中考备考攻坚课程第三讲：填空题难点突破1；反比例函数中K值的计算 教学设计

罗湖区中考数学培优课之填空题难点突破1
第三讲 反比例函数中的K值计算
翠园初级中学 秦晓莉
一、知识技能梳理
1.反比例函数比例系数的计算属于深圳中考的必考内容，近年多出现在填空题的倒数第二题，难易程度属于中度偏难一点，出现的形式多以反比例函数中K的几何意义与几何图形的性质和图形变换相结合，反比例函数与一次函数相结合。
2.解决反比例函数的题目，要抓住它的两个不变性，一是图象上的一个点的横纵坐标的乘积不变，二是和面积为｜k｜的矩形相联系的面积不变。在解决点的坐标或是面积的过程中，经常要用到如下线段的比值。
（1）如图①，过反比例函数上两点A，B，分别作坐标轴的垂线，垂足为C，D，则AB∥CD.
（2）如图②，过反比例函数图象上的点A，B分别向两条坐标轴作垂线，垂足分别为E，F，C，D，则AB∥CD∥EF．
（3）如图③，若一次函数与反比例函数交于点A，B，与坐标轴交于点C，D，则有
AC＝BD；
（4）如图④，若一次函数与反比例函数交于点A，B，与坐标轴交于点C，D，则有
AC＝BD ．
3.数学思想：数形结合和转化思想。
二、学习过程
模块一：反比例函数与一次函数综合
例1（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考模拟预测）如图，直线y=2x+5
与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（ ）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
【答案】C
【详解】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令得，令得，
∴，
如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，
设，则，
∴，
∵，
∴，设，
∵CL⊥轴,轴，∴， ∴，∴，
∵轴，轴，∴，∴
设，则，∴，∴，∴，
∴，，
∵在上，∴，∴，解得，
∴，，
∴，,
∵关于对称，∴，
∴，,，
∵,
∴,
∴是,∴，故选C．
总结：利用已知直线求出一条或者两条线段的长度，再加上已知线段的比例，可以直接求出反比例函数图象的点的坐标，从而求出反比例函数的比例系数k。
例2.（2022·浙江金华·校联考一模）如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，＝，反比例函数（k＜0）图象经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为7，则k的值为_____．
【答案】
【详解】解：如图，过作于点．过，两点作轴的垂线，
垂足分别为，，如图．
平分，，
，，
又，，，
，
由反比例函数的性质可以知道，，
，
，
，，
，，
，
，
解得．故答案为：．
总结：在不确定直线的关系式的情况下，先用未知数表示反比例函数图象上一个点的坐标，再利用已知线段的比例，用未知数表示出另外一个点的坐标，接着利用题目中的条件列出关系式，求出反比例函数的比例系数k。同时这题还可以应用优法，利用反比例函数中K的几何意义来解决。
练习一
1.（2023春·八年级课时练习）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于、两点，若，则k的值为_____．
（对应例题1）
【答案】
【详解】解：在中，令，解得，则的坐标是；
令，解得：，则的坐标是，则．
，
作于点．则，
直线与反比例函数的交点是、，则根据题意得：，
即，解得：，，则，，
，，，，
是的角平分线，，
，解得：故答案是：．
2.如图，菱形的顶点与对角线交点都在反比例函数的图像上，对角线交轴于点，，且的面积为15，则______；延长交轴于点，则点的坐标为______．
（对应例题2）
【答案】 8
【详解】解：延长交轴于点，
设，则，，
∵，∴，
∴中，，，
∴，
∵，
∴，
∴
过作轴，则，
即，
∵，
∴，即．
∵，
∴，过点作于，易证，
∵，
∴，，
∴，联立得，
∴
3.（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，直线交x轴于点A、交y轴于点B，点C在反比例函数的图象上，且，连接交反比例函数图象于点D，若，则k的值为___________．（对应例题1）
【答案】4
【分析】过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，可得∽，设，，可得，结合，可得，由点C、点D都在反比例函数的图象上，可求，从而可得点的坐标，则k的值即可求解．
【详解】解：如图，过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，
则，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴∽，
∴．
∵直线交x轴于点A、交y轴于点B，
令，得；令，得，
∴，，
∴，，
∴，
即；
设，，
则，
∴，
∴，
∵，，
∴，即EF=2OF，
∴，
∵，
∴，
所以，
∴，
∵点C、点D都在反比例函数的图象上，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴．
故答案为：4．
4.（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知函数经过点，延长交双曲线另一分支于点C，过点A作直线交y轴正半轴于点D，交x轴负半轴于点E，交双曲线另一分支于点B，且．则的面积______．
（直线与双曲线的两支相交）
【答案】16
【详解】解：把点代入，
，
反比例函数的表达式为；
，
，
如图，过点作轴，垂足为，
，
，，
，
，
点，
，
，
，即；
设直线的表达式为：，
，
解得，
直线的表达式为：；
直线和反比例函数都关于原点对称，且，
EMBED Equation.DSMT4 ，
联立，
解得或，
，
过点作轴的平行线交于点，则，
，
．
模块二 ：反比例函数中K的几何意义
例3．（2023春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，O是斜边的中点，点A、E均在反比例函数图象上，延长线交x轴于点D，且，．则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
过点E作于点F，过点A作于点G，
∵．
∴点E的横纵坐标等于点A、D的横纵坐标之和的一半，
∴，，
∵点A、E均在反比例函数上，
∴，即，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵O是斜边的中点，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．故选：B．
例4.（2021秋·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在等腰中，，点为反比例函数（其中）图象上的一点，点在轴正半轴上，过点作，交反比例函数的图象于点，连接交于点，若的面积为2，则的值为（ ）
A．20 B． C．16 D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点作交轴于，交于点，
，，，
，，
，，
，设，则，
，，，，
EMBED Equation.DSMT4 ，，
，，，
的面积为2，，，
，，，，，
，，，
，，．故选：A．
总结：认真观察，寻找面积为的三角形的面积，再结合线段的比值得出等底等高的三角形的面积的比，往往会帮我们更轻松地解题。
练习二
5.（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考二模）如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），与直线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝，与y轴分别交于点，与双曲线y＝交于点，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为____．
【答案】﹣3．
【详解】解：如图连接OB，OC，CF⊥y轴于F，过作轴于
∵OA∥BC，∴S△OBC＝S△ABC＝6，
∵，∴S△OPB＝4，S△OPC＝2，
∵S△OBE＝ ∴
EMBED Equation.DSMT4 轴，轴，
∵△BEP∽△CFP，
∴
∴S△OCF＝，
∴．故答案为：．
6.（2020秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图，等腰中，，双曲线经过的三个顶点，边交x轴于点D，原点O在上，若且面积为2，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【详解】如图，过点A作轴于点E，
过点C作轴于点F，连接OA，
由反比例函数的性质可知，，
，∵OC=2CD
，
在和中，，
∴△COD∽△CAO
，
解得，
，
，
又∵AE⊥X轴，CF⊥X轴
，∴△ADE∽△CDF
，即，
解得，经检验，是所列分式方程的解，
则的值为6，故选：A．
7.（2021·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，点A，B分别是反比例函数和图象上的点，且轴，点C在x轴的正半轴上，连接交反比例函数的图象于点D，已知，，，则的值为______．
【答案】24
【详解】延长BD与x轴交于点M，连接OA，
∵轴，∴△ABD∽△CMD，AB⊥y轴，
∴AD：CD=BD：DM，
∵，∴，S△ABD=4S△CDM，
∴S△BOD：S△OMD=2：1，
∵，∴，∵，∴S△CDM=2，∴S△ABD=8，∵，，
∴S△AOD=16，
∵点A，B分别是反比例函数和图象上的点，
∵AB⊥y轴，∴，；
∵
∴，
∴，故答案为：24
8.（2022春·九年级课时练习）已知点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．
【答案】
【详解】解：设A（a，），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC＝AO，
∵AO＝，
∴CO＝，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD＝tan∠OCD，即，
解得：y＝，
在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，
将y＝代入，可得：x2＝，
故x＝，y＝＝，
则xy＝﹣9，
故可得：（x＞0）．
故答案为：（x＞0）．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．
模块三：反比例函数与几何综合
例5.（2023·浙江宁波·统考二模）如图，将矩形的顶点O与原点重合，边分别与x、y轴重合．将矩形沿折叠，使得点O落在边上的点F处，反比例函数上恰好经过E、F两点，若B点的坐标为，则k的值为________．
【答案】
【详解】解：连结OF，过E作于H．
由B点坐标为，可得E点的坐标为，F点的坐标为，
由折叠的性质知：是线段的垂直平分线，
∴，
EMBED Equation.DSMT4 ，
又，
，
，即，
，
，，
由折叠可得，
在中，由勾股定理可得
，
解得，（舍）．故答案为：．
例6.（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）如图，中，，三个顶点A，B，C都在反比例函数的图象上，其中点A，C在第一象限，点B在第三象限，过坐标系原点O，交x轴于点D，连接，若，则的值为______．
【答案】
【详解】解：分别过点A、B作x轴的平行线，
交过点C平行于y轴的直线于点E、F，
∵过原点O，
，，
，，，
∵轴，，
设，则，
∴，
，，，，
，
，∴，
，，，，
解得：，，故答案为：．
总结：反比例函数和几何综合的问题,多围绕三角形的相似、四边形的几何性质和图性变换的几何性质来命题。通常是结合图形,借助交点和关键点的坐标及图形的几何特征列方程求解。
练习三
9.（2023·广西·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且．将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过点M的反比例函数的图象恰好过的中点E，则点E的坐标为___________．
【答案】
【详解】解：如图，连接，过作于，
过作于，
由折叠的性质与矩形的性质可知，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵为中点，即，
∴，即是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
令，则点坐标为，点坐标为，
∵均为反比例函数上的点，
∴，
解得，
∴点坐标为，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∵，
解得，
则，
∴点坐标为，故答案为：．
10.（2021·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，，与轴交于点，，点在反比例函数的图象上，且轴平分，求_____．
【答案】
【详解】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，
∵C（0，-4），
∴OC=4，
∵∠AED=∠COD=90°，∠ADE=∠CDO
∴△ADE∽△CDO，
,
∴AE=1；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO=OD，
∵∠ABC=90°，
∴∠OCD=∠DAE=∠ABE=∠BCE，
∵∠DOC=∠ADE=90°
∴△ABE～△COD，
∴
设DE=n，则BO=OD=4n，BE=9n，
∴，
∴,
∴OE=5n=,
故点A(，1),∴k=×1=故答案为：.
11.（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点，，且顶点、、都在反比例函数的图像上，则顶点的坐标为______．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点A作轴于N，
过点C作轴于M，连接，
设，则由对称性可知，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，∴是等边三角形，
∴，
∵轴，轴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∵四边形是菱形，
∴点B平移到点A和点C平移到到点D的平移方式相同，
∴点D的坐标为，
又∵点D在反比例函数图象上，∴，
∴，∴，∴，
解得（负值舍去），∴，故答案为：．
12.（2020·湖南长沙·校联考二模）如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＜0）与y＝（x＞0）的图象上，且△OAB是等边三角形，则点A的坐标为_____．
【答案】（1﹣，﹣﹣1）
【详解】解：延长AB到C，使得BC＝AB，连接OC，
作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．设A（m，）．
∵△OAB是等边三角形，
∴OB＝BA＝BC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠OAC＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴OC＝OA，
∵∠AMO＝∠AOC＝∠CNO＝90°，
∴∠AOM+∠MAO＝90°，∠AOM+∠CON＝90°，
∴∠OAM＝∠CON，
∴△AMO∽△ONC，
∴＝＝＝，
∵OM＝﹣m，AM＝﹣，
∴ON＝﹣，CN＝﹣m，
∴C（﹣， m），
∴B（，），
∵点B在y＝﹣上，
∴×＝﹣4，
整理得：m4+4m2﹣4＝0，
解得：m＝1﹣（不合题意的根已经舍弃），
∴A（1﹣，﹣﹣1）．
故答案为：（1﹣，﹣﹣1）．
① ② ③ ④