安徽省“皖南八校”2025届高三第二次大联考数学试题（含答案）

安徽省“皖南八校”2025届高三第二次大联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，复数满足，那么的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知样本数据，，，的平均数是，方差为，现样本加入新数据，，，则加入数据后新样本的方差是( )
A. B. C. D.
4.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图的正八边形，其中，则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线，点在抛物线上，点，若点是抛物线上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象与轴相切，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知正方体的棱长为，是正方体的一条体对角线，为正方体表面上的动点，若，则点的轨迹曲线长度总和为( )
A. B. C. D.
8.若关于的方程在上有且仅有个解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X服从正态分布X~N(2,),P(< X<)=m,P(1< X<3)=n,则以下选项正确的是（）
A. D(X)= B. 若Y=3X+1,则E(Y)=7
C. 若Y=2X+1,则D(Y)= D. P(< X<3)=
10.已知圆锥顶点为，为底面圆心，轴截面是边长为的等边三角形，为底面圆周上一点，且，则下面选项中正确的是( )
A. 圆锥体积等于
B. 圆锥的外接球与内切球的半径比为
C. 平面
D. 二面角的正切值为
11.如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于，两点，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是( )
A. 的方程为
B. 的最大值为
C. 直线与曲线有个交点，则的取值范围为
D. 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知锐角，满足，则 ．
13.设函数，则不等式的解集是 ．
14.现有一盒子里装有序号分别为，，，，，的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次每个球被抽取的可能性相同，记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，侧面，均为正方形，，与交于点，为的中点．
求证：平面
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知B.
求角的大小
若点是边中点，且，求面积的最大值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，动点的轨迹称为曲线．
已知曲线为双曲线，求的取值范围
设曲线为曲线，其焦点为，，直线上有且仅有个点，使得，求直线的方程和对应的点的坐标．
18.本小题分
设函数．
当时，求在处的切线方程
当时，求的单调性
若恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知项数列满足：当时，且的所有不同值有个，并按照从小到大排列构成伴随数列，记，．
若，，求的值和
若，，求证：为等差数列
若，，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.ABD
10.
11.
12.
13.
14.
15.【解答】
证明：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，则，，，因为，，所以，，即，，又因为，且，平面，所以平面；
解：因为，，因此，，，设平面的一个法向量为，，令，则，设直线与平面所成角为，所以．
16.解：，
即，
由正弦定理，得，即，
所以，
因为，
所以．
因为，
即，
所以，
由，所以，
所以，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以即面积的最大值为．
17.解：设点的坐标为，由，得．
因为曲线为双曲线，
所以，则，
故的取值范围为
中曲线方程为，
则曲线的方程为，
即为双曲线的标准方程，
由题意，知直线与双曲线只有一个交点，
联立方程组得，
已知，
当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点，
当时，解得，，所以，此时，的方程为．
当时，直线与双曲线相切，
所以，解得舍去，
当时，解得，，所以，此时的方程为
综上所述，直线方程为时，
直线方程为时，
18.解：当时，，
所以，，，
所以在处的切线方程为，即．
当时，，
所以，
当时，，所以在上单调递减
当时，令，得，因为，得，，
所以，故在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增．
综上，在上单调递减，在上单调递增．
由题得，，
得恒成立，
令，则，
所以为奇函数，
所以证明当时，恒成立即可．
显然，，要使时，恒成立，
则，又，
所以，
验证，当时，对任意，
令，则，
令，则，
故H在上单调递增，
所以，
故G在上单调递增，所以，
故在单调递增
所以，故符合题意
故的取值范围为．
19.解：因为对任意，都有，，
所以，，，依次为，，，，，，
所以，，；
证明：若数列有项，
因为，
所以的项分别为，，，，，，，
又，可得，
即，
由，可得，
即，
又由，
即，得，
即，则，
故为等差数列；
．
先证明：．
考虑从，，，这个数中任取个求和，这些和都不小于，
又因为，
所以，
从而，
因为，
所以，
即，
所以的最小值为．
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