1.2 矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 同步练习（含答案）

第 3课时 矩形的性质与判定的综合应用
知识点 矩形的性质与判定的综合应用
1. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A.内角和为360° B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
2. 如图1-2-24,在矩形 ABCD中,AC,BD 相交于点O,若△ABO的面积为2,则矩形ABCD的面积为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
3. 如图1-2-25,在矩形ABCD中,对角线AC与BD 相交于 点 O,∠AOB = 60°,AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E,则∠BOE 的度数为
4.如图1-2-26,点 M 在 ABCD 的边AD 上,BM=CM,请从以下三个条件:①∠1=∠2,②AM=DM,③∠3=∠4 中,选择一个合适的条件，使□ABCD 为矩形.
(1)你添加的条件是 (填序号)；
(2)添加条件后，请证明 ABCD 为矩形.
5. 如图1-2-27,在 ABCD中,过点 D 作DE⊥AB 于点 E,点 F 在 CD 上,CF=AE,连接BF,AF.
(1)求证:四边形 BFDE 是矩形;
(2)若AF平分∠BAD,且AE=2,DE=4,求矩形 BFDE的面积.
6. 如图1-2-28,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线 EF 分别交 BC,AD 于点E,F.若BE=3,AF=5,则AC的长为 ( )
C.10 D.8
如图1-2-29,在矩形ABCD中,点E,F分别在边CD,BC上,且DC=3DE=3.将矩形沿直线 EF折叠，使点 C恰好落在 AD 边上的点 P 处，则FP= .
8. 如图1-2-30,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点O,过点 A 作AE⊥BC 于点 E,将△ABE 沿BC 方向平移,使点B落到点C 处,点 E 落到点 F 处.
(1)求证:四边形AEFD 是矩形;
(2)若BF=8,DF=4,求AB的长.
9. 如图1-2-31，在平面直角坐标系中，O为坐标原点,AB∥OC,点 B,C 的坐标分别为(15,8),(21,0),动点 M从点A 沿A→B 以每秒1个单位长度的速度运动；动点 N 从点 C 沿C→O以每秒 2 个单位长度的速度运动.点M，N同时出发，两点到达终点后分别停止运动，设运动时间为t秒.
(1)t=3时,点 M 的坐标为 ,点 N 的坐标为 ；
(2)当t为何值时，四边形OAMN 是矩形
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题组专练 含60°角的特殊平行四边形
方法指引：
(1)在菱形ABCD中,∠BAC=60°,则有等边三角形 ABC,如图1-2-32①;
(2)在矩形ABCD中,∠AOB=60°,则有等边三角形 AOB,如图②.
1. 如图1-2-33,在菱形 ABCD 中,∠BAD=120°.已知△ABC 的周长是12,则菱形ABCD 的周长是 ( )
A.20 B.16 C.12 D.8
2. 如图1-2-34,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,∠ABD=30°,BC=4,则边 AD与BC 之间的距离为 .
3. 如图1-2-35,在矩形 ABCD 中,∠BOC=120°,AC=2,则AB的长为 .
4. 如图1-2-36,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AD 于点E,OE=2,∠BAO=60°,则 BD的长为 .
1. C
2. C [解析] ∵四边形 ABCD 是矩形,对角线AC,BD 相交于点O,∴OA=OB=OC=OD.
∴矩形ABCD的面积为4=8.
故选C.
3. 75° [解析] ∵ 四边形 ABCD 是矩形, BD,AC=BD.∴OA=OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形.
∴AB=OB,∠ABO=60°.∴∠OBE=30°.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=45°.
∴△ABE 是等腰直角三角形,则AB=BE.
4. 解:(1)①(或②)
(2)答案不唯一.如选择①∠1=∠2.
证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC,
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∵BM=CM,
∴∠3=∠4.
又∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠ABC=∠DCB.
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴□ABCD为矩形.
5. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∴DF∥BE.
∵CF=AE,∴DF=BE.
∴四边形 BFDE是平行四边形.
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°.
∴四边形 BFDE 是矩形.
(2)∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AFD.
∵AF平分∠BAD,∴∠DAF=∠BAF.
∴∠DAF=∠AFD.
∴AD=DF.
在 Rt△ADE中,∵AE=2,DE=4,
∴矩形 BFDE 的面积= 8
6. A [解析] 连接AE,设AC与EF 的交点为O,如图.
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC,AE=CE.
∵四边形 ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC.
∴∠OAF=∠OCE.
在△AOF 和△COE中,
∵∠AOF=∠COE,OA=OC,∠OAF=∠OCE,
∴△AOF≌△COE(ASA).∴AF=CE=5.
∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8.
从而
故选 A.
7. 2 [解析] ∵DC=3DE=3,∴DE=1,CE=2.由翻折的性质,得PE=CE,FP=FC,∠EPF=∠C=90°,∠CFE=∠PFE.∴PE=2.
又∵∠D=90°,∴∠DPE=30°.∴∠DPF=
∵在矩形 ABCD中,AD∥BC,∴∠CFP=180°- ×60°=30°.∴EF=2CE=2×2=4.在 Rt△PEF中，根据勾股定理，得
8. 解:(1)证明:由平移的性质,得AE∥DF,AE=DF,
∴四边形AEFD 是平行四边形.
∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°,
∴平行四边形 AEFD 是矩形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD.
设AB=BC=CD=x,则CF=8-x.
由(1)易得∠DFC=∠AEB=90°.
在 Rt△CDF 中,由勾股定理,得( 解得x=5,∴AB=5.
9. 解:(1)∵B(15,8),C(21,0),
∴AB=15,OA=8,OC=21.
当t=3时,AM=1×3=3,CN=2×3=6,
∴ON=OC-CN=21--6=15.
又∵AB∥OC,
∴M(3,8),N(15,0).
故答案为(3,8),(15,0).
(2)根据题意,得AM=t,CN=2t,
则ON=OC--CN=21-2t.
根据题意,得当 AM=ON时,四边形 OAMN 是矩形，
此时，点M，N均未到达终点.
∴t=21-2t,
解得t=7,
∴当t=7时,四边形OAMN 是矩形.
串题训练
1. B [解析] 在菱形 ABCD中,AB=BC,∠BAC=
∴△ABC是等边三角形.
∵△ABC的周长是12,
∴菱形ABCD的周长=4×4=16.
故选 B.
2. 2 [解析] 如图,过点 A 作AE⊥BC 于点E,则∠AEB=90°.
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD=∠CBD=30°,AB=BC=4,
∴∠ABC=60°,则∠BAE=30°,
∴BE=2,∴AE=2 即边 AD 与BC 之间的距离为
3. 1 [解析] ∵四边形 ABCD 是矩形,AC=2,
∴OA=OB=1.
∵∠BOC=120°,∴∠AOB=60°,
∴△AOB 是等边三角形,
∴AB=OA=1.
4. 8