6.3.2 角的比较与运算（共37张ppt）人教版数学七年级上册

(共37张PPT)
6.3 角
6.3.2 角的比较与运算
人教版 数学 七年级 上册
有一天学生小明和小华各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:
小明:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.
小华:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
导入新知
小明的折扇
小华的折扇
A
B
C
D
E
F
怎样比较∠ABC和∠DEF的大小
导入新知
素养目标
2. 弄清角平分线的含义，会用数学式子表示角平分线.
1. 会比较两个角的大小,会计算两个角的和、差.
线段长短的比较
AB>CD
ABAB=CD
知识点 1
角的大小与比较
探究新知
AB=BC+AC
BC=AB–AC
AC=AB–BC
线段的和、差
线段中点
若点 C 是线段 AB 的中点，则
AC = BC
AC = BC = AB
AB = 2 AC = 2 BC
探究新知
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
1. 度量法
类比探究
探究新知
2. 叠合法
A
B
O
(O' )
B'
(A' )
A
B
O
A
B
O
(O' )
B'
(A' )
∠AOB＜∠A'O'B'
∠AOB =∠A'O'B'
∠AOB＞∠A'O'B'
(O' )
(B' )
(A' )
探究新知
想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？( 两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )
图中有几个角？它们之间有什么关系？
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，
记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
它们的关系：
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC–∠BOC；
类似地，∠AOC–∠AOB = .
∠BOC
A
B
O
C
探究新知
如图所示：
(1) ∠AOC是哪两个角的和？
(2) ∠AOB是哪两个角的差？
(3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？
B
A
O
C
D
∠AOC =∠AOB +∠BOC.
∠AOB =∠AOC –∠BOC =∠AOD–∠BOD.
∠AOC =∠BOD.
巩固练习
例1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，
求∠BOC 的度数.
解：因为∠AOB 是平角，
∠AOB＝ ∠AOC+∠BOC.
所以∠BOC＝∠AOB–∠AOC
＝180°– 53°17′
＝179°60′–53°17′
＝126°43′.
O
C
B
A
如何计算？
可以向 180 借
1 ，化为60′.
素养考点 1
求角的度数
探究新知
(2) 如图②，若∠AOB= 60°,∠BOC＝40°,则 ∠AOC＝ °.
(1) 如图① ,若∠AOC=35°,∠BOC＝40°,则
∠AOB＝ °.
75
20
A
B
O
C
A
B
O
C
图① 图②
计算下列角的度数.
巩固练习
(3) 若∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC
＝ ．
90 °或30 °
O
B
A
C
C
提示：
无图条件下要分情况讨论.
巩固练习
如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？
75°
15°
巩固练习
例2 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51°+3°÷7
= 51°+180′÷7
≈ 51°26′.
答：每份是51°26′的角.
有余数，可以把度的余数化成分后再除.
素养考点 2
角的度数的计算
探究新知
（1） 120°–38°41′；
（2）67°31′+48°49′.
解：原式 = 119°60′–38°41′
= 81°19′ .
解：原式 = (67+48)°+(31+49)′
= 115°80′
= 116°20′ .
计算.
巩固练习
方法总结：涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.
（1） 20°30′×8；
（2） 106°6′÷5.
解：原式
= (106÷5)°+(6÷5)′
= 21°+1°÷5+(6÷5)′
= 21°+(66÷5)′=21°+13′+1′÷5
=21°+13′+60″÷5=21°13′12″
解：原式
= 20°×8+30′×8
= 160°240′
= 164°
计算.
巩固练习
B
A
O
C
动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：
∠AOC_____∠COB;
∠AOB=_____∠AOC.
=
2
角的平分线
知识点 2
探究新知
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
应用格式：
O
B
A
C
探究新知
因为 OC 是∠AOB 的角平分线，
所以 ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
例1 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
解： 因为 OB 平分∠AOC，∠AOC=80°，
O
A
B
C
D
E
所以 ∠BOC= ∠AOC
= ×80°=40°.
素养考点 1
利用角平分线求角的度数
探究新知
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
解：因为OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因为OD 平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
O
A
B
C
D
E
探究新知
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？
解：因为∠COD=30°，
OD 平分∠COE，
所以∠COE=2∠COD=60°，
所以∠AOC=∠AOE–∠COE=140°– 60°= 80°.
又因为OB 平分∠AOC，
O
A
B
C
D
E
所以∠AOB= ∠AOC= ×80°= 40°.
探究新知
如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是 ( )
A
O
A
B
C
D
巩固练习
如图，OC是平角∠AOB的平分线，∠COD=32°，求∠AOD的度数.
O
A
B
C
D
巩固练习
解：因为OC 平分∠AOB,
所以∠AOC=90°.
又因为∠COD=32°,
所以∠AOD=∠AOC+ ∠COD=90°+32°=122°.
例2 如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=
2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．
O
A
B
解：分以下两种情况：
设∠AOC=2x，∠COB=3x，
因为∠AOB=40°，所以2x+3x=40°，得x=8°，
所以∠AOC=2x=2×8°=16°.
因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOD–∠AOC=20°–16°=4°．
C
D
如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
素养考点 2
利用比例或倍分求角的度数
探究新知
所以设∠AOC=2x，∠COB=3x，
因为∠AOB=40°，
所以3x–2x=40°，得x=40°，
所以∠AOC=2x=2×40°=80°，
因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
O
A
B
C
D
如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，
所以OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
探究新知
涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
探究新知
归纳总结
已知如图∠AOB＝ ∠BOD，OC平分
∠BOD，∠AOC＝75°,则
∠BOD=_______.
解析：设∠BOD＝x°,则∠AOB＝ ∠BOC＝
所以
解得x=90, 故∠BOD=90°.
90°
巩固练习
解析：因为∠BOC=29°18′,
所以∠AOC的度数为180°–29°18′=150°42′．
如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为　 ．
150°42′
29°18′
A
O
B
C
链接中考
1．已知∠MON＝40°，∠NOP＝15°，则∠MOP等于(　　)
A．55°　　B．25°　 C．55°或25°　 D.50°
2．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的度数是(　　)
A．25° B．40° C．50° D．65°
C
A
课堂检测
基础巩固题
3.如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
解:因为∠BOC =∠AOB– ∠AOC=170°–90°=80°,
所以∠COD=∠BOD–∠BOC=90°–80°=10°.
课堂检测
B
A
O
D
C
4.计算：86°23′12″–67°36′50″=_________.
解析: 86°23′12″–67°36′50″
= 86°22′72″–67°36′50″
= 85°82′72″–67°36′50″
= (85–67)°(82–36)′(72–50)″
=18°46′22″.
18°46′22″
课堂检测
5. 计算：(1)15°24′×5;
(2)31°42′÷5.
解:(1)15°24′×5=75°120′=77°;
(2)31°42′÷5=6°+1°42′÷5
=6°+102′÷5
=6°+20′+2′÷5
=6°20′+120″÷5
=6°20′+24″=6°20′24″.
课堂检测
如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
O
A
D
C
B
解：设∠COD=x，
因为∠AOC=60°，∠BOD=90°，
所以∠AOD=60°–x，
所以∠AOB=90°+60°–x=150°–x，
因为∠AOB是∠DOC的3倍，
所以150°–x=3x，解得x=37.5°，
所以∠AOB=3×37.5°=112.5°．
课堂检测
能力提升题
如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1) 求∠EOD的度数；
解：因为∠AOB＝120°，
OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
所以∠EOD＝∠DOC＋∠EOC
＝ (∠BOC＋∠AOC )
＝ ∠AOB＝ ×120°＝60°.
课堂检测
拓广探索题
(2) 若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
解：因为∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，
所以∠AOC＝120°–90°＝30°.
因为OE平分∠AOC，
所以∠AOE＝ ∠AOC＝ ×30°＝15°.
课堂检测
角的大小比较
度量、叠合、翻折
角的和差
角的平分线
图形语言、文字语言、符号语言
方 法
作 法
描 述
课堂小结