中考备考攻坚课程第十讲：压轴题难点突破6：与几何变换相关的探究题 课件

(共26张PPT)
深圳市桂园中学
罗国浩
中考压轴题难点突破6
与几何变换相关的探究题
学习目标
1.知识目标：会识别几何变换图形，并能运用平移、翻折、旋转变换解决一些有关图形变换的问题； 灵活运用旋转等解决有关综合题.
2.过程性目标：使学生经历对平移、翻折、旋转图形的分析、画图等过程，多角度地感受几何图形的变换，让学生通过问题串的探究，培养学生探究、分析解决问题的能力.
3.情感目标：通过独立思考、合作学习，建立学生学习数学的自信，在问题研究过程，培养学生合作交流意识和探究新知的创新能力。
教学内容
基本几
何变换
旋转变换
平移变换
翻折变换
平移、翻折与旋转是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、翻折与旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．
教学过程
模块一：平移变换
模块二：翻折变换
模块三：旋转变换
例题精讲：
例1、例2
练习一
例题精讲：
例3、例4
练习二
例题精讲：
例5、例6
练习三
模块一：例题精讲
例1：
如图1，在正方形中ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AD上的点，GE⊥BF于点O，那么GE＝BF．
证明过程如下：
∵GE⊥BF于点O，∴∠GOB＝90°
过点A作AH∥GE交BC于点H，交BF于点M．
∴∠AMB＝∠GOB＝90°，
∴∠ABM +∠BAM＝90°
∵四边形ABCD为正方形，
∴AG∥HE，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABM +∠FBC＝∠ABC＝90°，∴∠BAM＝∠FBC
∴△ABH ≌△BCF（依据1），
∴AH＝BF
∵AH∥GE，AG∥HE，
∴四边形AHEG为平行四边形（依据2），
∴AH＝GE，∴GE＝BF．
【阅读理解】填空：上述阅读材料中“依据1”是 　　，“依据2”是 　　．
【迁移尝试】如图2，在5×6的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点M．则∠AMC的度数为 　　；
【拓展应用】如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．求∠DMC 的度数．
平移变换
模块一：例题精讲
例2：
数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形ABCD 中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，他发现AF与DE之间的数量关系
是　 　．
若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．
（1）请你按照小明的思路，完成解题过程；
（2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程．
平移变换
练习一：
1.我们知道，二次函数 的图象进行向右或向左平移一次，再向上或向下平移一次可以得到
的图象．实际上，我们学过的反比例函数同样可以找到平移规律．
（1）请直接写出函数 向右平移3个单位，再向上平移1个单位的函数解析式 .
（2）现在探究反比例函数的平移．
探究一：把反比例函数 的图象向右平移3个单位，请你至少在图象上取4个不同的点，分别找出平移后的点，通过对这些点的观察、探究、猜想，写出平移后的函数解析式．（写出求解过程）
（3）探究二：一般地，函数 的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的平移变换得到？
平移变换
练习一：
2.如图1，直线AB与直线OC交于点O，∠BOC＝α°（0°＜α°＜90°）．小明将一个含30°，60°的直角三角板PQD如图1所示放置，使顶点P落在直线AB上，过点Q作直线MN∥AB交直线OC于点H（点H在Q左侧）．
（1）若PD∥OC，∠NQD＝45°，求α的度数．
（2）如图2，若∠PQH的角平分线交直线AB于点E．
①当QE∥OC，α＝60°时，求证：OC∥PD．
②小明将三角板保持PD∥OC并向左平移，运动过程中，探究∠PEQ与α之间的数量关系，并说明理由．
平移变换
练习一：
3.如果一个矩形有两个顶点在某抛物线上，那么称该矩形是该抛物线的“半接矩形”．矩形ABCD在第一象限，点B（m，n）在抛物线y＝x2+bx+c（记为抛物线T）上．
（1）矩形ABCD是正方形，A（1，3），m＝1，b＝﹣3，c＝4，直接写出点C，D的坐标，并证明；矩形ABCD是抛物线T的“半接矩形”；
（2）A（m，n+1），点C在AB边的右侧，BC＝3，矩形ABCD是抛物线T的“半接矩形”，若矩形ABCD的一条对称轴是 ，将该矩形平移，使得平移后的矩形A1B1C1D1仍是抛物线T的“半接矩形”，请探究矩形ABCD如何平移．
平移变换
练习一：
4.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，沿直线AC平移抛物线y＝﹣ x2+bx+c，使得A、C两点的对应点E、F始终在直线AC上．
①设在平移过程中抛物线与y轴交于点M，求点M纵坐标的最大值；
②试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E，使得以A、E、B为顶点的三角形与△ABF相似．若存在，请直接写出此时点E的坐标；若不存在，请简要说明理由．
平移变换
模块二：例题精讲
例3：
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点P是边AD上的一个动点．
【操作判断】
（1）如图1，甲同学先将矩形ABCD对折，使得AD与BC重合，展开得到折痕EF．将矩形ABCD沿BP折叠，使A恰好落在EF上的M处，则线段AM与线段PB的位置关系为 　 　；∠MBC的度数为 　 　；
【迁移探究】
（2）如图2，乙同学将矩形ABCD沿BP折叠，使A恰好落在矩形ABCD的对角线上，求此时AP的长；
【综合应用】
（3）如图3，点Q在边AB上运动，且始终满足PQ∥BD，以PQ为折叠，将△APQ翻折，求折叠后△APQ与△ABD重叠部分面积的最大值，并求出此时AP的长．
翻折变换
模块二：例题精讲
例4：
（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
翻折变换
练习二：
1.一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．
（1）第一小组的同学发现，在如图1﹣1的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程 ．
（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图2﹣1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图2﹣2），这样能得到∠B′GC的大小，你知道∠B′GC的大小是多少吗？请写出求解过程．
（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3﹣1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图3﹣2．已知AH＝AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于 ，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．
（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题：
如图4﹣1，已知AA′＝BB′＝CC′＝2，∠AOB′＝∠BOC′＝∠COA′＝60°，请利用图形变换探究S△AOB′+S△BOC′+S△COA′与 的大小关系．
翻折变换
练习二：
2.某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），
使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE＝　 　cm，EF＝　 　cm；
乙：△FDM的周长为16cm；
丙：EG＝BF．
你的任务：
（1）填充甲同学所得结果中的数据；
（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；
（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG＝BF，再求出S
（S为四边形AEGD的面积）与x（AF＝x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？
翻折变换
练习二：
3.在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．
（1）【观察发现】A′D与B′E是什么位置关系？
（2）【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与∠B′CE 是否相等，并说明理由；
（3）如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
（4）【综合运用】如图（3），当∠B＝60° 时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C，EG，DG之间的数量关系，并说明理由．
翻折变换
练习二：
4.纸飞机对于每一个孩子而言，都应该是一样不会缺少的童年玩具．随着年龄的增长，学习的知识逐渐增多，大家对纸飞机的探究也在继续．
（1）如图甲，“长跑冠军”纸飞机是用正方形ABCD纸张折叠而成，E、F分别是AB、CD的中点．小明在探究“长跑冠军”飞机时，发现飞机重心落在正方形ABCD的中心点O（即对角线的交点），他想将重心调整到线段的黄金分割点（靠近点E）处，以观察重心的改变对飞机飞行情况的影响，请你用尺规作图的方法，帮他找到线段EF的黄金分割点X（靠近点E）（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）如图乙是“英雄号”纸飞机的部分折叠步骤，小明在探究过程中，取矩形纸张MNPQ，MQ＝30cm，点O是对角线的交点，E、F为MN、QP的中点．第一步：将点N与点O重合，折痕交NP于点H，交EF于点R；第二步，将点M与点O重合，折痕经过R点，交MQ于点G；第三步，将G、H点分别与点O重合，折痕交RG、RH、MQ、NP于S、T、L、K四点，S、T、R三点不重合；第四步，……
①小明在折叠时，认为∠GRH+∠OHP＝180°，他说的对吗？请结合图四说明理由；
②若矩形纸张的宽为20cm，此时 的值是多少？请你直接写出答案；
③小明在折叠第三步时，发现点L与点Q重合、点K与点P重合，此时 的值是多少呢？请你直接写出答案（结果保留根号）．
翻折变换
模块三：例题精讲
例5：问题提出：如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A′C与AB交于点D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP为正三角形，有PB＝P'P．
故 ．因此，当A'、P'、P、C共线时，PA+PB+PC有最小值是 ．
学以致用：
（1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是 ．
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°， ，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求 的最小值．
（3）如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，求PA+PD+PQ的最小值．
旋转变换
模块三：例题精讲
例6：
【教材呈现】如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，它们的斜边长为2．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE＝m，CD＝n．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求m n的值；
（3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么m n的值是否发生了变化？为什么？
旋转变换
练习三：
1.（例6变式1）【教材呈现】如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE＝m，CD＝n．
（1）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（2）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD＝CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2＝DE2；
（3）在旋转过程中，（2）中的等量关系BD2+CE2＝DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
旋转变换
练习三：
2.（例6变式2）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF，AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论BE CD＝AB2是否成立 　 　（填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形ABCD中，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与BD，BC交于点E，F，且满足∠EAF＝∠ADB，求证：△ADE∽△ACF；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形ABCD的边长为12cm，∠BAD＝120°，∠EAF的两边分别与BD，BC相交于点E，F，且满足∠EAF＝∠ADB，若BF＝9cm，求线段DE的长.
旋转变换
练习三：
3.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且 ，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．
旋转变换
练习三：
4.综合与实践
问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 　 　；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 　 　；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 　 　；
类比探究：（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用：（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．
旋转变换
课堂回顾
基本几
何变换
旋转变换
平移变换
翻折变换
平移、翻折与旋转是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、翻折与旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．
总结提升
平移是图形变换中最简单的变换，平移它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而
把分散的条件集中到一起，使问题得以解决．平移包括以下三个方面的应用：
一、分散的条件集中；二、复杂图形变得简单明了；三、转化题目的形式．
探究翻折变换，折叠（折）问题是几何变换问题中的常见问题，它体现了平面几何图形变换中基本数量关系和几何关系，是考查几何知识的常见类型．
旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．
题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活
转化．
总结提升
近几年，中考数学试题的压轴题中常出现图形变换（动态）问题.这类问题，涉及的知识面广， 综合性强，解答时有一定的难度，需要同学们有一定的数学方式的理性思维，能进行数学思考.本节课中，同学们始终围绕图形变换的本质去审题、思考、分析问题；要重视几何变换探究题，并要合理运用图形的变换思想，又要重视对几何变换思维的训练。只要大家能动手操作、能独立思考、能合作交流、能及时反思，解决数学的问题能力自然就会提高。
感谢您的观看与参与！