中考备考攻坚课程第七讲：压轴题难点突破3：隐圆问题 教学设计

《压轴题难点突破3——隐圆问题》教学设计
深圳市桂园中学 刘清丽
知识技能梳理
圆是初中数学中一种简单但又非常重要的几何图形，中考题和中考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，难度为中、高档题。这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化，发现圆，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”。隐形圆常见的有以下几种形式，一是定点定长，轨迹是圆；二是定弦定角，点在圆上；三是四点共圆判定隐形圆。
题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等。隐圆题目的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。只要能看出圆，答案立马呈现。
学习过程
模块一：定点定长模型（利用圆的定义，找定点、寻定长，得到圆）
例1. 如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2的线段QF的两端放
在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为　 　．
【解答】解：如图，连接BM．
当点Q与A重合时，在Rt△ABF中，
∵cos∠BAF＝＝＝，
∴∠BAF＝30°，
∵AM＝MF，
∴BM＝AM＝MF＝，
∴∠ABM＝∠BAM＝30°，
当F1与C重合时，同法可得∠M1BC＝∠M1CB＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠MBM1＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∵BM＝BM1＝，
∴线段QF的中点M所经过的路线长＝＝π，
例2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F
是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，
连接B′D，则B′D的最小值是　 　．
【解答】解：如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，此时B′D的值最小，
根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，
∴EB′＝EB，
∵E是AB边的中点，AB＝4，
∴AE＝EB′＝2，
∵AD＝6，
∴DE＝＝2，
∴B′D＝2﹣2．
练习一：
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝，当∠B最大时，BC的长是　 　．
【解答】解：根据题意得点C的运动轨迹可以看成是以点A为圆心，以AC=长度为半径的圆，由图可知，当AC⊥BC时（即BC与⊙A相切时，∠B 最大）
此时BC＝＝＝．
故答案是：．
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2．设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是 　．
【解答】解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，
AC＝2，OA＝3，由勾股定理得：OC＝，
∵∠BOA＝∠ACO＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠CAO+∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠OAC，
tan∠BOC＝tan∠OAC＝＝，
随着C的移动，∠BOC越来越大，
∵C在第一象限，
∴C不到x轴点，
即∠BOC＜90°，
∴tan∠BOC≥，
故答案为：m≥．
3．在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD
＝2，则BD长为多少　 ．
【解答】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．
∵AB＝AC＝AD＝2，
∴D，C在圆A上，
∵DC∥AB，
∴弧DF＝弧BC，
∴DF＝CB＝1，BF＝AB+AF＝2AB＝4，
∵FB是⊙A的直径，
∴∠FDB＝90°，
∴BD＝＝
故答案为：．
4．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，点E在边AB上，且BE＝2，点F为边BC上的动点，将△BEF沿直线EF翻折，点B落在点G处，连接GA，GC，则四边形GADC面积的最小值
是　 ．
【解答】解：当点F与点C重合时，点G的临界点落
在处，如图①所示，点G在以E为圆心EG为半径
的圆弧上运动．
连接AC，当EG⊥AC时，△AGC面积最小，则四边形
GADC面积最小．
如图②，过点E作EH⊥AC于点H，
∵∠BAC＝∠BAC，∠B＝∠AHE，
∴△AEH∽△ACB，
则，
∴3.2
∴=1.2
∴
因此，四边形GADC面积的最小值是30．
5．在等边△ABC的外侧作直线AM，若点B关于直线AM的对称点为D，连接BD、CD，直线AM与线段CD所在直线交于点E
（1）依题意，在图1中完成作图，并求出∠BDC的度数；
（2）如果直线AM的位置如图2所示，求∠BEC的度数；
（3）当直线AM与线段AB的夹角发生改变时，若DE＝EC，请直接写出线段DC与线段BC之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图1中，连接AD．
∵B，D关于直线AM对称，
∴AD＝AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
以A为圆心AB为半径画圆，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BDC＝30°．
（2）如图2中，连接AD，以A为圆心，AB为半径作圆，
在优弧BC上取一点N，连接BN，CN．
∵∠N＝∠BAC＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°，
∴∠BDE＝180°﹣150°＝30°，
∵BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB＝30°，
∴∠BEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
（3）①当直线AM在△ABC的外侧时，CD＝BC．
理由：如图3﹣1中，在EC上取一点K，使得EK＝EB，连接BK．
∵DE＝EB＝EC，BE＝EK，
∴EK＝KC，
∵∠BEC＝∠D+∠EBD＝60°，
∴△EBK是等边三角形，
∴∠EKB＝60°，
∵KB＝KC，
∴∠KBC＝∠KCB，
∵∠EKB＝∠KBC+∠KCB＝60°，
∴∠KBC＝∠KCB＝30°，∵∠D＝30°，
∴∠D＝∠KCB，
∴BD＝BC，
作BH⊥CD于H，则DH＝CH＝BC cos30°＝BC，
∴DC＝2DH＝BC．
②如图3﹣2中，当直线AM与线段BC相交时，BC＝CD．
理由：作BK⊥CE交CE的延长线于K．
设CD＝DE＝BE＝m，
∵∠BEC＝120°，
∴∠BEK＝60°，
∴EK＝BE＝m，BK＝m，
∴BC＝＝＝m．
∴BC＝CD．
6．问题背景：如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．
[问题初探]请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝　 　，AC＝　 　．
[问题再探]如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．
[问题解决]求△ABC的面积的最大值．
【解答】解：[问题初探]设AC＝x，则AB＝2x，
∵BC＝4，
∴2x﹣x＜4且2x+x＞4，
解得：＜x＜4，
取x＝3，则AC＝3，AB＝6，
取x＝2，则AC＝2，AB＝4，
故答案为：6，3（或4，2）
[问题再探]∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠D，
∴△DAC∽△DBA，
则＝＝，
设CD＝a，AD＝b，
∴，
解得：，
即CD＝；
[问题解决]由（2）可知， ，则点A在以点为圆心，以AD的长度为半径的圆弧上运动．
过A作AH⊥BD于H，在Rt△ADH中，AH≤AD＝DH
当AH与AD重合时，AH取最大值为，
此时△ABC的面积取最大值，
所以当AH⊥BD时，S△ABC取得最大值．
模块二：定边对定角模型（若弦的长度固定，它所对的圆周角都相等，则圆周角顶点的轨迹为圆）
例3. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点D为线段
AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，连接AH，则AH的最
小值为 　 　．
【解答】解：由题意得，∠CHB＝90°,BC=8
∴点H在如图的圆弧上运动，圆心为线段BC的中点M,
连接AM，交圆弧于点H，此时AH的长度最小
∵点M是BC中点
∴CM＝BC＝4，
在Rt△ACG中，AM＝＝4
此时，AH最小值为4﹣4，
故答案为：4﹣4．
例4：在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为　 ．
【解答】解：设线段BA的中点为E，
∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．
①如图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA＝∠BPA＝45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1，
在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝，由勾股定理得：
CF＝＝7，
∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，
∴点C坐标为（0，12）；
②如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样
操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．
综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．
练习二：
7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，点P是正方形ABCD内一点，连接AC，AP，PC，若，则面积的大值为 　 　．
【解答】解：在菱形ABCD中，,
∴三角形ADC为等边三角形
∴
∵
∴
∴
又∵
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧，如图，
过点O作OM⊥AC于点M，交圆弧AC于点N,
根据圆周角定理可得∠AOC＝120°，∠OAM＝30°，
在Rt△OMA中，AM＝1，
∴，，
∴
当点P与N重合时，△PAC的面积最大，
此时，最大值＝
8．直线y＝x+4分别与x轴、y轴交于点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形OABC绕着点O旋转一周，点P的位置也发生变化，则点P到点（0，2）距离的最小值为　 　．
【解答】解：在△MOC和△NOA中，，
∴△MOC≌△NOA，
∴∠CMO＝∠ANO，
∵∠CMO+∠MCO＝90°，∠MCO＝∠NCP，
∴∠NCP+∠CNP＝90°，
∴∠MPN＝90°
∴MP⊥NP，
在正方形旋转的过程中，同理可证，∴∠CMO＝∠ANO，可得∠MPN＝90°，MP⊥NP，
∴P在以MN为直径的圆上，
∵M（﹣4，0），N（0，4），
∴圆心G为（﹣2，2），半径为2，
∵PG﹣GC≤PC，
∴当圆心G，点P，C（0，2）三点共线时，PC最小，
∵GN＝GM，CN＝CO＝2，
∴GC＝OM＝2，
这个最小值为GP﹣GC＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
9．如图，在边长为2的等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC
上两个动点，且满足AE＝CD，连接BE、AD相交于点P，则线段
CP的最小值为　 　．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵AE＝CD
∴BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠APE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠APE＝60°，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧，如图，
连接OC交⊙O于N，则OC⊥AB，
根据圆周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF＝＝，
∴OA＝＝2，
∴OC＝2OA＝4，
当点P与N重合时，CP的值最小，
最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，
故答案为：2．
10．如图，以正方形ABCD的一边BC为边向四边形内作等腰△BCE，BE＝BC，过E作EH⊥BC于点H，点P是Rt△BEH的内心，连接AP，若AB＝2，则AP的最小值为 　 ．
【解答】解：连接PE、PC、PB．
∵P是△EHB的内心，∠EHB＝90°，
∴∠EPB＝180°﹣（∠HEB+∠HBE）＝135°，
∵BC＝BE，∠PBC＝∠PBE，PB＝PB，
∴△PBC≌△PBE（SAS），
∴∠BPC＝∠BPE＝135°（定角），
∴点P的运动轨迹是圆弧，以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCO，连接OP、OA．
则以点O为圆心，OB为半径的⊙O是点P的轨迹，
∵AP≤AO﹣OP，
∴当O、P、A共线时，PA的值最小，
作OM⊥AB于M．易知OB＝，OF＝BF＝1，OA＝＝，
∴PA的最小值为﹣，
故答案为：﹣，
11．如图1，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD DC等于　 ．
【解答】解：因为PA＝PB，可以将A,B看作以点P为圆心的圆上的两点，∠APB为弧AB所对的圆心角，
∵∠APB＝2∠ACB
所以∠C可以看作是弧AB所对的圆周角，即点C也在圆P上
∴∠E＝∠C，
而∠ADE＝∠CDB，
∴△ADE∽△BDC，
∴＝，
∴AD CD＝BD ED＝（4+3） （4﹣3）＝7．
12．如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB＝30°的点有 　 　个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大值的理由；若没有，也请说明理由．
【解答】解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，
以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．
在优弧AP1B上任取一点P，如图1，
则∠APB＝∠ACB＝×60°＝30°．
∴使∠APB＝30°的点P有无数个．
故答案为：无数；
（2）①当点P在y轴的正半轴上时，
过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），
∴OA＝1，OB＝5．
∴AB＝4．
∵点C为圆心，CG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝2．
∴OG＝OA+AG＝3．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝4．
∴CG＝＝＝2，
∴点C的坐标为（3，2），
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，
∵点C的坐标为（3，2），
∴CD＝3，OD＝2，
∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，
∴∠AP1B＝∠AP2B＝30°，
∵CP2＝CA＝4，CD＝3，
∴DP2＝＝．
∵点C为圆心，CD⊥P1P2，
∴P1D＝P2D＝．
∴P2（0，2﹣），P1（0，2+），
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：P3（0，﹣2﹣），P4（0，﹣2+）．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．
（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．
理由：可证：∠APB＝∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH＝得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．
①当点P在y轴的正半轴上时，
连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．
∵⊙E与y轴相切于点P，
∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，
∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°．
∴四边形OPEH是矩形．
∴OP＝EH，PE＝OH＝3．
∴EA＝3．
∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，
∴EH＝＝＝，
∴OP＝，
P（0，），
当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：P（0，﹣），
理由：①若点P在y轴的正半轴上，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．
∵∠ANB是△AMN的外角，
∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB＝∠ANB，
∴∠APB＞∠AMB．
②若点P在y轴的负半轴上，
同理可证得：∠APB＞∠AMB．
综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，
此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．
模块三：四点共圆模型（四边形对角互补；或两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，则四点共圆）
例5. 如图，等边△ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为 　 　．
【解答】解：如图，连接PC，取CP的中点O，连接OE，
OD，过点O作OH⊥DE于H．
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝6，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PEC＝∠PDC＝90°，
∵OP＝OC，
∴OE＝OP＝OC＝OD，
∴C，D，P，E四点共圆，
∴∠EOD＝2∠ECD＝120°，
∴当OE的值最小时，DE的值最小，
根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，PC＝3，此时OE的值最小，OE＝，
∵OE＝OD，OH⊥DE，
∴DH＝EH，∠DOH＝∠EOH＝60°，
∴DH＝EH＝×＝，
∴DE＝2DH＝，
∴DE的最小值为．
例6. 如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ADB＝∠ACB＝90°，连接CD，若∠CAB＝35°，求∠CDB的度数．
【解答】解：∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠CDB＝∠CAB，
∵∠CAB＝35°，
∴∠CDB＝35°．
练习三：
13．如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值 　．
【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC，
∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∴A，B，C，D，四点共圆，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°，
∵DM＝DC，
∴△DMC是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ACD＝60°，
∴∠ADM＝∠BDC，
∵AD＝BD，
∴△ADM≌△BDC（SAS），
∴AM＝BC，
∴AC＝AM+MC＝BC+CD，
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，
且AD＝AB＝6，
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，
此时C点在的中点处，
∴∠CAB＝30°，
∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4，
∴CB+CD最大值为AC＝4，
14．如图，已知在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC＝3，AD＝DE＝2．
（1）如图①，当点D，E分别在边AB，AC上时，求的值；
（2）如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接CE，BD，猜想CE与BD的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在△ADE旋转的过程中，设CE与BD所在的直线交于点P，求△CBP面积的最大值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC＝3，AD＝DE＝2，
∴BD＝AB﹣AD＝3﹣2＝1，AE＝，AC＝，
∴CE＝AC﹣AE＝，
∴＝；
（2）CE＝BD，理由：
由题可得，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AB，AE＝AD，
∴∠BAD＝∠CAE，＝，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝，
∴CE＝BD；
（3）如图所示，过P作PH⊥BC于H，作△CPB的外接圆⊙O，过O作OM⊥BC于M，连接OB，OP，
由（2）可知，△CAE∽△BAD，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠BPC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BPC＝90°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴OM＝BC＝，OC＝＝OP，
∵PH≤OP+OM，
∴当M，O，P三点共线时，PH取得最大值，且最大值＝OM+OP＝．
∴PH的最大值＝．
∴△BCP的面积的最大值＝PH的最大值＝＝．
15．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，取AC的中点E，△ABC绕E点旋转任意角度得到△GMN，直线BN，GC相交于点H，△GMN绕点E旋转的过程中，线段AH的最大值是　 　．
【解答】解：如图：连接EN，EB，MB，CN，MC
∵△ABC是等边三角形，E是AC中点
∴AE＝CE＝2，BE⊥AC即∠BEC＝90°
∵AB＝4
∴BE＝2
∵旋转
∴BC＝MN＝4，GE＝EM＝2且△GMN是等边三角形
∴EN⊥GM即∠NEC＝90°
∴∠CEN＝∠BEM，且EM＝EC，BE＝EN
∴△EBM≌△ECN
∴BM＝CN
∵BM＝CN，BN＝BN，BC＝MN
∴△MNB≌△BCN
∴∠BNM＝∠CBN
∵BM＝CN，且MN＝BC，MC＝MC
∴△MCB≌△MCN
∴∠MCB＝∠CMN
∵∠BNM+∠CBN＝∠MCB+∠CMN
∴∠MCB＝∠CBN
∴MC∥BN
∵ME＝EG＝EC
∴△GCM为直角三角形即∠GCM＝90°
∵MC∥BN
∴∠BHG＝∠GCM＝90°
∴H在以BC为直径的圆上
∴当AH过以BC为直径的圆的圆心时，线段AH长度最大
∴AH最大值为2+2
16．如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B重合，且BD＜CD，连结AD，作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E“四点共圆”；
②若AB＝2，AD AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由．
①证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵点E与点C关于AD的对称，
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∴A，D，B，E四点共圆；
②解：AD AF的值不会发生变化，
理由如下：如图4，连接CF，
∵点E与点C关于AD的对称，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴∠FED＝∠FCD，
∵A，D，B，E四点共圆，
∴∠FED＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠FCD，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAD＝∠FAB，
∴△ABD∽△AFB，
∴＝，
∴AD AF＝AB2＝8．
17．如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形APQR，连接CQ，延长BP与CQ交于点E．
（1）证明：E为线段CQ的中点；
（2）若CP⊥BE，求的值．
【解答】（1）证明：连接AQ、AC、CP、AE，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形APQR，
∴AB＝AP，AC＝AQ，∠BAC＝∠QAP＝45°，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABP＝∠ACQ，
∴∠ABE＝∠ACE，
∴A、B、C、E四点共圆，
∴∠AEC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AEC＝90°，
而AC＝AQ，
∴E为线段CQ的中点；
（2）解：∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∵AB＝AP，AC＝AQ，
∴＝，
∴△PAB∽△QAC，
∴＝＝，
设PB＝m，则QC＝m，
∴EC＝QE＝m，
∵A．B．C．E四点共圆，
∴∠CEP＝∠CAB＝45°，
∵PC⊥BE，
∴PE＝PC＝m，
∴＝＝2．