠3 性质3 两直线平行，同旁内角互补 如果 a//b， 那么∠2+∠4=180° 思考：上节课我们学行线的哪些性质？
新知讲解
新知讲解
知识点 1
平行线性质和判定的综合应用
解：(1) DE∥BC. 理由如下：
∵ ∠ADE=60°，∠B = 60°，
∴ ∠ADE=∠B.
∴ DE∥BC. (同位角相等，两直线平行)
1. 如图，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.
(1) DE 和 BC 平行吗？为什么？
新知讲解
知识点 1
平行线性质和判定的综合应用
1. 如图，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.
(2)∠C 是多少度？为什么？
解：(2) ∠C =40°. 理由如下：
由(1)得 DE∥BC，
∴ ∠C=∠AED. (两直线平行，同位角相等）
又∵∠AED=40°，
∴ ∠C=∠AED =40°.
新知讲解
知识点 1
平行线性质和判定的综合应用
2. 如图，AB∥CD，如果∠1 = ∠2，那么 EF 与 AB
平行吗？说说你的理由．
解：平行，理由：因为∠1 =∠2，
根据“内错角相等，两直线平行”，
所以 EF∥CD.
又因为 AB∥CD，
根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，
所以 EF∥AB.
新知讲解
知识点 1
平行线性质和判定的综合应用
3. 如图，已知直线 a∥b，直线 c∥d，∠1 = 107°，求∠2，∠3 的度数.
解：因为 a∥b，
所以 ∠1+∠3 = 180°，所以∠3 = 73°.
根据“两直线平行，内错角相等”，
所以 ∠2 =∠1 = 107°.
因为 c∥d，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
新知讲解
知识点 1
平行线性质和判定的综合应用
4. 如图 1，DB∥FG∥EC，∠ABD = 60°，∠ACE = 40°，AP 平分∠BAC．（1）求∠BAG的度数．（2）求∠PAG的度数．

新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
B
D
C
E
A
解：如图，过点 E 作 EF//AB.
∴∠B=∠BEF.
∵AB//CD，∴EF//CD.
∴∠D =∠DEF.
∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB，
即∠B＋∠D＝∠DEB.
F
5. 如图，若 AB//CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的关系吗？说说你的看法.
新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
一般地，如图，AB∥CD，则：
性质1：当AB与CD之间有一个拐点时：∠A+∠C= ∠E.
性质2：当AB与CD之间有两个拐点时：∠A+∠F= ∠E +∠D.
性质3：当AB与CD之间有三个拐点时：∠A+∠F1 +∠C = ∠E1 +∠E2.
思考：你发现了什么？
新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
一般地，如图，AB∥CD，则∠A，∠F1 ，∠F2 ，… ， ∠Fn-1与∠E1 ，E2 ，…，∠Em-1，∠D之间的关系：
C
A
B
D
E1
F1
E2
Em-1
F2
Fn-1
∠A+∠F1 + ∠F2 +…+ ∠Fn-1= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em-1+ ∠D
新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
6. 如图，AB//CD，试说明∠B+∠D +∠DEB=360°.
F
C
A
B
D
E
解：过点 E 作 EF//AB.
∴∠B+∠BEF＝180°.
∵AB//CD，∴EF//CD.
∴∠D +∠DEF＝180°，
∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°，即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°.
新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
一般地，如图，AB∥CD，则：
性质1：当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°.
性质2：当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°.
性质3：当有三个拐点时：∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°.
思考：你发现了什么？
新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
一般地，如图，当有 n 个拐点时 ：
…
A
B
C
D
E1
E2
En
∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C =(n+1)×180°.
新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
7. 如图，AB//CD，探究下面图中∠P 与∠A，∠C之间的关系.
解：∠APC+∠A=∠C.理由如下：
过点 P 作 PE//AB，则∠EPA+∠A=180°.
∵ ∠EPA=∠APC+∠1，
∴ ∠APC+∠1+∠A=180°，
∴ ∠APC+∠A=180°-∠1.
∵ AB//CD，∴ PE//CD，
∴ ∠1+∠C=180°，∴ ∠C= 180°-∠1.
∴ ∠APC+∠A=∠C.
E
1
(4)
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知识点 2
添加辅助线的证明题
7. 如图，AB//CD，探究下面图中∠P 与∠A，∠C之间的关系.
解：∠A=∠APC+∠C.理由如下：
过点 P 作 PE//AB，则∠1+∠A=180°.
∵ AB//CD，∴ PE//CD，
∴ ∠EPC+∠C=180°，即∠1+∠APC+∠C=180°，
∴ 180°-∠A+∠APC+∠C=180°.
∴ ∠A=∠APC+ ∠C.
E
1
新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
8. [2021·泉州] 问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC 的度数.经过讨论形成的思路是：如图2，过P 作 PE//AB， 通过平行线性质，可求得∠APC的度数.
图1
图2
(1)按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC的度数；
(2)如图3，AD//BC，点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=α，∠BCP=β. 请你判断∠CPD 、α 、β 之间有何数量关系 并说明理由；
新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
解（1）（2）小问：
解 ： ( 1 ) 过 点P 作PE//AB，
∵AB//CD，∴PE//AB//CD.
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)∠CPD=α+β，理由如下：过P作PE//AD交CD于E.
∵AD//BC，∴AD//PE//BC，
∴∠DPE=α，∠CPE=β，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=α+β.
新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
9. 如图 5，已知 AB∥CD，∠ABE 的平分线与
∠CDE的平分线相交于点F．
（1）在图5中，求证：
①∠ABE + ∠CDE + ∠E = 360°；
②∠ABF + ∠CDF = ∠BFD；
图5
图6

新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
解（1）小问：
①如图，过点E作EN//AB，∵EN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补，得 ∠ABE+∠BEN=180°，∵AB//CD，AB//NE，根据平行于同一条直线的两条直线，也互相平行，得NE//CD，根据两直线平行，同旁内角互补，得∠CDE+∠NED=180°，根据等式的性质，得∠ABE+∠E+∠CDE=36O°;
②如图，过点F作FG//AB，∵FG//AB，根据两直线平行，内错角相等，得∠ABF=∠BFG，∵AB//CD，FG//AB，根据平行于同一条直线的两条直线，也互相平行，得FG//CD，根据两直线平行，内错角相等，得∠CDF=∠GFD，根据等式的性质得∠ABF+∠CDF=∠BFG+∠GFD=∠BFD;
新知讲解
知识点 2
添加辅助线的证明题
解（2）小问：
结论：∠E+∠M=360°.∵设∠ABM=x，∠CDM=Y，则∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，由（1）得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，∴6x+6Y+∠E=360°，∴∠M+∠EBM+∠E+∠EDM=360°，∴6x+6y+∠E=∠M+5x+5y+∠E，∴∠M=x+y，∴∠E+6∠M=360°;
图6
新知讲解
知识点 3
运用平行线解决实际问题
平行线在实际生活中随处可见.
如图 8，在平面内每一点的南北方向互相平行，每一点的东西方向也互相平行；
如图 9，一条公路经过两次拐弯后要和原来的方向相同，必须保证所形成的同旁内角互补；
如图10，纸的两边无论如何折叠都互相平行.
新知讲解
知识点 3
运用平行线解决实际问题
10. 如图，MN，EF 表示两面互相平行的镜面，光线 AB 照射到镜面 MN 上，反射光线为 BC，此时∠1=∠2；光线 BC 经过镜面 EF 反射后的光线为 CD，此时∠3=∠4.试判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由.
新知讲解
知识点 3
运用平行线解决实际问题
解：AB//CD.理由如下：
∵ MN//EF(已知)，
∴ ∠2=∠3(两直线平行，内错角相等).
∵ ∠1=∠2，∠3=∠4(已知)，
∴ ∠1=∠2=∠3=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4.
∵ ∠ABC+∠1+∠2=180°，
∠BCD+∠3+∠4=180°(平角的性质)，
∴ ∠ABC=∠BCD(等量代换).
∴ AB//CD(内错角相等，两直线平行).
课后总结
课后总结
判定：已知角的关系得平行的关系．
推平行，用判定．
性质：已知平行的关系得角的关系．
知平行，用性质．
平行线的“判定”与“性质”有什么不同:
课后总结
典例精析
考点1：平行线性质和判定的综合应用
A.36°　　　　B.46°　　　　C.126°　　　　D.136°
1. [2021·陕西] 如图，直线l1∥l2，直线l1、l2被直线l3所截，若∠1=54°，则∠2的大小为(　　)
解：∵l1∥l2,
∴∠1=∠3=54°.
∴∠2=180°-∠3=180°-54°=126°.故选C.
C
3
课后总结
典例精析
考点2：添加辅助线的证明题
2. [2022·深圳] 如图，若AB∥CD，则α、β、γ满足的关系式为(　　)
A.α+β+γ=360°　　　　　　B.α-β+γ=180°
C.α+β-γ=180°　　　　　　D.α+β+γ=180°
解：如图,过点E作EF∥AB.易得AB∥CD∥EF,
∴∠BAE+∠FEA=180°,∠C=∠FEC=γ,
∵∠AEC=β,∴∠FEA=β-γ,∴α+(β-γ)=180°即α+β-γ=180°.故选C.
C
课后总结
典例精析
考点3：运用平行线解决实际问题
3. [2020·山东] 一副直角三角板按如图所示的方式放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为(　　)
A.10°　　　　B.15°　　　　
C.18°　　　　D.30°
解：由题意可得∠EDF=45°,∠ABC=30°,
∵AB∥CF,∴∠ABD=∠EDF=45°,
∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=45°-30°=15°.故选B.
B
A.112°　　　　B.110°　　　　C.108°　　　　D.106°
课后总结
典例精析
考点3：运用平行线解决实际问题
4. [2019·浙江] 如图，将长方形ABCD沿GH所在直线折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于(　　)
D

拓展延伸
拓展延伸
典例精析
考点1： 进阶 · 平行线性质和判定的综合应用

5. [2022·广东] 如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别在线段AB、CD上，∠AEG=∠AGE,，∠C=∠DGC.
(1)求证:AB∥CD;
(2)若∠AGE+∠AHF=180°,求证:∠B=∠C;
(3)在(2)的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数.
拓展延伸
典例精析
考点1： 进阶 · 平行线性质和判定的综合应用

解：(1)证明:∵∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC,∠AGE=∠DGC,∴∠AEG=∠C,
∴AB∥CD.
(2)证明:∵∠AGE=∠DGC,∠AGE+∠AHF=180°,∴∠DGC+∠AHF=180°,
∴EC∥BF,∴∠B=∠AEG,由(1)得∠AEG=∠C.∴∠B=∠C.
(3)由(2)得EC∥BF,
∴∠BFC+∠C=180°,∵∠BFC=4∠C,∴∠C=36°,∴∠DGC=36°.
∵∠C+∠DGC+∠D=180°,∴∠D=108°.
拓展延伸
典例精析
考点1： 进阶 · 平行线性质和判定的综合应用

6. 将一副三角板的直角重合放置，如图1所示，
（1）图1中∠BEC的度数为______;
（2）三角板△AOB的位置保持不动，将三角板△COD绕其直角顶点O顺时针方向旋转：①当旋转至图2所示位置时，恰好OD∥AB，求此时∠AOC的大小；②若将三角板△COD继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD其中一边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC的大小；如果不存在，请说明理由．
拓展延伸
典例精析
考点1： 进阶 · 平行线性质和判定的综合应用

解：（1）∠CAE＝180°﹣∠BAO＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BEC＝∠C+∠CAE＝45°+120°＝165°，
故答案为：165°．
（2）①∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠B＝30°，又∠BOD+∠BOC＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°．
②存在。
拓展延伸
典例精析
考点1： 进阶 · 平行线性质和判定的综合应用

如图1，∠AOC＝120°；如图2，∠AOC＝165°；如图3，∠AOC＝45°；如图4，∠AOC＝150°；如图5，∠AOC＝60°；如图6，∠AOC＝15°．
新知讲解
这类题目要注意：
首先：要回答题目的问题，不能直接写证明过程；
注意：充分运用三角板角度的数量特性，确定动态下图形构成可能出现三线八角模型，并注意性质和判定是综合起来进行运用。
解题秘籍
考点1： 进阶 · 平行线性质和判定的综合应用
7. 如图1是一个舞台，上下两边a、b平行．在A、B两点处各有一个旋转灯，其灯光为一条射线，开始表演前，两灯均指向正右方．开始表演的瞬间，A灯开始顺时针旋转，速度为4°/分钟，B灯开始逆时针旋转，速度为5°/分钟，A灯转半圈停止，B灯转一圈停止．
（1）开始表演后t分钟，两灯灯光所在直线平行，求t.
（2）当B灯在旋转过程中某一时刻正好照向A点，A灯灯光与B灯灯光正好垂直，若此时A灯灯光照向直线b上的M点，求∠AMB的度数．
拓展延伸
典例精析
考点1： 进阶 · 平行线性质和判定的综合应用

动图演绎↓
拓展延伸
典例精析
考点1： 进阶 · 平行线性质和判定的综合应用

解：（1）∠EAC＝4t，∠DBF＝5t
① 4t＋5t＝180，t＝20，如图3，
② 4t＝360－5t，t＝40，如图4，
（2）5t＋4t＝90， t＝10，∠AMB＝4t＝40°，如图5。
图3
图4
图5