专题训练 (十) 相似三角形中的辅助线作法 练习（含答案）

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专题训练 (十) 相似三角形中的辅助线作法
类型一 作平行线构造相似
1. 如图 10-ZT-1,AD 是△ABC 的中线,E 是AD 上一点,AE:AD=1:3,CE的延长线交AB 于点F,若AF=1.5,则AB= .
2. 如图10-ZT-2,△ABC 中,点 D 在 BC 上,点E在AD 上,连接 BE 并延长,与边 AC相交于点F，且 则
3. 如图10-ZT-3,延长△ABC的边 BC 到点 D,使CD=BC,取AB 的中点F,连接 FD 交AC于点E.求EC:AC的值.
类型二 作垂线构造相似
4. 如图10-ZT-4,AB=4,射线 BM 和AB 互相垂直,D是线段 AB 上的一个动点(不与点 B 重合),点 E 在射线 BM 上,BE= 作EF⊥DE,并截取EF=DE,连接AF并延长交射线 BM 于点 C,设 BE=x,BC=y，则y关于x的函数表达式为 (写出自变量的取值范围).
5. 如图10-ZT-5,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10 cm,BC=16 cm.点 D 由点 A 出发沿AB 方向向点 B 匀速运动，同时点 E 由点 B出发沿BC 方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s.连接 DE,设运动时间为t s(0(1)当t为何值时,△BDE的面积为7.5 cm
(2)在点 D，E的运动过程中，是否存在t 的值,使得△BDE 与△ABC 相似 若存在,请求出t的值；若不存在，请说明理由.
1. 7.5 [解析] 如图,过点 D 作 DM∥CF 交AB于点M.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
∵DM∥CF,
∴易得BM=MF,△AFE∽△AMD,
则
∵AF=1.5,
∴AB=5×1.5=7.5.
故答案为7.5.
2. [解析] 如图,过点 D作DG∥AC交BF 于点G.
设EG=x,则EF=2x,GF=3x.
∴BG=1.5x,
∴BE=2.5x,
故答案为
3. 解:取 BC 的中点G,连接GF,如图,则 CG=
又∵F为AB 的中点,
∴FG∥AC,且
∴EC∥FG,
∴易得
设CG=k,则DC=BC=2k,DG=3k,
即
∴EC:AC=1:3.
[解析] 如图，过点 F 作FM⊥BC于点M.
∵∠DBE=∠DEF=∠EMF=90°,
∴∠DEB+∠BDE=90°,∠DEB+∠FEM=90°,
∴∠BDE=∠FEM.
在△DBE和△EMF中,
∵∠BDE=∠MEF,∠B=∠EMF,DE=EF,
∴△DBE≌△EMF,
∴FM=BE=x,EM=BD=2BE=2x.
∵FM∥AB,∴易得
5. 解:(1)分别过点 D,A 作DF⊥BC,AG⊥BC,垂足为F,G,如图,
∴DF∥AG,
易得
∵AB=AC=10,BC=16,
∴BG=8,∴AG=6.
∵AD=BE=t,∴BD=10-t,
解得
解得t=5.
故当 t为5时,△BDE 的面积为7.5 cm .
(2)存在.
①当BE=DE时,△BDE∽△BCA,
即 解得
②当BD=DE时,△BDE∽△BAC,
即
解得
故当 t为 或 时,△BDE 与△ABC 相似.