第一章 特殊平行四边形单元核心要点练习（含答案）

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第一章 特殊平行四边形单元核心要点练习
核心要点一 菱形的性质与判定
1. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
A.四条边相等 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形
2.如图1-X-1,在菱形 ABCD 中,AB = 10,∠B= 60°,则 AC 的长为
3. 如图 1-X-2,四边形 ABCD 中,AD∥BC,O为对角线 BD 的中点,过点 O 的直线l分别与 AD，BC所在的直线相交于点E,F.(点 E不与点 D 重合)
(1)求证:△DOE≌△BOF;
(2)当直线l⊥BD时,连接 BE,DF,试判断四边形 EBFD 的形状，并说明理由.
核心要点二 矩形的性质与判定
4. 如图 1-X-3,矩形的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线的长度之和为24 cm，则这个矩形的一条较短边的长为( )
A.12 cm B.8cm C.6 cm D. 5cm
5. 如图1-X-4,矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E，使BE=BC,过点 C 作 CF⊥BE,垂足为 F,则 BF 的长为 .
6. 如图1-X-5,四边形 ABCD 是菱形,对角线AC 和BD 相交于点O,E是CD 的中点,过点D 作 DF∥AC 交OE 的延长线于点 F,连接CF.
(1)求证:△COE≌△DFE.
(2)①求证:四边形OCFD 是矩形;
②若AD=10,∠ABC=60°,求 OA 和OF 的长度.
核心要点三 直角三角形斜边上的中线的性质
7. 一技术人员用刻度尺(单位: cm)测量某三角形部件的尺寸如图1-X-6所示，已知∠ACB=90°,D 为边 AB的中点,点 A,B对应的刻度分别为1，7，则CD长为( )
A.3. 5cm B.3c m
C.4 cm D.6 cm
8. 如图 1-X-7,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=8,CD⊥AB于点D,∠ACD=3∠BCD,E 是 斜 边 AB 的 中 点, 则 DE 的 长 是
核心要点四 正方形的性质与判定
9. 如图 1-X-8,E,F,M, N 分别是正方形ABCD 四条边上的点,AE=BF=CM=DN,则下面对四边形 EFMN 的形状的描述最准确的是 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
10. 如图1-X-9,正方形 ABCD 中,E 为 CD 边上一点,F 为 BC 延长线上一点,且 CE=CF,若∠EFD=19°,则∠BEC 的度数为
11. 如图1-X-10,木杆 AB 斜靠在直角墙壁上,P 是 AB 的中点，当木杆的上端 A 沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端 B 也随之沿着射线OM 方向滑动，则下滑过程中OP 的长度变化情况是 ( )
A.逐渐变大 B.逐渐变小
C.不变 D.先变大再变小
12.如图 1-X-11,直线 l ∥l ,菱形ABCD 和等边三角形 EFG 在l ,l 之间,点A,F分别在l ,l 上,点 B,D,E,G在同一直线上.若∠α=50°,∠ADE=146°,则∠β的度数为 ( )
A.42° B.43° C.44° D.45°
13. 如图1-X-12,在平面直角坐标系中,点A(4,4),B(1,0),C(6,0),仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成作图，并回答问题：
(1)线段AB 的长为 ;
(2)作线段AD,使AD=BC,且AD∥BC,则点 D 的坐标为 ；
(3)连接CD,四边形ABCD 是 ;(填“矩形”或“菱形”)
(4)在线段 AD上找一点E,使∠DCE=45°.(保留作图痕迹，不写作法和证明过程)
综合与实践
问题情境：四边形 ABCD 是菱形， ，P是菱形边上或内部一点，连接AP，BP， 点 E 在线段 BP 上,点 F 在线段 AP 上,且 ,连接 AE,EF,
(1)特例感知：如图 ，当点 P 与点C 重合时， 的形状是 ，AE +EF = ;
(2)深入探究：如图②，当点 P 在菱形ABCD 内部时，连接CE，CF，判断(1)中的两个结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)拓展应用：如图③，在(2)的条件下，连接CP，若. ，直接写出四边形 ECPF的面积.
1. B
2. 10
3. 解:(1)证明:∵O为对角线BD 的中点,
∴BO=DO.
∵AD∥BC,
∴∠ODE=∠OBF,∠OED=∠OFB.
在△DOE 和△BOF中,
∵∠ODE=∠OBF,∠OED=∠OFB,DO=BO,
∴△DOE≌△BOF(AAS).
(2)四边形 EBFD 为菱形.理由如下:
连接BE,DF,如图所示.
根据(1)可知,△DOE≌△BOF,
∴ED=BF.
又∵ED∥BF,∴四边形EBFD为平行四边形.
∵l⊥BD,即 EF⊥BD,
∴四边形 EBFD为菱形.
4. C
5. 2 [解析] ∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,∠A=90°,
∴∠AEB=∠FBC.
∵CF⊥BE,
∴∠CFB=90°,
∴∠CFB=∠A.
在△ABE 和△FCB中,
∵∠A=∠CFB,∠AEB=∠FBC,BE=CB,
∴△ABE≌△FCB(AAS),
∴FC=AB=4.
∵四边形 ABCD 是矩形,∴BC=AD=6.
在 Rt△FCB 中,由勾股定理得
故答案为2
6. 解:(1)证明:∵E是CD 的中点,
∴DE=CE.
∵DF∥AC,
∴∠COE=∠DFE,∠OCE=∠FDE.
在△COE 和△DFE中,
∵∠COE=∠DFE,∠OCE=∠FDE,CE=DE,
∴△COE≌△DFE(AAS).
(2)①证明:∵△COE≌△DFE,∴OC=DF.
又∵DF∥AC,
∴四边形OCFD 是平行四边形.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠COD=90°,
∴四边形OCFD是矩形.
②∵四边形ABCD 是菱形,
∴∠ADC=∠ABC=60°,DB 平分∠ADC,AD=CD=10,∠AOD=90°,
∴∠ADO=30°.
∵AD=10,
∵四边形OCFD 是矩形,
∴OF=CD=10.
7. B 8. 2 9. D
10. 64° [解析] ∵四边形 ABCD 是正方形,
∴BC=DC,∠BCE=90°,
∴∠DCF=90°.
在△BCE 和△DCF中,
∵BC=DC,∠BCE=∠DCF,CE=CF,
∴△BCE≌△DCF(SAS),
∴∠BEC=∠DFC.
∵CE=CF,∠ECF=90°,
∴△ECF 为等腰直角三角形，
∴∠EFC=45°,
则∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°,
∴∠BEC=64°.
故答案为64°.
11. C
12. C [解析] 如图,延长 BG,交l 于点 H,交 l 于点I.
∵∠ADE=146°,
∵∠α=∠ADB+∠AHD,
∴∠AHD=∠α-∠ADB=50°-34°=16°.
∵l ∥l ,
∴∠GIF=∠AHD=16°.
∵∠EGF=∠β+∠GIF,△EFG 是等边三角形，
∴∠EGF=60°,
故选 C.
13. 解:(1)线段 AB的长为
(2)如图,AD 即为所求.
∵AD=BC=5,A(4,4),B(1,0),
∴点 D 的坐标为(9,4).
(3)如图,连接CD.
∵AD=BC,且AD∥BC,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又由(1)知,AB=5,
∴AB=CD=5.
又∵AD=BC=5,
∴AB=CD=AD=BC,
∴四边形ABCD 为菱形.
如图所示,在图上取格点 N,M,Q,使MN=DQ=4,DN=CQ=3,MN⊥DN,DQ⊥CQ,连接MD,MN,DN,DQ,连接 CM 交 AD 于点E.点E 即为所求.
证明:由作图可知, MN = DQ, DN = CQ,∠MND=∠DQC=90°,
∴△MND≌△DQC(SAS),
∴MD=DC,∠MDN=∠DCQ.
∵∠DCQ+∠CDQ=90°,
∴∠MDN+∠CDQ=90°,
∴∠MDC=90°.
又∵MD=DC,
∴∠DCE=∠DMC=45°,
故点 E 即为所求.
综合与实践
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CB.
∵∠ABC=60°,∴△ABC 是等边三角形.
∵BE=AF,∴CE=CF,∴△EFC是等边三角形.
∴∠FEC=60°,EF=EC.
∵∠AEF=30°,
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°.
故答案为等边三角形，28.
(2)(1)中的两个结论仍然成立.理由如下：
如图,连接AC交BP 于点G.
∵四边形 ABCD是菱形,∴AB=CB.
又∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴CA=CB,∠ACB=60°.
∵∠APB=60°,∠AGP=∠BGC,
∴∠CBE=∠CAF.
又∵BE=AF,
∴△CBE≌△CAF.
∴CE=CF,∠BCE=∠ACF.
∴∠BCE+∠ECA=∠ACF+∠ECA=60°.
∴∠ECF=60°,则△EFC是等边三角形.
∴∠FEC=60°,EF=CE.
∵∠AEF=30°,∴∠AEC=90°.
在 Rt△AEC中，由勾股定理得
(3)∵△CBE≌△CAF,
∴∠CEB=∠CFA.
∴∠CEP=∠CFP.
∵EF⊥AP,△CEF 是等边三角形,
∵∠AEC=90°,
∴∠AEP=∠EAF=60°.
∴△AEP 是等边三角形.
∴AE=EP=AP,∠EPA=60°.
由(2)知,
即 解得AE=4,
如图.设 FC与EP 的交点为O.
∵∠EPA=60°,∠CFP=30°,
∴∠FOP=90°,即EP⊥CF.