2.6 用一元二次方程解决实际应用问题练习 （含答案）

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6 第1课时 用一元二次方程解决实际应用问题 (一)
知识点 1 用一元二次方程解决几何图形问题
1. 某中学准备建一个面积为375 m 的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短 10 m.设游泳池的长为x m，则可列方程为 ( )
A. x(x-10)=375 B. x(x+10)=375
C.2x(2x-10)=375 D.2x(2x+10)=375
2. 在一幅长80 cm,宽50cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5000 cm ，设金色纸边的宽为x cm，那么可列出方程为
3.如图 2-6-1,老李想用长为 70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边 BC上留一个宽2m 的门(建在EF 处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m 的羊圈
(2)羊圈的面积能达到650 m 吗 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
知识点 2 利用一元二次方程解决古代数学问题
4. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210 文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，则6210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x，则符合题意的方程是( )
A.3(x+1)x=6210 B.3(x--1)=6210
C.(3x-1)x=6210 D.3(x--1)x=6210
5.《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”.书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何 ”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4 尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少(如图2-6-2) 答：门高、宽和对角线的长分别是 .
知识点 3 用一元二次方程解决动态几何图形问题
6.如图 2-6-3,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 8cm,BC= 6 cm,动点P，Q分别从点 A，B 同时开始移动(移动方向如图所示)，点P 的速度为1 cm/s,点 Q 的速度为 2cm /s,点 Q 移动到点C后停止，点 P 也随之停止移动，若使△PBQ的面积为15 cm ,则点 P 移动的时间是( )
A.2s B.3 s C.4s D.5s
7. 如图2-6-4,A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,BC=6 cm,动点 P,Q分别从点 A,C出发,点 P 以 3c m/s的速度沿 AB 边向点 B移动,同时点 Q 以2cm /s的速度沿 CD 边向点 D 移动.当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动.则经过多长时间，P，Q两点之间的距离是 10 cm
8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何 ”大意是“有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈(1丈=10尺)，那么门的高和宽各是多少 ”如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列方程为( )
9. 如图 2-6-5,把长 40 cm,宽 30cm的长方形纸板剪掉 2 个小正方形和 2个小长方形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子.设剪掉的小正方形的边长为 xcm(纸板的厚度忽略不计)，若折成的长方体盒子的 表面积是950 cm ,则x的值是 .
10. 如图 2-6-6,已 知△ABC 中,∠B = 90°,AB=8cm,BC=6 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始向点 B运动,且速度为 1 cm/s,点 Q 从点 B 开始沿BC,CA方向运动,且速度为2cm /s.点 P,Q同时出发，设出发的时间为 ts.
(1)出发2 s后,求 PQ的长;
(2)当点 Q 在边 BC 上运动时，出发几秒，△PQB为等腰三角形
(3)当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使△BCQ为等腰三角形的运动时间.
第2课时 用一元二次方程解决实际应用问题(二)
知识点 1 利用一元二次方程解决销售问题
1. 某种服装，每天销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利900元，那么每件应降价多少元
解：设每件应降价x元，则每件盈利 元，每天可多售出 件，每天一共售出 件，所以每天可获得利润 元.(以上均用含x的代数式表示)根据题意列方程，得 ，解得 ，符合题意的解为 .故每件应降价 元.
2. 某食品厂生产一种饮料，平均每天售出20箱，每箱盈利 32 元.为了减少库存，食品厂决定降价销售，若每箱每降价1元，则每天可多销售5箱，若要保证每天盈利1215元，设每箱降价 x元，则根据题意可列方程为( )
A.(32-x)(20+5x)=1215
B.(32+x)(20+5x)=1215
C.(32-x)(20-5x)=1215
D.(32+x)(20--5x)=1215
3. 某超市销售一种饮料，每瓶进价为6 元.当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶.经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶.若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为 元.
4. 某专卖店在销售中发现一款每件进价为90元的服装，当销售价为每件130元时，每天可售出20件，“十一”国庆节，商店为扩大销售量，增加利润，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件.
(1)每件服装降价多少元时，平均每天盈利1200元
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗 请说明理由.
知识点 2 利用一元二次方程解决变化率问题
5.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份的售价为23万元，5月份的售价为16万元.设该款汽车从3月份到5月份售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是( )
杭州第19 届亚运会吉祥物之一“琮琮”深受大家欢迎，一经开售供不应求.已知该款吉祥物在某电商平台上 9 月 24 日的销售量为5000个,9月 25 日和9 月26 日的总销售量是22500个.若9 月25 日和26 日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是 .
7. 为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是 7200 元，求2020年~2022年购买图书资金的年平均增长率.
8. 某公司今年4月的营业额为 2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到 9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程，则下列方程正确的是( )
C.2500(1+x)+2500(1+x) =9100
D.2500+2500(1+x)+2500(1+x) =9100
9. 某电商销售一款夏季时装，进价为40元/件，售价为110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用5 元.为尽快回笼资金，减少库存，该电商计划开展降价促销活动.通过市场调研发现，该时装售价每件每降低1元，每天的销量就增加4件.若该电商每天扣除平台推广费之后的利润要达到4500元，则适合的售价应定为每件 ( )
A.70元 B.80元
C.70元或90元 D.90元
某商场1月份的销售额为125 万元，2月份的销售额下降了20%，商场从3月份起改变经营策略，以多种方式吸引消费者，使销售额稳步增长，4月份的销售额达到了 121万元.
(1)求3，4月份销售额的月平均增长率；
(2)商场计划3~5月的总销售额达到370万元，按照目前的月平均增长率，商场能否实现销售计划 请计算说明.
11. 某文具店今年3月底购进了一批文具1160件，预计在4月份进行试销.购进价格为每件 10元.若售价为12 元/件，则可在4月份全部售出.若每件每涨价0.1元，销售量就减少2件.
(1)若该文具店在4月份想该文具的销售量不低于1100件，则售价应不高于多少
(2)由于销量好，5月份该文具的进价比3月底的进价每件增加了20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果5月份的销售量比4月份在(1)的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比4月份在(1)的条件下的最高售价每件减少了 结果 5 月份销售该文具的利润达到3388元，则m(m>10)的值为__________
1. A 2. (80+2x)(50+2x)=5000
3. 解:(1)设矩形ABCD的边AB= xm,则边BC=70-2x+2=(72--2x)m.
根据题意,得x(72-2x)=640.
化简，得
解得
当x=16时,72--2x=72--32=40;
当x=20时,72--2x=72-40=32.
故当羊圈的长为40 m,宽为 16 m或长为32 m,宽为20 m时，能围成一个面积为640 m 的羊圈.
(2)不能.理由如下：
由题意,得x(72-2x)=650,
化简，得
∴一元二次方程没有实数根，
∴羊圈的面积不能达到650 m .
4. D
5. 8尺,6尺,10尺 [解析] 设竿的长为x尺,则门高为(x-2)尺,门宽为(x-4)尺.
根据题意可得
解得x=10或x=2(舍去),
∴x-2=8,x-4=6,
即门高、宽和对角线的长分别是8尺，6尺，10尺.
6. B [解析] 设动点 P,Q移动 ts 后,能使△PBQ的面积为15 cm ,则 BP为(8-t) cm,BQ为2t cm.由三角形的面积计算公式列方程，得 2t=15,
解得 (当t=5时,BQ=10,不合题意，舍去)，
∴当动点 P,Q移动3s 时,能使△PBQ 的面积为15 cm .
故选 B.
7. 解:设经过 xs,P,Q两点之间的距离是10cm.
根据题意，得
整理，得
解得
所以经过1.6s 或4.8s,P,Q两点之间的距离是 10 cm.
8. D
9. 5 [解析] 依题意,得
整理，得
解得 (不合题意，舍去).
故x的值为5.
10. 解:(1)当t=2时,AP=2cm,BQ=2t=4 cm.
∵AB=8cm,
∴BP=AB--AP=8--2=6(cm).
在 Rt△BPQ 中,由勾股定 理 可得 PQ =
即 PQ的长为
(2)由题意可知AP=t cm,BQ=2t cm.
∵AB=8cm,∴BP=AB-AP=(8-t) cm.
当△PQB为等腰三角形时,BP=BQ,即8--t=2t,解得
∴出发 s后△PQB 为等腰三角形.
(3)在△ABC 中,由勾股定理可求得 AC=10 cm.
当点 Q在边CA 上运动时，
AQ=BC+AC-2t=(16-2t) cm,
∴CQ=AC-AQ=10-(16-2t)=(2t-6) cm.
∵△BCQ为等腰三角形，
∴有 BQ=BC,CQ=BC和CQ=BQ三种情况:
①当BQ=BC=6cm时,如图,过点 B作BD⊥AC于点D,
则
在Rt△ABC中,求得
在Rt△BCD中,
由勾股定理可得
即
解得 )(舍去);
②当CQ=BC=6cm时,
则2t-6=6,解得t=6;
③当CQ=BQ时,∠C=∠QBC.
∵∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA,
∴∠A=∠QBA,
∴QB=QA,
即2t-6=5,
解得t=5.5.
综上可知,当运动时间为6.6s 或6s 或5.5s时，△BCQ为等腰三角形.
第2课时 用一元二次方程解决实际应用问题(二)
1. (32-x) 5x (20+5x) (32-x)(20+5x)
2
2. A
3. 11 [解析] 设每瓶该饮料售价为x元.根据题意，得((x-6)[160-20(x-10)]=700,解得 (不合题意，舍去)，则每瓶该饮料售价为11元.
4. 解：设每件服装降价x元，则每件利润为(40—x)元.
(1)依题意可得(20+2x)(40-x)=1200,整理，得 解得
∵要扩大销售量，增加利润，∴x=20.
故每件服装降价 20 元时，平均每天盈利1200元.
(2)不可能.理由:(20+2x)(40-x)=2000,整理，得
方程,无解，
∴不可能做到平均每天盈利2000元.
5. B 6. 5000(1+x)+5000(1+x) =22500
7. 解：设2020年~2022年购买图书资金的年平均增长率为x.
由题意，得
解得 (不符合题意，舍去).
故2020年~2022年购买图书资金的年平均增长率为20%.
8. D
9. A [解析] 设每件降低x元.由题意得(110—40-5-x)(20+4x)=4500,
解得
∵为尽快回笼资金，减少库存，∴x=40，
∴售价应定为每件110-40=70(元).
故选 A.
10. 解：(1)设3，4月份销售额的月平均增长率为x.
依题意，得
解得 (不合题意，舍去).
故3，4月份销售额的月平均增长率为10%.
(2)不能.说明如下：按照(1)中的月平均增长率，3~5月的总销售额为125(1--20%)(1+10%)+121+121(1+10%)=364.1(万元).
∵364.1<370,∴商场不能实现销售计划.
11. 解：(1)设售价为x元/件.依题意得
解得x≤15.
故售价应不高于 15元/件.
(2)该文具5月份的进价为 10(1+20%)=12(元/件).
由题意，得
设m%=t,化简得
解得 所以
因为m>10,所以m=40.
故答案为40.