1.2 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 同步练习（含答案）

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第2课时 矩形的判定
知识点 1 根据矩形的定义进行矩形的判定
1. 如图1-2-13,要使 ABCD成为矩形,需添加的条件是 ( )
A. AB=BC B. AO=CO
C.∠ABC=90° D.∠1=∠2
2. 如图1-2-14,已知 D是△ABC 的边 BC(不含点B,C)上的一点,DE∥AB 交AC 于点 E,DF∥AC交AB 于点 F.要使四边形AFDE 是矩形,则在△ABC中要增加的一个条件是 .判定矩形的依据是 .
3. 如图1-2-15,在菱形ABCD中,对角线AC与BD 交于点O,过点 C 作 BD 的平行线,过点D 作AC 的平行线，两直线相交于点 E.求证：四边形OCED 是矩形.
知识点 2 根据对角线进行矩形的判定
4. 在下列条件中,能够判定□ABCD为矩形的是 ( )
A. AB=AD B. AC⊥BD
C. AB=AC D. AC=BD
5. 如图 1-2-16,在 ABCD中,AC,BD 相交于点O,AC=8,当OD= 时, ABCD是矩形.
6.如图1-2-17,四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，△OAB为等边三角形，. 求四边形ABCD的周长.
知识点 3 根据角进行矩形的判定
7. 判断一个四边形门框是不是矩形，下面方案正确的是 ( )
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量四边形其中的三个角是否都为直角
8. 如图1-2-18,在 ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为 E,F.求证:四边形 BFDE为矩形.
9. 如图 1-2-19,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC=3,BC=4,P 为AB 边上任意一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点 F,则线段 EF 的最小值是 ( )
A.2 B.2.4 C.3 D.4
10. 如图1-2-20,线段 AB 的端点 B 在直线 MN上，过线段 AB 上的一点O 作 MN 的平行线，分别交∠ABM 和∠ABN 的平分线于点C,D,连接 AC,AD.添加一个适当的条件:当 时，四边形 ACBD为矩形.
11. 如图1-2-21,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 是 AD 的中点,过点 A 作AF∥BC交CE的延长线于点 F.
(1)求证:AF=BD;
(2)连接 BF,若AB=AC,求证:四边形 AD-BF 是矩形.
12. 如图1-2-22, ABCD 中,E 为 BC 边的中点，连接AE 并延长交 DC 的延长线于点 F，延长 EC 至点 G,使 CG=CE,连接 DG,DE,FG.
(1)求证:
(2)若 AD=2AB,求证:四边形 DEFG 是矩形.
如图1-2-23,在矩形 ABCD 中,AD=12 cm,点 P 在 AD 边以1 cm/s的速度从点 A 向点 D 运动,点Q从点C出发,以 4 cm/s的速度在 CB 间做往返运动，两点同时出发，直到点 P 到达点 D 时，P，Q两点都停止运动.设运动时间为t(t>0)s，当t为 时,四边形 ABQP 为矩形.
1. C
2. ∠A=90° 有一个角是直角的平行四边形是矩形
3. 证明:∵四边形ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD.∴∠COD=90°.
∵CE∥OD,DE∥OC,
∴四边形 OCED 是平行四边形.
又∵∠COD=90°,
∴□OCED 是矩形.
4. D [解析] 在□ABCD中,∵AB=AD,
∴□ABCD 是菱形,故选项 A 不符合题意;
在 ABCD 中,∵AC⊥BD,∴ ABCD 是菱形，故选项 B不符合题意；
在□ABCD中,∵AB=AC,不能判定□ABCD是矩形，故选项 C不符合题意；
在□ABCD 中,∵AC=BD,∴ ABCD 是矩形，故选项D符合题意.
故选 D.
5. 4
6. 解:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AC=2OA,BD=2OB.
∵△OAB为等边三角形,∴OA=OB=AB.
∴AC=BD.∴四边形ABCD 为矩形.
则∠ABC=90°.
在Rt△ABC中,AC=2OA=2AB,BC= 由勾股定理，可得AB=1，
∴四边形 ABCD的周长=2(AB+BC)=2×
7. D [解析] 对角线是否相互平分，能判断是不是平行四边形；
两组对边是否分别相等，能判断是不是平行四边形；
测量一组对角是否都为直角，不能判断其形状；测量四边形中三个角都为直角，能判定矩形.
故选 D.
8. 证明:∵DE⊥AB,BF⊥CD,
∴∠DEB=∠BFD=90°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB.∴∠CDE+∠DEB=180°.
∵∠DEB=90°,
∴∠CDE=90°,
即∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°.
∴四边形 BFDE 为矩形.
9. B [解析] 连接CP.
∵PE⊥AC,PF⊥BC,∠ACB=90°,
∴∠PEC=∠ACB=∠PFC=90°,
∴四边形 PECF 是矩形,∴EF=CP.
当CP⊥AB时,CP 最小,即 EF 最小.
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理得AB=5.
由三角形的面积公式,得AC·BC=AB·CP,解得 即 EF 的最小值是 故选 B.
10. O是AB 的中点(答案不唯一) [解析] 添加条件为O是AB 的中点.理由如下：
∵CD∥MN,
∴∠OCB=∠CBM.
∵BC平分∠ABM,
∴∠OBC=∠CBM,
∴∠OCB=∠OBC,
∴OC=OB.
同理可证:OB=OD,∴OB=OC=OD.
∵O是AB 的中点,
∴OA=OB,
∴四边形 ACBD 是平行四边形.
∵CD=OC+OD,AB=OA+OB,
∴AB=CD,
∴平行四边形 ACBD 是矩形.
故答案为O是AB 的中点(答案不唯一).
11. 证明:(1)∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.
又∵E为AD的中点，
∴AE=DE,
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=DC.
又∵D为BC的中点，
∴BD=CD,∴AF=BD.
(2)∵AF=BD,AF∥BD,
∴四边形 ADBF 是平行四边形.
∵AB=AC,D为BC 的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴四边形ADBF 是矩形.
12. 证明:(1)∵四边形 ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠EAB=∠CFE.
∵E为BC 的中点,∴EC=EB.
在△ABE和△FCE中,
∵∠EAB=∠EFC,∠BEA=∠CEF,EB=EC,
∴△ABE≌△FCE(AAS).
(2)∵△ABE≌△FCE,
∴AB=CF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC,∴DC=CF.
又∵CE=CG,
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
∵E为BC 的中点,CE=CG,
∴BC=EG,
∴AD=BC=EG=2AB.
∵DF=CD+CF=2CD=2AB,
∴DF=EG,
∴平行四边形 DEFG 是矩形.
13. 或4或 或12[解析] 在矩形 ABCD 中,AD=12cm,
∴AD=BC=12 cm.
当四边形ABQP 为矩形时,AP=BQ.
①当0②当3≤t<6时,t=4t--12,解得t=4;
③当6≤t<9时,t=36-4t,解得
④当9≤t≤12时,t=4t-36,解得 t=12.
综上所述，当t为 或4或 或12时，四边形ABQP 为矩形.
故答案为 或4或 或12.