4.4 探索三角形相似的条件 练习（含答案）

4 第1课时 相似三角形的定义及其判定定理 1
知识点 1 相似三角形的定义
1. 如图4-4-1,若使△ABC∽△A'B'C',必须要满足：
(1)∠A= ,∠B= ,∠C= ;
2. 下列说法中错误的是 ( )
A.两个全等三角形一定相似
B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似
3. 在△ABC和△A'B'C'中,若∠A=68°,∠B=40°,∠A'=68°,∠C'=72°,则这两个三角形的关系为 ( )
A.相似，但不全等 B.相似
C.全等 D.无法确定
4. 如图4-4-2所示的三个三角形中相似的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
5.如 图 4-4-3,在Rt△ABC中,CD 是斜边 AB 上的高,则图中相似三角形有 ( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3 对
6. 如图 4-4-4,∠1=∠2,请你补充一个条件： ,使△ABC∽△ADE.
7. 如图4-4-5,在△PAB 中,点 C,D 在AB 上,PC=PD,∠A=∠BPD.
求证:△APC∽△PBD.
8.如 图 4-4-6,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,E 是边 AC 上一点,且 BE=BC,过点 A 作 BE 的垂线交 BE 的延长线于点 D.求证:△ADE∽△ABC.
9. 如图 4-4-7,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,若AD=1,BD=4,则CD等于
A.2 B.4 C. D.3
10. 如图4-4-8,数学活动课上,为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6m，同时量得小菲与平面镜的水平距离为2m ，平面镜与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆的高度为 ( )
A.6.4m B.8m C.9. 6m D.12.5m
11. 如图 4-4-9,在△ABC 中,已知 AB=8,BC=7,AC=6,E是AB 的中点,F是AC边上一个动点，如果△AEF与△ABC 相似，那么 EF的长为 .
12. 如图4-4-10,在△ABC中,AB=AC,点 E在边 BC 上,满足∠DEF=∠B,且点 D,F分别在边AB,AC上.求证:△BDE∽△CEF.
13. 如图 4-4-11,四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为AB 的中点.求证：
(2)△AFD∽△CFE.
第2课时 相似三角形的判定定理2
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1. 如图 4-4-12,在△ABC 和△AED中,
∵∠BAC= ,且 ∴△ABC∽△AED.
2. 如图 4-4-13 所示,已知△ABC,则图4-4-14中与△ABC相似的是( )
3. 如图 4-4-15,在△ABC 中,点 D在AB 边上,点E在AC边上，请添加一个条件： (写出一个即可)，使△ADE∽△ABC.
4. 如图 4-4-16,在边长为 4 的正方形 ABCD中,P 是 BC 上的点,且 BP=3PC,Q 是CD的中点.求证:△ADQ∽△QCP.
5. 如图 4-4-17,已知 AB·AF=AE·AC,且∠1=∠2,求证:△ABC∽△AEF..
6. 如图 4-4-18,P 是△ABC 的边 AB 上一点(AB>AC),下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是( )
C.∠ACP=∠B
D.∠APC=∠ACB
7. 在三角形纸片ABC中,AB=8,BC=4,AC=6，沿图4-4-19中虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是 ( )
8. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图4-4-20,△ABC 是格点三角形,在图中6×6 的正方形网格中作出格点三角形ADE(不与△ABC 重合),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形 ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
9.如图4-4-21,用一个卡钳(AD=BC, 测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6 cm,则AB= cm.
10. 如图4-4-22,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.点 P 在 BD上移动,当以 P,C,D为顶点的三角形与△ABP 相似时，PB 的长为
11. 如图4-4-23,P为△ABC的中线AD上的一点,且 BD = PD·AD. 求证:∠DAC =∠DCP.
12. 如图4-4-24,已知∠MON=90°,A 是∠MON 内部的一点,连接OA,过点 A作AB⊥ON,垂足为 B,AB=3 cm,OB=4 cm,动点 E,F 同时从点 O 出发,点 E 以1.5cm /s的速度沿 ON 方向运动,点 F 以2cm /s的速度沿OM 方向运动,EF 与OA 交于点 C.当点 E 到达点 B 时，两点均停止运动.设运动时间为ts(t>0).
(1)当t=1时,△EOF 与△ABO是否相似 请说明理由；
(2)在运动过程中，不论 t 取何值时，总有EF⊥OA,为什么
第3课时 相似三角形的判定定理3
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知识点 三边成比例的两个三角形相似
1. 如图4-4-25,在△ABC和△A'B'C'中,
∴△ABC∽△A'B'C'.
2. 若△ABC 和△DEF 满足下列条件,其中使△ABC与△DEF 相似的是 ( )
A. AB=6,BC=6,AC=9,DE=4,EF=4,DF=6
B. AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=10,DF=15
D. AB=1,BC= ,AC=3,DE= ,EF=
3. 如图4-4-26 所示,小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是 ( )
4. 在△ABC 中,AB=3,AC=4,在△A'B'C'中,A'B'= 8,A'C'= 6,则 当 BC : B'C' = 时,△A'B'C'∽△ACB.
5. 如图 4-4-28,在 中,D,E,F 分别是AC,AB,BC的中点.求证:
6. 在如图 4-4-29 所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似 ( )
A.①处 B.②处 C.③处 D.④处
要做形状为三角形的甲、乙两个框架，其中甲三角形框架的三边长分别为4，5，6，乙三角形框架的一边长为2，欲使这两个三角形相似，则乙三角形框架的两边长可以是 .
8. 如图4-4-30,DE∥AB,DF∥AC,EF∥BC.求证:△DEF∽△ABC.
9. 如图4-4-31,已知
求证：
一图多题 寻找合适的相似的判定方法- 共用图
2分类练
1. 如图 4-4-32,D,E 两点分别在线段 AB 和AC上,若∠AED=∠B,求证:△ADE∽△ACB.
2. 如图4-4-32,D,E 两点分别在线段 AB 和AC上,若AD·AB=AE·AC,求证:△ADE∽△ACB.
3. 如图4-4-32,D,E 两点分别在线段 AB 和AC上,若∠ADE=∠C,AD=3,AC=5,DE=4,求BC的长.
第4课时 黄金分割
知识点 黄金分割的定义
1. 已知点C把线段AB 分成两条线段AC,BC,下列说法错误的是 ( )
A.如果 那么线段 AB 被点 C 黄金分割
B.如果 ，那么线段 AB 被点C黄金分割
C.如果线段 AB 被点 C 黄金分割,那么 AC与AB 的比叫做黄金比
D.一条线段有两个黄金分割点
2. 如图 4-4-33 所示,B 是线 段 AC 的 黄 金 分 割 点(AB>BC),则下列结论中,正确的是 ( )
3. 已知 C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC,AB=2,则AC的长为 ( )
D.0.618
4. 在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.按此比例设计一座高度为 2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 .(结果精确到0.01 m.参考数据:
5. C是线段AB 的黄金分割点,且AB=6cm,则BC 的长为 ( )
或(
或
6.如图4-4-34,乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点 A，B 固定在乐器面板上，支撑点 C是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D是靠近点 A 的黄金分割点，则支撑点 C，D之间的距离为 cm.(结果保留根号)
7. 宽与长之比为 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感.如图4-4-35，如果在一个黄金矩形ABCD里面画一个正方形ABEF，那么留下的矩形CDFE 还是黄金矩形吗 请证明你的结论.
4 第1课时 相似三角形的定义及其判定定理1
1. (1)∠A′ ∠B′ ∠C′
2. B 3. B 4. A 5. D
6. ∠B=∠D(答案不唯一) [解析] ∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE.
要使△ABC∽△ADE，只需再有一对对应角相等即可，
∴添加的条件可以为∠B=∠D.
故答案为∠B=∠D(答案不唯一).
7. 证明:∵PC=PD,
∴∠PCD=∠PDC.
∵∠A+∠APC=∠PCD,∠B+∠BPD=∠PDC,∠A=∠BPD,
∴∠APC=∠B.
∴△APC∽△PBD.
8. 证明:∵BE=BC,
∴∠C=∠CEB.
∵∠CEB=∠AED,
∴∠C=∠AED.
∵AD⊥BE,∠ABC=90°,
∴∠D=∠ABC=90°,
∴△ADE∽△ABC.
9. A
10. B [解析] 如图所示.
由题意可知,AB⊥BD,DE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠ABC=∠CDE=∠FCB=∠FCD=90°.
根据镜面的反射性质,得∠ACF=∠ECF,
∴∠ACB=∠ECD,∴△ABC∽△EDC,
∵小菲的眼睛离地面的高度为1.6m，同时量得小菲与平面镜的水平距离为2m ，平面镜与旗杆的水平距离为10m，
∴AB=1. 6m,BC=2m,CD=10 m.
故选 B.
11. 或
12. 证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠CED=∠B+∠BDE=∠CEF+∠DEF,∠DEF=∠B,
∴∠BDE=∠CEF,
∴△BDE∽△CEF.
13. 证明:(1)∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB.
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴AD:AC=AC:AB,
(2)∵E为AB的中点,
∴CE=BE=AE,
∴∠EAC=∠ECA.
∵∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA.
又∵∠AFD=∠CFE,
∴△AFD∽△CFE.
第2课时 相似三角形的判定定理2
1 .∠EAD ACAD 2. C
答案不唯一，如
4. 证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠D=∠C=90°,AD=CD=BC=4.
∵Q是CD 的中点,
又∵∠D=∠C=90°,∴△ADQ∽△QCP.
5. 证明:∵AB·AF=AE·AC,
∵∠1=∠2,∴∠2+∠BAF=∠1+∠BAF,即∠BAC=∠EAF,
∴△ABC∽△AEF.
6. B
7. D [解析] 先找到公共角，再验证夹公共角的两对对应边是否成比例.
8. C [解析] 如图.
所以使得△ADE∽△ABC 的格点三角形一共有6个.
故选C.
9. 18 10. 8.4 或2或12
11. 证明:∵AD是△ABC的中线,∴BD=DC.
又
又∵∠PDC=∠CDA,
∴△DPC∽△DCA.
∴∠DAC=∠DCP.
12. 解:(1)相似.理由如下:
当t=1时,OE=1.5cm,OF=2cm.
∵AB=3cm,OB=4 cm,
又∵∠EOF=∠ABO=90°,
∴△EOF∽△ABO.
(2)在运动过程中,OE=1.5t cm,OF=2t cm.
∵AB=3cm,OB=4cm,
又∵∠EOF=∠ABO=90°,
∴△EOF∽△ABO.∴∠EFO=∠AOB.
又∵∠AOB+∠FOC=90°,
∴∠EFO+∠FOC=90°.
∴∠FCO=90°,即 EF⊥OA.
第3课时 相似三角形的判定定理3
2. A 3. A
4. [解析] ∵AB=3,AC=4,A'B'=8,A'C'= ∴当 时，△A'B'C'∽△ACB.
5. 证明:方法一:因为 D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,所以 DE,EF,DF是△ABC的中位线.
所以
所以DE:BC=EF:AC=DF:AB=
所以△ABC∽△FDE.
方法二:因为 D,E,F 分别是 AC,AB,BC 的中点，
所以 DE,EF,DF 是△ABC的中位线.
所以DF∥AB,EF∥AC.
所以∠B=∠DFC,∠C=∠EFB.
所以 即∠A=∠EFD.
同理得∠C=∠DEF,
所以△ABC∽△FDE.
6. B [解析] 设小正方形的边长均为1.由网格图可得，“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为2,2 ,4
“车”“炮”所在位置的格点之间的距离为1，“炮”与②所在位置的格点之间的距离为 , “车”与②所在位置的格点之间的距离为2
.两个格点三角形相似.
∴“马”应该落在②的位置.
故选 B.
7. 和3或 和 或 和
8. 证明:∵DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC,
即
9. 证明:
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC--∠DAC=∠DAE--∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
又∵ABD=AC,∴△ABD∽△ACE.
串题训练
1. 证明:∵∠A=∠A,∠AED=∠B,
∴△ADE∽△ACB.(两角分别相等的两个三角形相似)
2. 证明:∵AD·AB=AE·AC,
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB.(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
3. 解:∵∠A=∠A,∠ADE=∠C,
∴△ADE∽△ACB,(两角分别相等的两个三角形相似)
第4课时 黄金分割
1. C 2. C 3. A
4. 1.24 m [解析] 设该雕像的下部设计高度为x m.
根据题意，得
解得 或 (舍去).
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
故答案为1.24 m.
5. C
[解析] ∵C是靠近点 B 的黄金分割点,AB=80 cm,
40) cm.
∵D是靠近点A 的黄金分割点,AB=80cm,
40) cm,
∴支撑点 C，D之间的距离为 故答案为
7. 解：留下的矩形 CDFE 还是黄金矩形.
证明:∵四边形 ABEF 是正方形,四边形 ABCD是矩形，
∴AB=DC=AF.
由题意得
即 F是线段AD 的黄金分割点，
∴矩形CDFE 是黄金矩形.