专题训练(九) 相似三角形的基本模型 练习 （含答案）

专题训练(九) 相似三角形的基本模型
模型一“平行线型”的相似三角形
方法点睛
如图9-ZT-1,已知DE∥BC,可得到∠ADE=∠B,∠AED=∠C,所以△ADE∽△ABC.
如图9-ZT-2,AC,BD 相交于点O,AB∥DC,M是AB的中点,MN∥AC,交 BD 于点 N.若 DO:OB=1 : 2,AC=12,则MN的长为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2. 如图9-ZT-3, ABCD的对角线AC,BD 相交于点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E,F,FE的延长线交CB 的延长线于点 M.
(1)求证:OE=OF;
(2)若AD=4,AB=6,BM=1,求BE的长.
模型二 “相交线型”的相似三角形
方法点睛
如图9-ZT-4,由∠1=∠2,∠BAC=∠DAE,可得△ADE∽△ABC.
3. 如图 9-ZT-5,已知∠A = AB,则∠B的度数为( )
A.45° B.50°
C.55° D.60°
4. 如图9-ZT-6,D,E分别为△ABC的边AC,AB上的点,BD,CE交于点O,且 则△ADE与△ABC相似吗 请说明理由.
模型三 “双垂直型”的相似三角形
方法点睛
如图9-ZT-7，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形均与原直角三角形相似，即Rt△ACD∽Rt△ABC∽Rt△CBD.
5. 如图 9-ZT-8,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,有下列结论:①∠1=∠A;②∠2 + ∠B = 90°;③CD =AD·BD;④BC =BD·AD.其中一定成立的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. 如图9-ZT-9,在△ABC中,CD是AB 边上的高，且
(1)求∠ACB的度数;
(2)若AC=4,AB=10,求AD的长.
模型四 “一线三等角型”的相似三角形
方法点睛
如图 9-ZT-10,点 P 在线段 AB 上(△ACP 与△BPD在AB 的同侧),由∠A=∠CPD=∠B,可得△ACP∽△BPD.
7. 如图 9-ZT-11,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E分别是BC,AC上的点,∠ADE=45°.求证:△ABD∽△DCE.
8. 如图 9-ZT-12,CA⊥AD 于点 A,ED⊥AD于点 D,B 是线段AD 上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)求证:△ABC∽△DEB;
(2)求线段 BD 的长.
9. (1)如图9-ZT-14④,在△ABD 和△ACE中,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE.
①求证:△ABC∽△ADE;
②若AB=AC,试判断△ADE 的形状,并说明理由.
(2)如图 ,点 D 在边 BC 上,若∠BAC=∠DAE=90°,∠B=∠ADE.求证:CE⊥BC.
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模型五 “手拉手型”的相似三角形
方法点睛
两个共顶点的相似三角形，绕着公共顶点旋转，可以得到另一组新的相似三角形，如图9-ZT-13.
1. B
2. 解:(1)证明:如图.∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴OA=OC,AB∥CD.∴∠1=∠2.
又∵∠3=∠4,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE=OF.
(2)如图,过点O作ON∥BC交 AB 于点 N,易证△AON∽△ACB,
∵OA=OC,
∵ON∥BC,
∴∠ONE=∠MBE,∠NOE=∠M.
∴△ONE∽△MBE.
即 解得 BE=1.
3. A [解析] ∵∠A=70°,∠APC=65°,
又∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ACP.
∴∠B=∠ACP=45°.
故选 A.
4. 解：相似.理由如下：
∵EO =D0,∠BOE=∠COD,∠DOE=∠COB,
∴△BOE∽△COD,△DOE∽△COB.
∴∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO.
∵ ∠ADE = ∠DCO + ∠DEO, ∠ABC=∠EBO+∠CBO,
∴∠ADE=∠ABC.
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
5. B [解析] ∵在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠CDB=90°.
∴∠2+∠A=90°.
∴∠1=∠A,
故①正确；
易得∠2=∠B,但是∠2+∠B不一定等于90°,故②错误；
∵∠1=∠A,∠CDB=∠ADC=90°,
∴△CDB∽△ADC,
则CD:AD=BD:CD,
即
故③正确；
∵∠1=∠A,∠B=∠B,
∴△CDB∽△ACB,
则 BC:AB=BD:BC,
即BC =BD·AB≠BD·AD,
故④错误.
故选 B.
6. 解:(1)∵CD是AB 边上的高,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∴△ADC∽△CDB.
∴∠A=∠BCD.
∵∠A+∠ACD=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∴∠ACB=90°.
(2)∵∠ACB=∠ADC=90°,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC.
又∵AC=4,AB=10,
∴AD=1.6.
7. 证明:如图.
C
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°,
∵∠2+∠ADE+∠3=180°,∠ADE=45°,
∴∠1=∠3,
∴△ABD∽△DCE.
8. 解:(1)证明:∵AC⊥AD,ED⊥AD,
∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°.
∵CB⊥BE,
∴∠ABC+∠EBD=90°,
∴∠C=∠EBD,
∴△ABC∽△DEB.
(2)∵△ABC∽△DEB,
∵AB=8,AC=6,DE=4,
解得 BD=3.
解:(1)①证明:∵∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,
∴△ABD∽△ACE,∠BAC=∠DAE,
即
∴△ABC∽△ADE.
②△ADE 是等腰三角形.理由如下：
由①知，
∵AB=AC,
∴AD=AE,
∴△ADE是等腰三角形.
(2)证明:∵∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,
∴△BAC∽△DAE,∠BAD=∠CAE,
则△BAD∽△CAE,
∴∠B=∠ACE.
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠ACB=90°,
则∠BCE=90°,
∴CE⊥BC.