湘教版（2024）初中数学七年级上册期末测试卷（困难难度）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
湘教版（2024）初中数学七年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法中：一定是负数；一定是正数；倒数等于它本身的数是；绝对值等于它本身的数是其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形、、，如要求出阴影部分周长的差，只需知道，，，中的一个量即可，则要知道的那个量是( )
A. B.
C. D.
4.在多项式中任意加括号均不为零，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”例如：，，．
下列说法：
至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
所有可能的“加算操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
5.下列方程；；；中，是一元一次方程的( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.小明从家到学校，每小时行，可早到分钟每小时行就会迟到分钟．问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是，则据题意列出的方程是( )
A. B.
C. D.
7.如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：；；；正确的是( )
A. B. C. D.
8.如图，在直角三角形中，，的角平分线相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；；其中正确的结论是 ．
A. B. C. D.
9.若，互为相反数，，互为倒数，到的距离是，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
10.在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图所示的小长方形后得图、图已知大长方形的长为，两个大长方形未被覆盖的部分分别用阴影表示，则图阴影部分的周长与图阴影部分的周长的差是．
A. B. C. D.
11.如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点向射线旋转，到达后再绕点逆时针向射线旋转，速度为度秒．射线从开始，以度秒的速度绕点向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，有以下的值：；；；其中正确的序号是( )
A. B. C. D.
12.如图，在锐角中，是边上的高．，且，连接，交的延长线于点，连接，下列结论：；；；是中点．其中一定正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知点在直线上，，，、分别是、的中点，则为______．
14.有一个小数，如果将小数点向右移动一位后与原数相差，这个小数原来是_____．
15.如图，用三个同图的长方形和两个同图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分阴影部分的周长一样，那么图中长方形的面积与图长方形的面积的比是_____．
16.已知，，是有理数，，，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，数轴上点，对应的有理数分别为，，且，满足．
填空： ， ．
若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，在运动过程中，是否存在某个时刻，使得取得最小值若存在，请求出若不存在，请说明理由．
在的条件下，动点到达原点后立即向右运动只改变方向，不改变速度，则经过多长时间，动点与动点的距离为
18.本小题分
如图，长方形的长为半圆的直径，宽为，半圆的半径为．

列式表示阴影部分的面积；
当时，求阴影部分的面积．结果保留
19.本小题分
如图，正方形和正方形的边长分别为和．
写出表示阴影部分面积的代数式结果要求化简；
求时阴影部分的面积．
20.本小题分
如图，点、和线段都在数轴上，点、、、对应的数字分别为、、、线段沿数轴的正方向以每秒个单位的速度移动，移动时间为秒．
用含有的式子表示的长为_______________．
当_______秒时，．
若点、与线段同时移动，点以每秒个单位的速度向数轴的正方向移动，点以每秒个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程中，和可能相等吗？若相等，请求出的值，若不相等，请说明理由．
21.本小题分
已知二元一次方程均为常数，且．
当，时，用含的代数式表示．
若是该二元一次方程的一个解．
探索与之间的关系，并说明理由；
无论，取何值，该方程都有一个固定解，请求出这个解．
22.本小题分
例如图，已知，，平分，平分，求的度数．
如果中，其他条件不变，求的度数．
如果中为锐角，其他条件不变，求的度数．
从的结果中能得到什么结论
线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法请你模仿问设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律，并给出解答过程．
23.本小题分
已知：如图：，点是的中点，，若，设多项式的值是，其中求线段的长．
如图，、为内两条射线，，，，求的度数．
24.本小题分
如图，已知，，依次为线段上的三点，为的中点，且，若，求线段的长．
25.本小题分
阅读材料：我们把多元方程组的非负整数解叫做这个方程组的“好解”例如：是方程的一组“好解”；是方程组的一组“好解”．
求方程的所有“好解”．
关于，，的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的所有“好解”；若没有，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据绝对值的意义分情况说明即可求解．
【详解】，，
、、为两个负数，一个正数，
，，，
，
分三种情况讨论：
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
，，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了倒数、相反数和绝对值，解题时应熟练掌握倒数、相反数和绝对值的定义是本题的关键，此题难度不大，易于掌握．
根据倒数、相反数以及绝对值的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：不一定是负数，故本选项错误；
是非负数，故本选项错误；
倒数等于它本身的数是，正确；
绝对值等于它本身的数是非负数，故本选项错误；
其中正确的个数有个．
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题列代数式，整式的加减，数形结合思想．
正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，进而列代数式得出两个阴影部分的周长，再作差即可得出结论．
【解答】
解：观察图形可知，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为．
则，
，
．
只需要知道正方形的边长即可．
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题属于新定义问题，涉及去括号与添括号法则，掌握去括号和添括号法则是解题的关键．
根据“加算操作”的定义，结合添括号法则和去括号法则逐项判断即可．
【解答】
解： ，故说法正确．
若使其运算结果与原多项式之和为，则需出现，显然无论怎样添加括号，均无法使得的符号为负号，故说法正确．
当括号中有两个字母时，共有种情况，分别是；
；
；
；；
；．
当括号中有三个字母时，共有种情况，分别是；
；
．
当括号中分别有两个字母和三个字母时，共有种情况，分别是
；．
当括号中有四个字母时，共有种情况，分别是；
．
所有可能的“加算操作”共有种不同的运算结果，故说法正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是，一次项系数不是，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数元，并且未知数的指数是次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是是常数且．【解答】
解：，是一元一次方程；，两个未知数，不是一元一次方程；；，是一元一次方程；分母中有分数，不是一元一次方程．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是由实际问题抽象出一元一次方程，解答此题的关键是把分钟、分钟化为小时的形式，这是此题的易错点．
先设他家到学校的路程是，再把分钟、分钟化为小时的形式，根据题意列出方程，选出符合条件的正确选项即可．
【解答】
解：设他家到学校的路程是，
分钟小时，分钟小时，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】根据与互补，得出，，求出的余角是，表示的余角；，即可判断；，根据余角的定义即可判断；求出，即可判断．
解：与互补，
，，
表示的余角，则正确；
，则正确；
，则错误；
，则正确；
综上，正确的式子是．
故选：．
本题考查了对余角和补角的理解和运用，解题的关键是注意：与互补，得出，；的余角是，题目较好，难度不大．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线，三角形的面积，全等三角形的判定与性质有关知识，
由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理可求，故正确；由“”可证≌，可得，，由“”可证≌得，然后再证明故正确；由全等三角形的性质可得，得出，故错误；由三角形的面积公式可得：：，故正确；即可求解．
【解答】
解：的角平分线、相交于点，
，，
，
，故正确；
，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，
，
又，
≌
，
，
，故正确；
由≌，
，
由≌，
，
，
，，
，
，
，故错误；
，，
：：，故正确．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出，，以及的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】
解：由题意得：，，或，
当时，原式；
当时，原式．
故选D
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
设小长方形的长为，宽为，大长方形宽为，表示出、、、之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．
【解答】
解：设图中小长方形的长为，宽为，大长方形的宽为，
根据题意得：，，即，
图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长，
则图阴影部分周长与图阴影部分周长之差为．
故选C．
11.【答案】
【解析】本题主要考查一元一次方程的应用、角的运算，解题的关键是能够根据运动时间，进行分类讨论．分三种情况讨论使得是的倍时，分别画出图形，求出的值即可．
【详解】解：第一种情况：当从向旋转，在左边时，如图，

则度，度，
，
解得：；
第二种情况：当从向旋转，在右边时，如图，

则度，度，
，
解得：；
第三种情况：当运动到，又返回时，如图，

则度，度
，
解得：，
此时正好与重合，停止运动；
综上所述：或或，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质及两角互余、对顶角等几何基础知识，本题难度略大，熟练掌握这些知识是解决本题的关键．
依题意，易证得≌，从而推得正确；利用≌及三角形内角和与对顶角，可判断正确；利用互余关系可推得正确；做出辅助线，依次证明≌，≌，≌，即可推得正确．
【解答】
解：如图，设与交于点，作于点，的延长线于点，
，
，即，
，，
≌，
，故正确；
≌，
，
又，，
，
，故正确；
，
，
，
，故正确；
，，
，
，，
≌，
，
同理，≌，
，
，
，，
≌，
，
即是的中点，故正确．
故选A．
13.【答案】或
【解析】解：由点，分别是，的中点，
得，．
由线段的和差，得
点、在点同侧时；
点、在点两侧时．
本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．
根据线段中点的性质，可得，的长，再根据线段的和差，可得的长．分类讨论是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题考查一元一次方程的应用，根据小数点的移动特点列出一元一次方程求解．
【解答】
解：设原数为，移动后的数为
故答案为：
15.【答案】：
【解析】【分析】
本题考查的是整式的加减，列代数式有关知识，本题需先设图中长方形的长为，宽为，图中长方形的宽为，长为，再结合图形分别得出图形的阴影周长和图形的阴影周长，相等后列等式可得：，，最后根据长方形面积公式可得结论．
【解答】
解：设图中长方形的长为，宽为，图中长方形的宽为，长为，
由两个长方形的，
图阴影部分周长为：，
图阴影部分周长为：，
两种方式未覆盖的部分阴影部分的周长一样，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】根据，可得，，三个数一定是一正两负，然后再进行化简计算即可．
【详解】解：，，是有理数，，，
，，中一定是一正两负，
，
，，，
，
故答案为：．
17.【答案】解：；；
设运动时间为，由题意得：点可表示为，点可表示为，
则，，
，
当时，原式，当时，取得最小值为，
当时，原式，
当时，原式，当时，取得最小值为，
综上，当时，取得最小值；
由知：，
此时点到达原点，点到达数轴上表示的位置，到达原点所需时间为，此时点到达数轴上表示的位置，到达原点前与的距离不可能为，
设运动时间为，则点可表示为，点可表示为，
，
解得：，
经过秒动点与动点的距离为．
【解析】【分析】
本题主要考查非负数的性质：绝对值、偶次方，数轴，一元一次方程，解题的关键是理解题意，表示出动点在数轴上的位置．
根据非负数的性质：绝对值、偶次方即可解答；
分别表示出点、，则可得到，分类讨论化简绝对值求最小值即可；
在的条件下，分别计算出点、的位置，再利用方程求解即可．
【解答】
解：，且，，
，，
，；
见答案；
见答案．
18.【答案】解：
答：阴影部分的面积是．
当时，
答：当时，阴影部分的面积是．
【解析】此题主要考查了长方形、圆的面积的求法，以及代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所给代数式都要化简．
首先根据长方形的面积、圆的面积公式，分别求出长方形、半圆的面积各是多少；然后用长方形的面积减去半圆的面积，求出阴影部分的面积是多少即可．
把代入中求出的阴影部分的面积的表达式，求出当时，阴影部分的面积是多少即可．
19.【答案】解：
；
当时，
．
【解析】阴影部分面积可视为大小正方形减去空白部分即和，把对应的三角形面积代入即可得．
直接把代入中可求出阴影部分的面积．
本题考查列代数式．要求对图形间的关系准确把握，找到阴影部分的面积是哪些规则图形的面积差是解题的关键．在考查代数式的同时也考查了学生的读图能力，培养了思维的缜密性和数形结合能力．
20.【答案】解：；
；
假设能相等，则点表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，
，，
，
，
解得，，
即在移动过程中，和相等，此时运动的时间为秒和秒．
【解析】【分析】
本题考查了数轴及一元一次方程的应用，解题关键是根据数量关系列出方程．
根据点开始表示的数结合其运动速度和时间，即可得出运动后点表示的数，再依据点表示的数为，根据两点间的距离即可得出；
分别找出、，根据即可列出关于的一元一次方程，解出即可；
假设相等，找出、，根据列出关于的含绝对值的一元一次方程，解出即可．
【解答】
解：点、、、对应的数字分别为、、、线段沿数轴正方向以每秒个单位的速度移动，移动时间为秒，
移动后对应的数为，对应的数为，
；
故答案为；
由可知：，
，
解得，
故答案为；
见答案．
21.【答案】【小题】
当，时，原方程化为，
【小题】
理由：将代入方程，整理，得．
，二元一次方程可化为整理，得当时，无论，取何值，该方程都有一个固定解，这个解为

【解析】 见答案
见答案
22.【答案】解：因为，，
所以，
又平分，
所以，
又因为平分，
所以
所以；
因为，，
所以，
又平分，
所以，
又因为平分，
所以
所以；
因为，，
所以，
又平分，
所以，
又因为平分，
所以
所以；
从的结果可知的大小总等于的一半，而与的大小无关；
可设计的问题为：如答图，线段，延长到使，点，分别是线段，的中点，求线段的长．
解：因为点，分别是线段，的中点，
所以，，
所以．
规律：线段的长度总等于线段长度的一半，而与线段的长度无关．
【解析】本题考查了角平分线、角的计算、线段的中点、线段的和差，同时考查了学会归纳总结规律的能力，以及会根据角和线段的紧密联系设计实验的能力．
首先根据题中已知的两个角度数，求出角的度数，然后根据角平分线的定义可知角平分线分成的两个角都等于其大角的一半，分别求出角和角，两者之差即为角的度数；
的计算方法与一样；
通过前三问求出的角的度数可发现其都等于角度数的一半；
模仿线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，也在已知条件中设计两条线段的长，设计两个中点，求中点间的线段长．
23.【答案】解：，
设，则．
．
，点是的中点，
，，．
．
．
当时，
，
，
，
．
，
设，则 ．
，
，
．
，
，
解得：．
．

【解析】本题主要考查线段和角的和差倍分关系，涉及中点、整式的化简求值以及一元一次方程的应用．
设，则，结合，点是的中点，得出，再化简多项式并求值可得，得出，从而根据线段的和差得出答案．
设，则，，，然后根据题意列出关于的一元一次方程，解出，进而根据角的和差关系即可求出答案．
24.【答案】解：
设，
因为，．
所以，，
所以，
因为为的中点，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以．
【解析】本题考查线段的和差，中点的定义，运用了方程的思想．根据题意得到等量关系是解题的关键．，
设，可得，，，根据中点的定义得到，，再根据，所以可得到关于的方程，求解即可．
25.【答案】【小题】
当时，；当时，；当时，，所以方程的所有“好解”为
【小题】
有．
，得，则．
，得，则．
，，为非负整数，
当时，，；当时，，；
当时，，；当时，，，
关于，，的方程组的“好解”为

【解析】 见答案
见答案
第1页，共1页