第四章 图形的相似核心要点练习（含答案）

第四章图形的相似核心要点练习
核心要点一 成比例线段及平行线分线段成比例
1. 已知线段a,b,c,d 是成比例线段,其中b=4 cm,c=6 cm,d=8cm,则a等于 ( )
A. 3cm B.6 cm
C.12 cm D.36 cm
2. 如图 4-X-1,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若 AO=2,OF=1,FD=2,则 的值为 .
3. 如图4-X-2,在△ABC中,AM:MD=4:1,BD: DC=2:3,求AE:EC的值.
核心要点二 相似多边形及黄金分割
4. 如图4-X-3,在矩形 ABCD中,AD>AB,AB=2.点 E在矩形ABCD 的边BC 上,连接AE,将矩形 ABCD 沿AE 翻折，翻折后的点 B 落在边AD 上的点 F处，得到矩形CDFE.若矩形CDFE与原矩形ABCD 相似,则AD 的长为 .
5. 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特意将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置(如图4-X-4所示)，若车头与倒车镜的水平距离为2米，则该车车身总长为 米.(倒车镜到车尾部分较长，结果保留根号)
核心要点三 相似三角形的判定与性质
6.如图4-X-5,△ABC为等边三角形,点 D,E 分别在边 BC,AB 上,∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为
( )
A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2
7. 若两个相似多边形的面积之比为1：4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是
8. 如图 4-X-6,在△ABC 和△DEC 中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.
(1)求证:△ABC∽△DEC;
(2)若S△ABC : S△DEC =4 : 9,BC=6,求 EC的长.
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核心要点四 相似三角形的应用
9. 西周数学家商高总结了用“矩”(如图 4-X-7①)测量物高的方法：把矩的两边按图②放置,从“矩” CDA 的一端A(人眼)望点 E,使视线通过“矩”的另一端点 C，记人站立的位置为点 B,量出 BG长,即可算得物高 EG.若a=30cm,b=60 cm,AB=1. 6m ,BG=2. 4m ,则 EG的高度为 ( )
A.1. 2m B.2.8m
C.4.8m D.6.4m
10. 在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图4-X-8所示，AB 表示塔的高度，CD 表示竹竿顶端到地面的高度，EF 表示人眼到地面的高度，AB,CD,EF 在同一平面内,点 A,C,E在同一条水平直线上.已知 AC=20 米,CE=10米,CD=7 米,EF=1.4米,人从点 F 远眺塔顶 B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为 米.
核心要点五 位似
11. 如图4-X-9,在平面直角坐标系中,△ABC 与△A B C 位似,原点 O 是位似中心，且 若A(9,3),则点 A 的坐标是 .
12. 玄奘舍利塔位于陕西长安区护国兴教寺西侧的塔院内，它是现存最早的楼阁型方形砖塔.小明想用学过的知识来测量玄奘舍利塔的高度.如图4-X-10所示，小明在地面点 C处放置了一块平面镜，然后他从点 C 向后退2.4米至点 D 处，小明直立在点 D 处，他的眼睛 E恰好在镜中看到玄奘舍利塔顶端A的像，他在点 D 处做好标记，将平面镜移至点 D 处，然后小明从点 D 后退2.58米至点F 处，此时眼睛G恰好又在镜中看到玄奘舍利塔顶端A 的像.已知小明眼睛距地面的高度 ED,GF 均为 1.6 米,AB⊥BF 于点 B,ED⊥BF于点D,GF⊥BF 于点F,点 B,C,D，F在同一条直线上，求玄奘舍利塔AB 的高度.(平面镜的大小和厚度忽略不计，结果精确到1米)
1. A 2.
3. 解:如图,过点 D作 DF∥BE交AC于点 F,
则EF:FC=BD:DC,AM:MD=AE:EF.
∵BD:DC=2:3,
∴EF:FC=2:3.
设EF=2a,则FC=3a.
∵AM:MD=4:1,
∴AE:EF=4:1.
∴AE=8a.
∴AE:EC=8a:5a=8:5.
[解析] 设该车车身总长为x米.
∵汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为 米，
解得.
即该车车身总长为( 米.
故答案为
6. C 7. 6,12
8. 解:(1)证明:∵∠BCE=∠ACD,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE.
∴∠ACB=∠DCE.
又∵∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEC.
(2)∵△ABC∽△DEC,
又∵BC=6,
∴EC=9.
9. B
10. 18.2 [解析] 过点 F 作FG⊥CD,垂足为G,延长 FG交AB 于点H,如图.
由题意得 FH⊥AB,AH=CG=EF=1.4米,AC=GH=20米,CE=FG=10米,
∴∠DGF=∠BHF=90°.
∵CD=7米,
∴DG=CD--CG=7--1.4=5.6(米).
∵∠DFG=∠BFH,
∴△FDG∽△FBH,
则
∴BH=16.8,
∴AB=BH+AH=16.8+1.4=18.2(米),
∴塔的高度为18.2米.
故答案为18.2.
11. (3,1)
12. 解: 根据题意知,∠ABC = ∠EDC = 90°,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC∽△EDC,
即
∴BC=1.5AB.
根据题意知,∠ABD=∠GFD=90°,∠ADB=∠GDF,
∴△ABD∽△GFD,
即
则
∴AB≈21,
∴玄奘舍利塔 AB的高度约为21米.