1.3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 同步练习（含答案）

第2 课时 正方形的判定
知识点 1 根据正方形的定义进行正方形的判定
1. 已知在四边形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,若使四边形ABCD 是正方形，则还需加上一个条件： (填一个即可).
知识点 2 根据菱形进行正方形的判定
2. 如图 1-3-14,在菱形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，能判定菱形ABCD是正方形的是 ( )
A. AB=AC B. OA=OC
C. AC=BD D. AC⊥BD
3. 如图1-3-15,有 4 个动点 P,Q,E,F 分别从正方形ABCD 的4个顶点A,B,C,D 同时出发,沿着 AB,BC,CD,DA 以同样的速度向点 B,C,D,A 移动.请判断四边形 PQEF的形状，并说明理由.
知识点 3 根据矩形进行正方形的判定
4. 如图 1-3-16,将矩形纸片ABCD 折叠,使点 A 落在BC 上的点 F 处，折痕为BE.若沿 EF 剪开,将折叠部分展 开得到 的 四 边 形ABFE 是一个正方形，其数学原理是 ( )
A.有一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.两个全等的直角三角形构成正方形
D.轴对称图形是正方形
5. 如图1-3-17,在 AB-CD中,AB⊥BC,E,F是□ABCD 对角线 BD上的两点,连接AE,CE,AF,CF,构成的四边形 AECF 是一个菱形.求证:□ABCD 是正方形.
6. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD(如图 1-3-18)为正方形,现有下列四种选法，你认为错误的是 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
7. 如图1-3-19,菱形 ABCD 的对角线AC,BD相交于点O，
(1)连接OE,求证:
(2)当 的度数为多少时，四边形OCED是正方形 并证明你的结论.
8. 如图1-3-20,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点.
(1)判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论；
(2)当 BD,AC满足什么条件时,四边形 EF-GH 是正方形.
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典题变式 特殊四边形的中点四边形问题
典例呈现
如图1-3-21,E,F,G,H 分别是四边形ABCD 的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是( )
A.若AC=BD,则四边形 EFGH 为矩形
B.若AC⊥BD,则四边形EFGH 为菱形
C.若四边形 EFGH 是平行四边形,则 AC与 BD 互相平分
D.若四边形 EFGH 是正方形,则 AC与BD 互相垂直且相等
变式训练
1. 如图1-3-22,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是BC,AC,AD,BD 的中点,要使四边形 EF-GH 是菱形,四边形 ABCD 的边AB,CD 应满足的条件是 .
2. 如图1-3-23,在菱形 ABCD中,E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD,AD的中点,EF=2EH,则AB与EH 的数量关系是 .
3. 如图 1-3-24,已知矩形 ABCD 的对角线长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点,则四边形 EFGH 的周长等于 cm.
1. AB=BC(答案不唯一)
2. C
3. 解:四边形 PQEF 为正方形.理由:
由题意知AP=BQ=CE=DF.
在正方形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
∴AF=BP=CQ=DE.
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF.
∴FP=PQ=QE=EF.
∴四边形 PQEF 是菱形.
∵△AFP≌△BPQ,∴∠APF=∠BQP.
∴∠BPQ+∠APF=∠BPQ+∠BQP=90°.则∠FPQ=90°.
∴四边形 PQEF 为正方形.
4. A [解析] ∵△BEF是由△BEA 折叠得到的,∴∠EFB=∠A=90°,BA=BF.
又∵∠ABF=90°,∴四边形 ABFE 是矩形.
又∵BA=BF,∴四边形ABFE是正方形.
5. 证明:连接AC,交 BD于点O.
∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.
又∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴□ABCD 是矩形.
∵四边形 AECF 是菱形,
∴AC⊥BD.
∴□ABCD 是正方形(对角线互相垂直的矩形是正方形).
6. B [解析] ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴当①AB=BC时,平行四边形ABCD 是菱形,当②∠ABC=90°时,菱形 ABCD 是正方形,故A选项正确，不符合题意；
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时,平行四边形 ABCD 是矩形,当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形 ABCD是正方形，故B选项错误，符合题意；
∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴当①AB=BC时,平行四边形 ABCD 是菱形,当③AC=BD时,菱形 ABCD 是正方形,故 C 选项正确,不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形,∴当②∠ABC=90°时,平行四边形 ABCD 是矩形,当④AC⊥BD时，矩形 ABCD 是正方形，故D 选项正确，不符合题意.
故选 B.
7. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,BC=CD,
∴∠COD=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED 为平行四边形.
又∵∠COD=90°,
∴四边形OCED 是矩形,
∴OE=CD,∴BC=OE.
(2)当∠ABC=90°时,四边形OCED 是正方形.
证明:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°,
∴四边形 ABCD 是正方形,
∴OD=OC.
又∵四边形OCED 是矩形，
∴四边形OCED是正方形.
8. 解:(1)四边形 EFGH 是平行四边形.
证明:∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴EF∥AC,且
同理可得 HG∥AC,且
∴EF∥HG,且EF=HG,
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
(2)当 BD=AC且BD⊥AC时,四边形 EFGH是正方形.
串题训练
典例呈现
D
变式训练
1. AB=CD
[解析] 如图,连接AC,BD 相交于点O.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
∵E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,AD 的中点，
∵EF=2EH,∴OA=2OD,
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