中考备考攻坚课程第十讲：压轴题难点突破6：与几何变换相关的探究题 教学设计

中考压轴题难点突破6
《与几何变换相关的探究题》教学设计
一、教材分析
1.教材内容:中考压轴题难点突破——几何变换图形探究．
2.教材的地位、特点与作用
运动与变化是数学研究中一种基本方法.平移、翻折（轴对称）、旋转是图形变换的常见三种形式.平移与翻折都是关于直线运动的，而旋转是关于点运动的.因此，旋转是对图形运动的完善与补充.从变换的角度来研究诸如等腰直角三角形、等边三角形、正方形等图形的结构有助于对这些几何图形有更本质的认识.
通过对几何图形变换内容的复习，既培养了学生动手操作的能力，又培养了他们用数学的方法解决有关问题的能力.通过对数与形的有关问题的解决，使得学生数学思维又提升一个层次.
二、学情分析
在学习本节课前，学生已经学了平移、旋转和翻折（轴对称）的相关知识，对于图形的变换已经有所认识.初三的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展.部分学生对平移和轴对称掌握得很好，也对旋转（中心对称）概念和性质的理解以及作旋转（中心对称）的图像掌握较好，但由于相比较平移和轴对称，旋转变换的图形关系打破了图形的均衡与匀称的关系，识别图形之间的关系相对困难， 在本节课的教学中，仍需教师重点的引导和梳理.
三、课程目标
（一）教学目标
1.知识目标：会识别几何变换图形，并能运用平移、轴对称、旋转变换解决一些有关图形变换的问题； 灵活运用旋转等解决有关综合题.
2.过程性目标：使学生经历对平移、轴对称、旋转图形的分析、画图等过程，多角度地感受几何图形的变换，让学生通过问题串的探究，培养学生探究、分析解决问题的能力.
3.情感目标：通过合作学习，建立学生学习数学的自信，在问题研究过程，培养学生合作交流意识和探究新知的创新能力。
（二）教学重点与难点
教学重点：从变换角度观察图形，利用平移、轴对称、旋转性质分析问题，解决有关的综合题。
教学难点：旋转性质的灵活运用，基本几何图形的旋转及识图、作图能力.
四、教法学法分析
教法：《与几何变换相关的探究题》我设计了 2个课时。 主要采用“发展教学模式”，教学程式为：梳理基本知识——观察、分析迁移——构建解决问题方法——问题解决过程——归纳领悟，形成能力.教学各环节中，适时采用多媒体设备展示学生的成果，提高课堂的效率；借助几何画板演示动态的旋转图形，直观、形象地呈现图形的旋转过程，使信息技术与教学内容有机整合，真正为教学服务．
学法：采用讲练+探究模式.这种模式就是大家先做题，然后针对某个主题，发表各自的见解，互相意见碰撞，激发出意想不到的思维成果， 是一种深度学习+探究模式，有效的探究方式，每个活动要求做到：（一）请先独立完成审题、思考、训练；（二）培优班成员交流活动情况，成员尝试解决有疑问的题目，可讨论、交流、合作；（三）将有代表性的问题进行汇总，归纳，最后达到一定的解题能力。
五、课前准备
学生：准备工具袋（圆规、三角板、直尺等），格子图纸，白纸；
教师：导学案、多媒体课件、几何画板动态演示图
六、教学过程设计
（一）、梳理基本知识：
1.生活中的数学图形
2．下列关于△ABC与△A'B'C'的几何变换中，配对正确的是（ ）
Ⅰ．轴对称；Ⅱ．中心对称；Ⅲ．旋转；Ⅳ．平移．
A．①﹣Ⅰ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅳ，⑤-IV
B．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅲ ，⑤-IV
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅳ，⑤-IV
D．①﹣Ⅰ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅲ，⑤-IV
3.概念回顾：
平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．
（二）、模块一：平移变换探究题
平移是图形变换中最简单的变换，平移它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决．平移包括以下三个方面的应用：一、分散的条件集中；二、复杂图形变得简单明了；三、转化题目的形式．以下面例题来说明．
例1：
如图1，在正方形中ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AD上的点，GE⊥BF于点O，那么GE＝BF．
证明过程如下：
∵GE⊥BF于点O，∴∠GOB＝90°
过点A作AH∥GE交BC于点H，交BF于点M．
∴∠AMB＝∠GOB＝90°，
∴∠ABM+∠BAM＝90°
∵四边形ABCD为正方形，
∴AG∥HE，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABM+∠FBC＝∠ABC＝90°，∴∠BAM＝∠FBC
∴△ABH≌△BCF（依据1），
∴AH＝BF
∵AH∥GE，AG∥HE，
∴四边形AHEG为平行四边形（依据2），
∴AH＝GE，∴GE＝BF．
【阅读理解】填空：上述阅读材料中“依据1”是 　　，“依据2”是 　　．
【迁移尝试】如图2，在5×6的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点M．则∠AMC的度数为 　　；
【拓展应用】如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．求∠DMC的度数．
例2：
数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，他发现AF与DE之间的数量关系是 　 　．若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．
（1）请你按照小明的思路，完成解题过程；
（2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程．
练习一：
1.我们知道，二次函数的图象进行向右或向左平移一次，再向上或向下平移一次可以得到的图象．实际上，我们学过的反比例函数同样可以找到平移规律．
（1）请直接写出函数向右平移3个单位，再向上平移1个单位的函数解析式　 　．
（2）现在探究反比例函数的平移．探究一：把反比例函数的图象向右平移3个单位，请你至少在图象上取4个不同的点，分别找出平移后的点，通过对这些点的观察、探究、猜想，写出平移后的函数解析式．（写出求解过程）
（3）探究二：一般地，函数的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的平移变换得到？
2.如图1，直线AB与直线OC交于点O，∠BOC＝α°（0°＜α°＜90°）．小明将一个含30°，60°的直角三角板PQD如图1所示放置，使顶点P落在直线AB上，过点Q作直线MN∥AB交直线OC于点H（点H在Q左侧）．
（1）若PD∥OC，∠NQD＝45°，求α的度数．
（2）如图2，若∠PQH的角平分线交直线AB于点E．
①当QE∥OC，α＝60°时，求证：OC∥PD．
②小明将三角板保持PD∥OC并向左平移，运动过程中，探究∠PEQ与α之间的数量关系，并说明理由．
3.如果一个矩形有两个顶点在某抛物线上，那么称该矩形是该抛物线的“半接矩形”．矩形ABCD在第一象限，点B（m，n）在抛物线y＝x2+bx+c（记为抛物线T）上．
（1）矩形ABCD是正方形，A（1，3），m＝1，b＝﹣3，c＝4，直接写出点C，D的坐标，并证明；矩形ABCD是抛物线T的“半接矩形”；
（2）A（m，n+1），点C在AB边的右侧，BC＝3，矩形ABCD是抛物线T的“半接矩形”，若矩形ABCD的一条对称轴是，将该矩形平移，使得平移后的矩形A1B1C1D1仍是抛物线T的“半接矩形”，请探究矩形ABCD如何平移．
4.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，沿直线AC平移抛物线y＝﹣x2+bx+c，使得A、C两点的对应点E、F始终在直线AC上．
①设在平移过程中抛物线与y轴交于点M，求点M纵坐标的最大值；
②试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E，使得以A、E、B为顶点的三角形与△ABF相似．若存在，请直接写出此时点E的坐标；若不存在，请简要说明理由．
（三）模块二：翻折变换探究题
探究翻折变换，折叠（折）问题是几何变换问题中的常见问题，它体现了平面几何图形变换中基本数量关系和几何关系，是考查几何知识的常见类型．
例3：
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点P是边AD上的一个动点．
【操作判断】
（1）如图1，甲同学先将矩形ABCD对折，使得AD与BC重合，展开得到折痕EF．将矩形ABCD沿BP折叠，使A恰好落在EF上的M处，则线段AM与线段PB的位置关系为 　 　；∠MBC的度数为 　 　；
【迁移探究】
（2）如图2，乙同学将矩形ABCD沿BP折叠，使A恰好落在矩形ABCD的对角线上，求此时AP的长；
【综合应用】
（3）如图3，点Q在边AB上运动，且始终满足PQ∥BD，以PQ为折叠，将△APQ翻折，求折叠后△APQ与△ABD重叠部分面积的最大值，并求出此时AP的长．
例4：
（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
练习二：
1.一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．
（1）第一小组的同学发现，在如图1﹣1的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程 ．
（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图2﹣1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图2﹣2），这样能得到∠B′GC的大小，你知道∠B′GC的大小是多少吗？请写出求解过程．
（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3﹣1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图3﹣2．已知AH＝AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．
（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题：
如图4﹣1，已知AA′＝BB′＝CC′＝2，∠AOB′＝∠BOC′＝∠COA′＝60°，请利用图形变换探究S△AOB′+S△BOC′+S△COA′与的大小关系．
2.某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE＝　 　cm，EF＝　 　cm；
乙：△FDM的周长为16cm；
丙：EG＝BF．
你的任务：
（1）填充甲同学所得结果中的数据；
（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；
（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG＝BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF＝x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？
3.在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．
（1）【观察发现】A′D与B′E是什么位置关系？
（2）【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与∠B′CE 是否相等，并说明理由；
（3）如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
（4）【综合运用】如图（3），当∠B＝60° 时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C，EG，DG之间的数量关系，并说明理由．
4.纸飞机对于每一个孩子而言，都应该是一样不会缺少的童年玩具．随着年龄的增长，学习的知识逐渐增多，大家对纸飞机的探究也在继续．
（1）如图甲，“长跑冠军”纸飞机是用正方形ABCD纸张折叠而成，E、F分别是AB、CD的中点．小明在探究“长跑冠军”飞机时，发现飞机重心落在正方形ABCD的中心点O（即对角线的交点），他想将重心调整到线段的黄金分割点（靠近点E）处，以观察重心的改变对飞机飞行情况的影响，请你用尺规作图的方法，帮他找到线段EF的黄金分割点X（靠近点E）（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）如图乙是“英雄号”纸飞机的部分折叠步骤，小明在探究过程中，取矩形纸张MNPQ，MQ＝30cm，点O是对角线的交点，E、F为MN、QP的中点．
第一步：将点N与点O重合，折痕交NP于点H，交EF于点R；
第二步，将点M与点O重合，折痕经过R点，交MQ于点G；
第三步，将G、H点分别与点O重合，折痕交RG、RH、MQ、NP于S、T、L、K四点，S、T、R三点不重合；
第四步，……
①小明在折叠时，认为∠GRH+∠OHP＝180°，他说的对吗？请结合图四说明理由；
②若矩形纸张的宽为20cm，此时的值是多少？请你直接写出答案；
③小明在折叠第三步时，发现点L与点Q重合、点K与点P重合，此时的值是多少呢？请你直接写出答案（结果保留根号）．
（四）、模块三：旋转变换探究题
旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
例5：
问题提出：如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A′C与AB交于点D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP为正三角形，有PB＝P'P．
故．因此，当A'、P'、P、C共线时，PA+PB+PC有最小值是．
学以致用：
（1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是 ．
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求的最小值．
（3）如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，求PA+PD+PQ的最小值．
例6：
【教材呈现】如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，它们的斜边长为2．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE＝m，CD＝n．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求m n的值；
（3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么m n的值是否发生了变化？为什么？
练习三：
1.（例6变式1）【教材呈现】如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE＝m，CD＝n．
（1）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（2）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD＝CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2＝DE2；
（3）在旋转过程中，（2）中的等量关系BD2+CE2＝DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2.（例6变式2）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF，AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论BE CD＝AB2是否成立 　 　（填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形ABCD中，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与BD，BC交于点E，F，且满足∠EAF＝∠ADB，求证：△ADE∽△ACF；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形ABCD的边长为12cm，∠BAD＝120°，∠EAF的两边分别与BD，BC相交于点E，F，且满足∠EAF＝∠ADB，若BF＝9cm，求线段DE的长.
3.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．
4.综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 　 　；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 　 　；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 　 　；
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．
（五）、归纳、领悟，形成能力：
方法总结：
这是一节中考专题复习课，布鲁纳说过：“思维永远是从问题开始的.”如果教师依然采用程式化的复习方式，那么就很难调动学生的积极性，同时也很难唤醒学生求知的欲望.基于此，本课例的设计采用了讲练+探究的模式，学生在自己独立做题之后，再互相意见碰撞，激发出意想不到的思维成果，同时也增强语言表达能力.还让学生用相关的几何画板为工具，亲身经历画图-观察-猜想-验证-归纳，得出旋转变换的特点.教学中，适时采用实物投影仪展示学生的成果，提高课堂的效率；借助几何画板演示动态的旋转图形，直观、形象地呈现图形的旋转过程，使信息技术与教学内容有机整合，真正为教学服务．通过课堂小结，增强学生学习过程中的反思意识，培养他们良好的学习习惯．
近几年，中考数学试题的压轴题中常出现几何变换问题.这类问题，涉及的知识面广， 综合性强，解答时有一定的难度，需要学生有一定的数学方式的理性思维，独立的数学思考能力.本节课中，讲练+探究模式的设计充分体现学生“动手操作、独立思考、合作交流、及时反思”的过程.动手操作，能让学生学会数学思考；独立思考，能让学生体会数学思考；合作交流，能让学生完成数学思考；及时反思，能让学生发展数学思考.
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