中考备考攻坚课程第六讲：压轴题难点突破2：函数图像与性质应用探究题 教学设计

第六讲 中考压轴题难点突破2
《函数图象与性质应用探究题》教学设计
- 崔景晓
一、知识梳理
纵观近两年各地区中考试卷，关于函数问题的考查已逐步回归到考察函数的基本性质和特征上来。根据新课标的要求，函数基本性质的重点在于对称性、增减性及最值；试题的热点多围绕一次函数与一次方程组、一次不等式（组）或二次函数与二次方程、二次不等式之间的一般与特殊的关系，适当的向周围延展来设问题。
重点考察学生的几何直观想象能力、数学运算能力、逻辑推理能力及数学化归思想、数形结合思想、数学分类讨论思想的运用，对学生综合分析问题的能力要求较高。由于这类题目信息量大且隐晦，学生往往读题时畏难情绪严重，而且考试时心里紧张，时间紧，不能读出或读全有效信息，造成思维障碍。所以在这类专题的教学中，注意引导学生学会读题，有耐心，关键字眼要圈出。特别注意要能够熟练画出函数图象，从“数”和“形”的角度来解决问题。
二、教学过程
模块一：函数图象及性质应用（1）
模块一：典例精讲
例题1．在﹣4、﹣2，1、2四个数中、随机取两个数分别作为函数y＝ax2+bx+1中a，b的值，请列表或画树状图求该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，根据二次函数的性质，找出满足a＞0，b＜0的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，满足a＞0，b＜0的结果数为4，但a＝1，
b＝﹣2时，Δ＝0；a＝2，b＝﹣2时，Δ＜0，抛物线不过第四象限，所以满足该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的结果数为2，
所以该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率．
例题2．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数的图象相交于点A（1，m）、B（﹣2，n）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b的解集；
（3）方程在﹣3≤x≤1范围内只有一个解，求n的取值范围；
（4）把二次函数的图象左右平移得到抛物线G：，直接写出当抛物线G与线段AB只有一个交点时m的取值范围．
（5）把二次函数的图象的x轴下方部分沿着x轴翻折到x轴上方，得到新的函数图象L，则函数图象L的解析式为 ；
（6）将直线AB沿y轴平移n（n≥0）个单位长度后与函数图象L恰好有3个交点，求此时n的值．
（7）把二次函数的图象绕原点O旋转180°得到抛物线L′则其解析式为 ，P为抛物线L′对称轴上一动点，当PA＋PB的值最小时，P点坐标为　　　　　　　　　　。
【分析】（1）根据二次函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；
（3）求得x＝﹣3时的函数值，结合A、B的坐标，根据函数图象即可求得n的取值；
（4）分三种情况求出m的值，再结合图象求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y（x+2）2﹣2的图象过点A（1，m），B（﹣2，n），
∴m（1+2）2﹣2，
n（﹣2+2）2﹣2＝﹣2；
∴A（1，），B（﹣2，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为yx+1，
描点作图如下：
（2）由（1）中的图象可得，
不等式kx+b（x+2）2﹣2的解集为：
x＜﹣2或x＞1；
（3）把x＝﹣3代入y（x+2）2﹣2得y
∵A（1，），B（﹣2，﹣2），
由图象可知，当﹣3≤x≤1时，直线y（x+2）2﹣2与直线y＝n只有一个交点，则n的取值范围是n或n＝﹣2；
（4）①当过点A时，
即（1﹣m）2﹣2，解得m＝4或m＝﹣2，
当m＝﹣2时，抛物线与元二次函数重合，与线段AB有两个交点A，B，故舍去，
∴m＝4；
②当过点B时，即（﹣2﹣m）2﹣2＝﹣2，
解得m1＝m2＝﹣2（舍去）；
③当与直线AB只有一个交点时，
令x+1，
整理得：x2﹣（2m+3）+m2﹣6＝0，
则Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4（m2﹣6）＝4m2+12m+9﹣4m2+24＝12m+33＝0，
解得：m，
综上，m或﹣2＜m≤4．
（5）、（6）、（7）略
模块一：跟进练习
1．函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①2a+b＝0； ②c＝3； ③abc＞0； ④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．
A．①② B．①③
C．②③④ D．①③④
2．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y，也可以写成y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数y＝x2﹣2x+2关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．
（3）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），关于直线x＝0的“镜面函数”图象上的两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围 　 　．
3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为 　　．
（2）求此二次函数的关系式．
（3）当﹣2≤x≤3时，求二次函数y＝ax2+bx+2的最大值和最小值．
（4）点P为二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m﹣4．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）的图象只有1个公共点时，m的取值范围．
4．如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成．矩形OABC的边米，OC＝9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON＝7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F．
①求EF的最大值．
②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围．
模块二：函数图象及性质应用（2）
模块二：典例精讲
例题3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．
（1）当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；
（2）若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）．y1＞y2．利用图象法，根据函数的增减性判断即可．
（2）通过计算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴于点P，Q的相对位置：分三种情形：如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），分别求解即可．
【解答】解：（1）y1＞y2．
理由：当m＝0时，二次函数解析式是y＝x2，对称轴为y轴；
所以图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小；
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
（2）通过计算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴于点P，Q的相对位置：
如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），
经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，y1＝y2，不符题意；
如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），
点M，N分别和点P，Q重合，y1＝y2，不符题意；
如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），
经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，y1＞y2，符合题意．
此时有m﹣2＜0＜m+2，即﹣2＜m＜2．
综上所述，m的取值范围为﹣2＜m＜2．
例题4．已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在x1的图象的最高点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）①设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，将点（0，﹣3）代入可得am2+7﹣m＝﹣3，再由a0，求m的取值即可；
②由题意求出Q点的横坐标为m，联立方程组，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，根据根与系数的关系可得m+m2m，可求a＝﹣2，从而可求m＝2或m，确定抛物线的解析式后即可求解．
【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，
∴，解得，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵点P（m，n）在直线l上， ∴n＝﹣m+7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵抛物线经过点（0，﹣3），∴am2+7﹣m＝﹣3，∴a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，∴a0，∴m＜10且m≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴Q点与Q'关于x＝m对称，∴Q点的横坐标为m，
联立方程组，
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，
∴m+m2m，∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得m＝2或m，
当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此时抛物线的对称轴为直线x＝2，
图象在x上的最高点坐标为（2，5）；
当m时，y＝﹣2（x）2，
此时抛物线的对称轴为直线x，
图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；
综上所述：G在x1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．
模块二：跟进练习
1．已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，求a的取值范围是。
2．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
3．平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求点E的坐标：
（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．
4．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点（1，1），，），……都是和谐点．
（1）判断函数的图象上 　　（填“是”或“否”）存在和谐点；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．
①求a、c的值；
②若1≤x≤m时，函数的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
模块三：函数图象及性质应用（3）
模块三：典例精讲
例题5．【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE　 　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q，记lpq．
①当m＝1，n＝2时，l＝　 　；当m＝3，n＝3时，l＝　 　；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 　 　．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【分析】（1）①利用相似三角形的性质求出CD，利用直角三角形斜边中线的性质求出EC．
②根据垂线段最短，可得结论．
（2）①根据m，n的值代入计算即可．
②如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），根据反比例函数k的几何意义，求解即可．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△CDB，∴，
∴CD2＝AD DB，
∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，∴CD，
∵∠ACB＝90°，AE＝EB，∴ECAB（a+b），
②∵CD⊥AB，
∴根据垂线段最短可知，CD＜CE，即（a+b），
∴a+b＞2，故答案为：＞．
（2）①当m＝1，n＝2时，l；当m＝3，n＝3时，l＝1，故答案为：，1．
②猜想：l的最小值为1．故答案为：1．
理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），
∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，
∴矩形JCOG的面积＞1，
当m＝n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积＝1，
∴矩形JCOG的面积≥1，
∴ 1，即l≥1，
∴l的最小值为1．
例题6．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 　 　；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．
图1
【深入感悟】
如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．
图2
【分析】【初步感知】（1）根据旋转的旋转即可得出答案；
（2）运用待定系数法即可求出答案；
【深入感悟】设双曲线与二、四象限平分线交于N点，通过联立方程组求出点N的坐标，再分两种情况：①当x≤﹣1时，作PQ⊥x轴于Q，证明△PQA≌△P′MA（AAS），再运用三角形面积公式即可求出答案；②当﹣1＜x＜0时，作PH⊥y轴于点H，同理可得到答案；
【解答】解：【初步感知】
（1）如图1，∵P1（﹣1，1），A（1，1），∴P1A∥x轴，P1A＝2，由旋转可得：P1′A∥y轴，P1′A＝2，
∴P1′（1，3）；故答案为：（1，3）；
（2）∵P2′（2，1），由题意得P2（1，2），
∵P1（﹣1，1），P2（1，2）在原一次函数图象上，
∴设原一次函数解析式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴原一次函数解析式为yx；
【深入感悟】
设双曲线与二、四象限角平分线交于N点，则：
，解得：，∴N（﹣1，1）．
①当x≤﹣1时，
过点P作PQ⊥x轴于Q，连接AP，过点P′作P′M⊥AN于点M，如图2，
∵∠QAM＝∠POP′＝45°，∴∠PAQ＝∠P′AN，
∵P′M⊥AM，∴∠P′MA＝∠PQA＝90°，
∴在△PQA和△P′MA中，
，∴△PQA≌△P′MA（AAS），
∴S△P′MA＝S△PQA，即S△OMP′．
②当﹣1＜x＜0时，
过点P作PH⊥y轴于点H，过点P′作P′M⊥AN于点M，如图3，
∵∠POP′＝NOH＝45°，∴∠PON＝∠P′OH，
∴∠MP′O＝90°﹣∠MOH﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∵∠POH＝∠POP′﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∴∠POH＝∠MP′O，
在△POH和△OP′M中，，
∴△POH≌△OP′M（AAS），∴S△P′MO＝S△PHO，
综上所述，△OMP′的面积为．
模块三：跟进练习
1．已知二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t，将其图象在直线x＝1左侧部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G．在图形G上任取一点M，点M的纵坐标y的取值满足y≥m或y＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s的取值范围。
2．在“疫情”期间，某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：数据如表．
时间x（分钟） 0 1 2 3 … 8 x＞8
累计人数y（人） 0 150 280 390 … 640 640
（1）求a，b，c的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；
（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
3．已知抛物线y＝ax2+2ax+a﹣4的顶点为点P，与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C
（1）直接写出点P的坐标为；
（2）如图，若A、B两点在原点的两侧，且OA＝3OB，四边形MNEF为正方形，其中顶点E、F在x轴上，M、N位于抛物线上，求点E的坐标；
（3）若线段AB＝2，点Q为反比例函数y与抛物线y＝ax2+2ax+a﹣4在第一象限内的交点，设Q的横坐标为m，当1＜m＜3时，求k的取值范围．