1.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的定义及其性质 同步练习（含答案）

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第 1 课时 正方形的定义及其性质
知识点 正方形的定义及其性质
命题角度 1 利用正方形的性质求解线段相关问题
1. 如图1-3-1,正方形 ABCD 中,AB=1,则AC的长是 ( )
A.1 B. C. D.2
2. 如图1-3-2,正方形 ABCD 的边长为1,点 E在边DC 上,AE平分∠DAC,EF⊥AC,垂足为F,那么FC= .
3. 如图1-3-3,四边形 ABCD 是正方形,E,F 分别是AB,AD上的点,且BF⊥CE,垂足为G.求证:CE=BF.
命题角度 2 利用正方形的性质求解角度相关问题
4. 如图1-3-4,在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形ADE,则∠AEB 的度数为 ( )
A.10° B.12.5° C.15° D.20°
5. 如图1-3-5,在正方形ABCD 中,F 为对角线 AC上的点,连接 BF,DF. 如 果 ∠DFB·= 140°, 那 么 ∠ADF = °.
6. 如图1-3-6,四边形AB-CD 是正方形，△EBC是等边三角形.
(1)求证:△ABE≌△DCE;
(2)求∠AED的度数.
命题角度 3 利用正方形的性质求解面积相关问题
7. 若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是 ( )
A.8 D.16
8. 如图1-3-7,在正方形ABCD中,点 E,F 分别在边AB,BC上,∠ADF=∠CDE.
(1)求证:DE=DF;
(2)若AB=4 cm,AE=1 cm,则△DEF 的面积为 cm .
命题角度 4 正方形对称性的应用
9. 如图 1-3-8，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O,B 的坐标分别是(0,0),(2,0)，则顶点 C的坐标是 ( )
A.(1,1) B.(--1,-1)
C.(1,-1) D.(-1,1)
10. 如图1-3-9,正方形 ABCD 的对角线相交于点O，对角线长为1 cm，过点O任作一条直线分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是 .
11. 如图1-3-10,在正方形 AB-CD 中,点 E,F 分别在边AB,CD 上,∠EFC=120°,若将四边形 EBCF 沿 EF折叠，点B 恰好落在AD 边上的点 B'处,点 C 落在点 C'处,则∠AEB'的度数为 ( )
A.70° B.65° C.30° D.60°
12. 如图1-3-11,四边形 ABCD 是正方形,点 P在CD 上,△ADP 旋转后能够与△ABP'重合,若AB=3,DP=1,求 PP'的长.
13. 如图1-3-12,在正方形 ABCD 的右侧作等边三角形ABE,连接 DE,AC交于点 F,连接 BF.求证:
如图1-3-13,正方形 AB-CD中,将线段 BC绕点C顺时针旋转 得到线段CE,连接 BE,DE,若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积是 .
1. B
[解析] ∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC=AD=1,∠B=∠D=90°,
易证△AFE≌△ADE,
∴AF=AD=1,∴FC=AC--AF= -1.
3. 证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC,∠A=∠CBE=90°.
∴∠ABF+∠CBG=90°.
∵BF⊥CE,∴∠BCE+∠CBG=90°.
∴∠BCE=∠ABF.
在△BCE 和△ABF中,
∵∠BCE=∠ABF,BC=AB,∠CBE=∠A,
∴△BCE≌△ABF(ASA).
∴CE=BF.
4. C 5. 65
6. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,△EBC是等边三角形，
∴ BA = BC = CD = BE = CE,∠ABC =∠BCD=90°,∠EBC=∠ECB=60°.
∴∠ABE=∠DCE=30°.
在△ABE 和△DCE中,
∵BA=CD,∠ABE=∠DCE,BE=CE,
∴△ABE≌△DCE(SAS).
(2)∵BA=BE,∠ABE=30°,
∵∠BAD=90°,
同理可得∠ADE=15°,
7. A
8. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AD=CD,∠A=∠C=90°.
∵∠ADF=∠CDE,
∴∠ADE+∠EDF=∠CDF+∠EDF.
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE 和△CDF 中,
∵∠A=∠C,AD=CD,∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDF(ASA).∴DE=DF.
(2) [解析] ∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=4 cm.
∵△ADE≌△CDF,∴AE=CF=1 cm.
∴BE=BF=3cm.
则
9. C [解析] 如图,连接AC.∵四边形OABC 是正方形，∴AC，OB 所在直线是正方形OABC 的对称轴,AC=OB=2,AC⊥OB.∴点 A,C的横坐标均为1,且点 A 的纵坐标为1，点C的纵坐标为-1.故点 C的坐标为(1,-1).故选 C.
[解析] ∵正方形 ABCD的对角线相交于点O，
∴△AEO 与△CFO关于点O 成中心对称.
∴△AEO≌△CFO.∴S△AEO=S△CFO.
则
∵对角线长为1 cm,
∴阴影部分的面积为
11. D [解析] ∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB∥CD,∴∠BEF+∠EFC=180°.
∵∠EFC=120°,∴∠BEF=180°-∠EFC=60°.
∵将四边形EBCF 沿EF 折叠,点 B 恰好落在AD 边上的点B'处,
故选 D.
12. 解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=3,∠ABC=∠D=∠BAD=90°.
在Rt△ADP 中,由勾股定理得.
∵△ADP 旋转后能够与△ABP'重合,
∴△ADP≌△ABP',
则△PAP'是等腰直角三角形，
13. 证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,
∴CB⊥AB,CD⊥AD,
∴点C在∠BAD的平分线上，
∴AC平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF.
在△BAF和△DAF中,
∵AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,
∴△BAF≌△DAF(SAS).
(2)∵∠BAD=90°,AC平分∠BAD,
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=AD,∠BAE=60°,
∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°,
则
∴∠AFE=∠DAC+∠ADE=45°+15°=60°.
[解析] 过点E 作 EF⊥CD于点F ,EH⊥BC于点 H,如图.
∵将线段 BC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段CE,
∴∠BCE=60°,CB=CE,
∴△BCE 是等边三角形,
则∠BEH=∠CEH=30°,
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°,
∴∠DCE=30°,
故答案为