1.1菱形的性质和判定 第 3课时 菱形的性质与判定的综合应用同步练习（含答案）

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第 3课时 菱形的性质与判定的综合应用
知识点 1 菱形的面积
1. 已知菱形的两条对角线长分别是12 和16，则这个菱形的面积是 ( )
A.192 B.96 C.48 D.40
2. 如图1-1-26,四边形 ABCD是菱形,AC 与 BD 交于点O,AO=4,OD=3,DH⊥AB于点 H,则 DH 等于
3. 如图 1-1-27,在菱形 ABCD中,已知AB=17 cm,BD=30cm,AC,BD 交于点O，求菱形ABCD的面积.
知识点 2 菱形的性质与判定的综合应用
4. 下列说法中不正确的是 ( )
A.四边相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.菱形的对角线互相垂直且相等
D.菱形的邻边相等
5. 如图 1-1-28,在菱形 ABCD 中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 ( )
A.
B.1
D.
6. 如图 1-1-29,AD 是△ABC的角平分线,DE∥AC 交AB 于点E,DF∥AB交AC于点 F,且 AD 交 EF 于点O,则∠AOF= °.
7. 如图1-1-30,四边形 ABCD 是菱形,E,F 是对角线 AC 上的两点,且 AE=CF,连接 BF,FD,DE,EB.求证:四边形DEBF 是菱形.
8. 如图1-1-31,在菱形 ABCD 中,点 A 在x 轴上,点 B 的坐标为(8,2),点 D 的坐标为(0,2)，则点 C 的坐标为 ( )
A.(2,2) B.(3,3) C.(4,4) D.(3,4)
9. 如图1-1-32,在平行四边形 ABCD 中,∠BAD的平分线交 BC于点 E,∠ABC的平分线交 AD于点 F,AE,BF交于点O.若BF=13,AO=5,则四边形ABEF的面积为 ( )
A.60 B.65 C.120 D.130
10. 如图1-1-33,四边形 ABCD 是菱形,O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成若干部分.若菱形的两条对角线的长分别为6和8，则阴影部分的面积为 .
11. 如图 1-1-34,E,F,G,H 分别是 BD,BC,AC,AD的中点,且AB=CD,有下列结论:①EG⊥FH;②四边形 EFGH 是菱形;③HF平分 其中正确的是 .(填序号)
12.如图 1-1-35,在四边形 ABCD中,AB∥CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB的中点，连接CE.
(1)求证:四边形AECD 为菱形;
(2)若∠D=120°,DC=2,求△ABC 的面积.
13. 学习了菱形的判定和性质后，李老师拿出一个长AB=40 cm、宽 BC=30cm的长方形 ABCD 让同学们剪成一个面积最大的菱形并求其面积.以下是两位同学的想法：
小明的想法是取长方形各边的中点，连成四边形是菱形 EFGH,如图1-1-36①,面积是
小刚的想法是沿长方形对角线AC折叠，AB上的点 F 与DC 上的点 E 重合，点B 落在点B'处，展开长方形，连接AE，CF 得到四边形AFCE,如图②,你能判定四边形 AFCE 是菱形吗 其面积是多少
1. B
2. [解析] ∵四边形 ABCD是菱形,
∴OA=OC=4,OB=OD=3,AC⊥BD.
在 Rt△AOB 中,由勾股定理,得
3. 解:∵四边形 ABCD 为菱形,BD=30cm,
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
∴AC=16 cm.
240(cm ).
4. C [解析] 菱形的对角线互相垂直且互相平分，不一定相等.故选 C.
5. D [解析] 连接BD与AC 交于点O,如图.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD,AC⊥BD,AO=OC= AC.
∵∠DAB=60°,且AB=AD,
∴△ABD 是等边三角形.
则
故选 D.
6. 90 [解析] ∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF 为平行四边形,∠EAD=∠ADF.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠EAD=∠FAD,
∴∠ADF=∠FAD,∴AF=DF,
∴□AEDF为菱形,
∴AD⊥EF,即∠AOF=90°.
故答案为90.
7. 证明:∵四边形 ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB.
又∵AE=CF,
∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS),
∴DE=BE=BF=DF,
∴四边形 DEBF 是菱形.
8. C
9. B [解析] ∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB.
∵∠BAD 的平分线交 BC 于点E,
∴∠DAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE.
同理可得AB=AF,
∴AF=BE,
∴四边形 ABEF 是平行四边形.
∵AB=AF,∴四边形ABEF 是菱形,
∴AE⊥BF.
∵BF=13,AO=5,
∴四边形 ABEF 的面积 故选 B.
10. 12 [解析] 如图.
∵菱形 ABCD 的两条对角线的长分别为6 和8，
∴菱形ABCD的面积 8=24.
∵O是菱形ABCD 两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴点 M,E,G分别是点 N,F,H关于点O的对称点.
∴△OEG≌△OFH,四边形 OMAH≌四边形ONCG,四边形OEDM≌四边形OFBN.
则
S四边形OEDM=S四边形OFBN·
∴阴影部分的面积
11. ①②③ [解析] ∵E,F,G,H 分别是 BD,BC,AC,AD的中点,
∵AB=CD,∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形 EFGH 是菱形,
∴①EG⊥FH,正确;②四边形 EFGH 是菱形,正确;③HF平分∠EHG,正确;
④如图,取CD的中点 N,连接 EN,GN.
∵E,G分别为BD,AC的中点,
GN∥AD.
( )当 AD∥BC时,易得点 E,G,N 在同一直线上，
(ii)当AD 与BC 不平行时,点 E,G,N不在同一直线上，
则 故错误.
综上所述，①②③正确.
12. 解:(1)证明:∵E为AB 的中点,
∴AB=2AE=2BE.
∵AB=2CD,∴CD=AE.
又∵AE∥CD,
∴四边形AECD 是平行四边形.
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠EAC.
∵AB∥CD,
∴∠DCA=∠CAB,
∴∠DCA=∠DAC,
则AD=CD,
∴平行四边形 AECD 是菱形.
(2)∵四边形 AECD 是菱形,∠D=120°,
∴AD=CD=CE=AE=2,∠D=∠AEC=120°,
∴AE=CE=BE,∠CEB=60°,
∴∠CAE=30°=∠ACE,△CEB 是等边三角形,∴BE=BC=EC=2,∠B=60°,则∠ACB=90°,
13. 解:由折叠可知AE=AF,CF=CE,∠B'AC=∠BAC.
∵AB∥CD,
∴∠ECA=∠BAC.
∴∠ECA=∠B'AC.
则AE=CE.
∴AE=CF=AF=CE.
∴四边形 AFCE 是菱形.
设AF=x cm,则BF=(40-x) cm,CF=x cm.
在 Rt△CFB中,(
即
解得
∴菱形 AFCE的面积是AF