高中数学人教版必修五 第三章第四节：基本不等式导学案

高二数学必修五第四节：基本不等式
导学案
学习目标：1.理解基本不等式 的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。
2. 理解利用基本不等式 证明不等式的方法
学习重点、难点：
1. 应用数形结合的思想理解基本不等式
2. 理解利用基本不等式 证明不等式的方法
3. 利用几何特征粗象出代数不等式，利用代数不等式构造几何模型
学法指导：启发式教学法
知识链接：
问题1：若a、b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？
提示：∵(a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0.
∴a2＋b2≥2ab.
问题2：上述结论中，“＝”号何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立．
问题3：若以，分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？
提示：a＋b≥2.
问题4：问题3的结论中，“＝”何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立．
[导入新知]
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
1．有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
2．不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)变形：ab≤2，a＋b≥2 (其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
[化解疑难]
1．基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则 ≠，即只能有＜.
2．从数列的角度看，a，b的算术平均数是 ( http: / / www.21cnjy.com )a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项．
自主学习：
利用基本不等式证明不等式
[例1]　已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[证明]　由基本不等式可得：
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理：b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[类题通法]
1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
[活学活用]
1．已知a，b是正数，求证≤.
证明：∵a＞0，b＞0，
∴＋≥2＞0，
∴≤＝，
即≤(当a＝b时取“＝”).
利用基本不等式求最值
[例2]　(1)已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值．
(2)已知x＞3，求f(x)＝x＋的最小值；
(3)设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．
[解]　(1)∵m，n＞0且m＋n＝16，
所以由基本不等式可得mn≤2＝2＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
∴mn的最大值为32.
(2)∵x＞3，
∴x－3＞0，＞0，
于是f(x)＝x＋＝x－3＋＋3≥2 ＋3＝7，
当且仅当x－3＝即x＝5时，f(x)取到最小值7.
(3)法一：∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，
∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当＝，即y＝x时，等号成立，
解得x＝1－，y＝－1，
∴当x＝1－，y＝－1时，＋有最小值3＋2.
法二：＋＝·1＝(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
以下同解法一．
[类题通法]
1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即
(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0；
(2)二定：化不等式的一边为定值；
(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．
以上三点缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．
[活学活用]
2．(1)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值；
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．
(3)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．
解：(1)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，
即ab＝100，且a＞0，b＞0，
因此由基本不等式可得a＋b≥2 ＝2 ＝20，
当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.
(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，
∴xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝，
当且仅当2x＝3y，
即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
(3)∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)×
＝1＋＋＋9＝＋＋10，
又∵x＞0，y＞0，
∴＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．
由
得即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
利用基本不等式解应用题
[例3]　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[解]　(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件得4x＋6y＝36，
即2x＋3y＝18，设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
由于2x＋3y≥2 ＝2 ，
∴2 ≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立，
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
(2)法一：由条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵2x＋3y≥2 ＝2 ＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长6 m时，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
法二：由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2 ＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立．此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
[类题通法]
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)根据实际背景写出答案．
[活学活用]
3．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 ( http: / / www.21cnjy.com ) 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式；
(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
解：(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，
总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)
＝200＋x(x＋1)·16(万元)．
∴y＝4
＝16(－2x2＋23x－50)．
(2)年平均利润为
＝16＝16.
又x∈N*，
∴x＋≥2 ＝10，
当且仅当x＝5时，等号成立，
此时≤16×(23－20)＝48.
∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．
[达标检测]
1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有(　　)
A．最大值为0　　　　　 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：选C　∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，
当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＞b＞＞ B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b
解析：选B　a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．
3．若x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．
解析：1＝x＋4y≥2 ＝4 ，
∴xy≤，当且仅当x＝4y时等号成立．
答案：
4．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________．
解析：由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10.
则＋≥2 ＝2，故最小值＝2，
当且仅当2y＝5x时取等号．
又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．
答案：2
5．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．
求证：＋＋＞a＋b＋c.
证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋≥2 ＝2c，
＋≥2 ＝2a，
＋≥2 ＝2b.
又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立．
∴＋＋＞a＋b＋c.