中考备考攻坚课程第五讲：压轴题难点突破1：利用平行线解决二次函数中的面积问题（教学设计，PDF版）

第五讲 中考压轴题难点突破 1
《利用平行线解决二次函数中的面积问题》---郭爱玲
一、考点和知识技能梳理：
二次函数中的面积问题常常出现在中考的压轴题中，是中考压轴题的难点之一。这类题
型一般综合性较强，主要考查学生的综合分析问题、解决问题能力，考察学生数形结合思想，
分类讨论思想、转化思想等。热点考题是：面积最值问题，用代数式表示面积问题，面积之
间的和、差、比值等问题。常见的解题方法有：1、设关键点坐标，利用三角形面积公式解
决问题；2、利用铅垂高、水平宽解决问题；3、利用割补法解决问题；4、利用三角形相似
解决问题； 5、 利用平行线解决问题等。其中，利用平行线解决二次函数中的面积问题的
方法常常可以做到简化问题，简便运算的作用。本节课主要学习： 利用平行线解决面积最
值问题；利用平行线转移三角形面积；利用平行线把面积比转化为线段比。
二、学习过程：
模块一
（一）知识铺垫 1：任何两条夹在平行线间的垂线段长度相等；
（1）如图 1，若直线 a∥b，则有 MN＝PQ
（2）如图 2，直线 a∥b，则 S△ABC= S△BCD
（二）典例精讲：
例题 1. 已知：如图，抛物线 y＝x2+4x+3 交 x 轴于 E、F 两点，交 y 轴于 A 点，若 Q 为抛
物线上一点，连接 QE，QA，设点 Q 的横坐标为 t（t＜﹣3），△QAE 的面积为 S，求 S
与 t 函数关系式；
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【解答】解: 易得 A（0，3），E（-3，0），AE: y＝x+3．
作 QH//AE， 交 y 轴于点 H，
S AEQ S AEH
设 Q（t，t2+4t+3），设 HQ：y＝x+b
把 Q 点坐标代入 y＝x+b
2
可得 HQ: y=x t 3t 3
2
∴H（0 ， t 3t 3
2
）， AH= t 3t ，
1
S AEQ S AEH AH OE
2
1
(t 2
3 9
3t) 3 t 2 t
2 2 2
小结：利用平行线转移面积，常常是过动点作定直线的平行线，利用“任何两条夹在平行
线间的垂线段长度相等”，把三角形转化为有一条边在坐标轴上的三角形，从而达到简
化问题的目的。
例题 2. 如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+3 交 x 轴于点 A，B，交 y 轴正半轴于点 C，连接 BC．如
图，过点 A 作 AD∥BC，交抛物线于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上任意一点，连接
DP，与 BC 交于点 E，连接 AE，AP，当△APE 面积最大时，求点 P 的坐标及△APE 面积的
最大值；
第 2 页（共 23 页）
【解答】
解法 1：解：易得 A（-1,0），B（3, 0）D（4, -5）
作∵PQ∥AD，交 x 轴于点 Q
∴S△DAP＝S△QAD，S△EAD＝S△BAD，
∴S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△QAD﹣S△BAD= S△QBD，
设点 P（m，﹣m2+2m+3），
∵PQ∥AD
∴直线 PQ 的表达式为：y＝﹣x ﹣m2+3m+3，
∴Q（﹣m2+3m+3，0）
S△QBD= QB |yD|
5
= （﹣m2+3m+3）
2
＝﹣ （m﹣ ）2+ ≤ ，
故 S△APE 有最大值为 ，此时，点 P（ ， ）；
解法 2： 解：易得 A（-1,0），B（3, 0）D（4, -5）
过点 D 作 DF∥AP 交 x 轴于点 F，连接 PF，
∵DF∥AP， ∴S△DAP＝S△FAP，
∵BC∥AD，∴S△EAD＝S△BAD，
∴S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△FAP﹣S△BAD，
设点 P（m，﹣m2+2m+3），
直线 AP 的表达式为：y＝（3﹣m）（x+1），
∵DF∥AP，则直线 FD 的表达式为：y＝（3﹣m）（x﹣4）
﹣5，
令 y＝（3﹣m）（x﹣4）﹣5，则 x＝ ，则 AF＝5+ ，
则 S△APE＝S△FAP﹣S△BAD＝ FA yP﹣ AB |yD|
＝ （5+ ）×（﹣m2+2m+3）﹣ 4×5
＝﹣ （m﹣ ）2+ ≤ ，
第 3 页（共 23 页）
故 S△APE 有最大值为 ，此时，点 P（ ， ）；
解法 3：解：易得 A（-1,0），B（3, 0）D（4, -5）
设 P（t，﹣t 2+2 t +3），
直线 AD 的表达式为：y＝-x﹣1
∴Q（t，﹣t -1） ∴PQ=﹣t 2+3 t +4
S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△DAP﹣S△BAD
＝ PQ ( xD xA )﹣ AB |yD|
＝ 5×（﹣t 2+3 t +4）﹣ 4×5
＝﹣ （m﹣ ）2+ ≤ ，
故 S△APE 有最大值为 ，此时，点 P（ ， ）；
小结：△APE 中，P、E 都是动点，只有一个定点 A，如果过三角形的某个点构造平行线，
在表达三边所在直线的解析式上运算量相对较大，所以不建议直接构造平行线转移△
APE，而是采用割补法把△APE 转移为△APD 的面积减去△AED 的面积，因为 BC//AD，
所以△AED 可以转移为△ABD 的面积，A、B、D 都是定点，面积可求，所以只需要表示
△APD 的面积，问题即可解决。A 和 D 为定点，P 为动点，可考虑构造平行线表示面积，
也可以考虑铅垂高水平宽求面积。
（三） 跟进练习：
1. 如图，已知二次函数 y＝﹣ x2+ x+4 的图象与 y 轴交于点 A（0，4）．与 x 轴交于点
B，C，点 C 坐标为（8，0），连接 AB、AC．若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B，C 重
合），过点 N 作 NM∥AC，交 AB 于点 M，当△AMN 面积最大时，求此时点 N 的坐标；
第 4 页（共 23 页）
【解答】
解法 1：解：A（0，4），B（-2，0）, C（8，0）
设 NC=m，连接 MC，作MH BC
∵ MNB∽ ACB
MH BN
∴
AO BC
MH 10 m
∴
4 10
2(10 m)
∴MH
5
∵NM∥AC
1
∴S△AMN＝S△CMN= NC MH
2
1 2(10 m) m(10 m)
= m
2 5 5
∴当 m＝5 时，△AMN 面积最大是 5，此时 N 点坐标为（3，0）
解法 2：解：A（0，4），B（-2，0）, C（8，0）
设 N（m，0），连接 MC，作MH BC
1
∵ AC : y x 4
2
AB : y 2x 4
1 1
∴MN : y x m
2 2
y 2x 4

1 1
联立方程组： y x m
2 2
2(10 m)
可得MH
5
∵NM∥AC
1 1 2(10 m) m(10 m)
∴S△AMN＝S△CMN= NC MH = m
2 2 5 5
∴当 m＝5 时，△AMN 面积最大是 5，此时 N 点坐标为（3，0）
第 5 页（共 23 页）
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ x2+x﹣ 与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于点 C，
点 D（2，n）在抛物线上．过 B 作 BE∥AD 交抛物线于点 E，P 为直线 BE 下方抛物线上一
点，连接 PD 交直线 BE 于点 F，连接 AE、AF，求四边形 AEPF 的面积最大值，并求出此
时点 P 的坐标．
【解答】解：易得 A（﹣3，0），B（1，0）
∵D 点在抛物线上，∴n＝ ， ∴D（2， ），
∴y＝ x+ ，
∵BE∥AD，∴ S AEF S DEF
∴ S S PEF S DEF S 四边形AEPF PED
∴直线 BE 的解析式为 y＝ x﹣ ，
令 x2+x﹣ ＝ x﹣ ，解得 x＝1 或 x＝﹣2，
∴E（﹣2，﹣ ），
作 PH x轴，交DE于点H ，设 P（t， t2+t﹣ ），
∴DE：y＝x+
∴H （t， t+ ）
1 1 3 1
PH (t+ ) ( t2 t ) t2∴ 2
2 2 2 2
S S
四边形AEPF PEF
S DEF S PED
1 1 1
(x 2D xE ) PH 4 ( t 2) t
2 4
2 2 2
∴当 t＝0 时，四边形 AEPF 的面积最大，最大值为 4，此时 P（0，﹣ ）；
第 6 页（共 23 页）
模块二
（一）典例精讲：
1 2
例题 1. 如图，在平面直角坐标系内抛物线 y= x x 4与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交
2
于点 C．过点 A 的直线 y＝x+2 与抛物线交于点 E．点 P 为第四象限内抛物线上的一个动
点．在点 P 的运动过程中，是否存在点 P 使得△AEP 的面积最大，若存在，请求出点 P
的坐标．
【解答】解：存在点 P 使得△AEP 的面积最大，理由如下：
联立方程组 ，解得 或 ，∴E（6，8），
在直线 AE 的下方作 MN//AE，
当 MN 与抛物线有唯一交点 P 时，此时△AEP 的面积最大，P 为所求的点
设 MN： y=x b
y x b

联立方程组 1 2
y x x 4
2
1
可得 x
2 2x 4 b 0
2
1
4 4 ( 4 b) 0 解得b 6
2
y x 6

联立方程组 1
y x
2 3x 8
2
可得 P（2，﹣4）．此时 S△APE＝32，
小结：△APE 中，A 和 E 是定点，AE 长是定值，当 P 点到直线 AE 的距离最大时，△APE
面积最大。所以，当过 P 点且平行于 AE 的直线与抛物线有唯一交点时，这个唯一的交
点就是所求的点。
第 7 页（共 23 页）
例题 2. 如图，抛物线 y＝﹣ x2+3x+8 与 x 轴交于点 A、B 点，与 y 轴交于点 C 点，P 是抛物
S 3
线上第一象限上的动点，连接 PB，PC，当 PBC 时，求点 P 的坐标．
S ABC 5
【解答】
解：易得 A（-2，0），B（8，0）， C（0，8）
作 AD//BC，交 y 轴于 D，
易求 BC：y＝﹣x+8
AD：y＝﹣x-2，
∴CD=10，
在 C 点上方截取 CE=6，过 E 作 EP//BC,交抛物线于点 P，
则 P 为所求的点
PQ：y＝﹣x+14，
y x 14

联立方程组， 1
y x2 3x 8
2
可得点 P 的坐标为（2，12）或 P（6，8）
小结；同底三角形面积比等于这条底边上的高的比，所以同底三角形面积比转化为线段比，
通过构造平行线，把高的比转化为 y 轴上的两段线段的比。
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（二） 跟进练习
2
1．如图，已知抛物线 y x 2x 3与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C．点 P 是第四
象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时，求点 P 的坐标．
【解答】解：A（﹣2，0），B（4，0）C（0，-4）
连接 BC，过点 P 作 MN∥BC，当 MN 与抛物线有唯一交点 P 时，△PBC 的面积最大，此
时四边形 ABPC 的面积＝S△ABC+S△PBC 取得最大面积，P 为所求的点。
由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：y＝x﹣3，
设 MN： y x b
y x b
联立方程组
y x
2 2x 3
可得 x
2 3x 3 b 0
9 4 ( 3 b) 0
21
解得b
4
21
y x 3 15
联立方程组 4 可得P（ ，- ）．
2 4
y x
2 2x 3
则四边形 ABPC 的面积＝S△ABC+S△PBC=6
3 15
故当P（ ，- ），四边形 ABPC 的面积最大.
2 4
第 9 页（共 23 页）
2．如图，抛物线 y x2 2x 3的顶点坐标为点 C（1，4），交 x 轴于点 A（3，0），交
9
y 轴于点 B（0，3）. 抛物线上第一象限内是否存在一动点 P，使 S△PAB＝ △CAB ，若存在，
8
求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
【解答】解：易得 AB：y＝﹣x+3
作 CD//AB，交 y 轴于 D，可得 CD：y＝﹣x+5
9
∴BD=2，在 B 点上方截取 BG= ，
4
过 G 作 GH//AB，交抛物线于点 P1， P2 ，
则 P1，P2 ,即为所求的点
21
GH：y＝﹣x+ ，
4
21
y x
联立方程组， 4
2
y x 2x 3
3 15
可得点 P 的坐标为 P（ ， ）
2 4
第 10 页（共 23 页）
3．如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+3 经过 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴
与抛物线相交于点 P、与 BC 相交于点 E，连接 PB．抛物线上是否存在一点 Q，使△QPB
与△EPB 的面积相等，若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：存在，理由：
由 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
则顶点 P（1，4），对称轴为直线 x＝1，
∴H（1，0），
∴PH＝4，BH＝2，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线 BC 解析式为 y＝﹣x+3，
∴点 E（1，2），
如图，过点 E 作 EQ∥BC，交抛物线于 Q，此时△QPB 与△PEB 的面积相等，
由点 P、B 的坐标得，直线 PB 的表达式为：y＝﹣2（x﹣3），
则直线 QE 的表达式为：y＝﹣2（x﹣1）+2②，
联立①②并整理得：x2﹣4x+1＝0，
解得：x＝2 ，
则点 Q 的坐标为（2﹣ ，2 ）或（2+ ，﹣2 ）；
对于直线 QE，设 QE 交 x 轴于点 R，
令 y＝﹣2（x﹣1）+2＝0，
解得：x＝2，即点 R（2，0），
则 BR＝3﹣2＝1，
取点 R′使 BR＝BR′，过点 R′作 PB 的平行线 l，如上图，则点 R′（4，0），
则直线 l 的表达式为：y＝﹣2（x﹣4），
联立 y＝﹣x2+2x+3 和 y＝﹣2（x﹣4）得：x2﹣4x+5＝0，
第 11 页（共 23 页）
则Δ＝16﹣20＜0，无解，
故在点 B 的右侧不存在点 Q，
综上，点 Q 的坐标为（2﹣ ，2 ）或（2+ ，﹣2 ）；
4．如图所示抛物线 y＝ （x﹣3）2﹣6；与 x 轴交于 O，A 两点，OA＝6，点 P 在抛物线上，
过点 P 的直线 y＝x+m 与抛物线的对称轴交于点 Q．当△POQ 与△PAQ 的面积之比为 1：
3 时，求 m 的值．
【解答】解：设 PQ 与 y 轴交于点 H，作 OM//PQ，
作 AG//PQ,交 y 轴于点 G
易得 AG：y＝x-6 ，OM：y＝x
∴OG=6，OH m
∵△POQ 与△PAQ 的面积之比为 1：3，
OH m 1
如图 1，
HG m 6 3
解得 m＝3
OH m 1
如图 2，
HG 6 m 3
解得 m＝﹣ ∴m＝﹣ 或 m＝3．
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模块三
（一）典例精讲：
例题 1．如图，抛物线 y＝x2﹣4x 与 x 轴相交于另一点 A．在第一象限内与直线 y＝x 交于点
B，点 E 是点 B 关于抛物线对称轴的对称点，点 F 是直线 OB 下方的抛物线上的动点，EF
与直线 OB 交于点 G．设△BFG 和△BEG 的面积分别为 S1 和 S2，求 的最大值．
【解答】
解：如图 2，过点 F 作 FW∥x 轴交直线 OB 于点 W，
设 F（t，t2﹣4t），则 W 的纵坐标为 t2﹣4t，
∵直线 OB 的解析式为 y＝x，
∴W（t2﹣4t，t2﹣4t），
∴WF＝t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+5t，
∵易得 B（5，5），点 E、B 关于抛物线对称轴直线 x＝2 对称，
∴BE∥x 轴，BE＝6，
∴BE∥WF，
∴△WFG∽△BEG，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ＝ ＝ ＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴当 t＝ 时， 的最大值为 ．
第 13 页（共 23 页）
例题 2. 已知抛物线 y＝﹣x2+2x+3 经过 A、B 两点．P 是抛物线上一点，且在直线 BC 的
上方．连结 AC、AP，AP 交 BC 于点 M，作 PH∥AC 交 BC 于点 H．记△PHM，△PMC，
△CAM 的面积分别为 S1，S2，S3．判断 是否存在最大值．若存在，求出最大值；
若不存在，请说明理由．
【解答】
解法 1 解： 存在最大值，理由如下：
易得 A（﹣1，0），B（3，0）
作 AR∥y 轴交 BC 于 R，过 P 作作 PQ⊥BC 交 BC 于 Q，
由直线 BC 解析式为 y＝﹣x+3， A（﹣1，0），
∴R（﹣1，4），
∴AR＝4
设 P（t，﹣t2+2t+3），
则 Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∵PH∥AC，易证△PMH∽△AMC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ， ，
第 14 页（共 23 页）
∴ ，
∵AR∥PQ，AC∥PH，
可得△ACR∽△PHQ，
PH PQ
∴ ＝ ，
AC AR
S
∴ 1
S 2PH
2 ＝ ＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
S2 S3 AC
∴当 t＝ 时， + 取最大值，最大值为 ．
解法 2 解： 存在最大值，理由如下：
易得 A（﹣1，0），B（3，0）
作 AR∥BC 交 y 轴于 R，过 P 作作 PQ⊥BC 交 BC 于 Q，
由直线 BC 解析式为 y＝﹣x+3，易得直线 AR 解析式为 y＝﹣x﹣1，
令 x＝0 得 y＝﹣1，∴R（0，﹣1），
∵C（0，3），∴CR＝4，
设 P（t，﹣t2+2t+3），则 Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∵PH∥AC，易证△PMH∽△AMC，∴ ＝ ＝ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵AR∥BC，PH∥AC， PQ∥CR，
可得△ACR∽△HPQ，
PH PQ
∴ ＝ ，
AC CR
S1 S2 2PH∴ ＝ ＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
S2 S3 AC
第 15 页（共 23 页）
∴当 t＝ 时， + 取最大值，最大值为 ．
小结：同高三角形面积比等于对应底边的比，可利用平行线把底边比转化为水平线段比
或铅垂线段比。具体到本题，因为 AC 长度是定值，所以表示面积比也可以作 PQ∥y 轴，
直接用含 t 的代数式表示 PQ
（二）跟进练习：
1. 抛物线 y＝﹣ ，与 x 轴分别交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴
交于点 C（0，3），抛物线对称轴为 x＝1，点 P 是第一象限抛物线上动点，连接 BC，PB．如
图 1，连接 PA，交 BC 于点 M，设△ABM 的面积为 S1，
△PBM 的面积为 S2，求 的最小值及此时点 P 的坐标；
【解答】解：如图,作 PQ∥AB，交 BC 于 Q，
∴△PMQ∽△AMB， ∴ ，
设 P（m，﹣ ），
由﹣ 得，
x＝ ，
∴PQ＝m﹣（ ）＝﹣ +2m，
∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，
第 16 页（共 23 页）
∴ ＝ ＝ ，
∴当 m＝2 时，﹣ 的最大值为 2，
∴ 的最小值为 3，
当 m＝2 时，y＝3， ∴P（2，3）；
2. 抛物线 y＝﹣ x2+ x+3 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、
B 两点（点 A 在点 B 的左侧），其中 A（﹣ ，0），点 D
为直线 BC 上方抛物线上一点，连接 AD、BC 交于点 E，连
接 BD，记△BDE 的面积为 S1，△ABE 的面积为 S2，求 的
最大值．
【解答】解： 过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G，交 BC 于点 F，过点
A 作 AK⊥x 轴交 BC 的延长线于点 K，
∴△DEF∽△AEK，
∴ ＝ ，
∵C（0，3），B（3 ，0），
∴直线 BC 的解析式为：y＝﹣ x+3；
设点 D 的横坐标为 t，∴D（t，﹣ t2+ t+3），
∴F（t，﹣ t+3），K（﹣ ，4），
∴AF＝4，DF＝﹣ t2+ t+3﹣（﹣ t+3）＝﹣ t2+ t；
∴ ＝ ＝﹣ t2+ t＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
第 17 页（共 23 页）
∴当 t＝ 时， 的最大值为 ．
3 2 9
3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x x 3与 x 轴交于点 A（4，0），C（﹣
4 4
1，0）与 y 轴交于点 B， 点 Q 为直线 AB 上方抛物线上一点，
OQ 交 AB 于点 D，QE∥BO 交 AB 于点 E．记△QDE，△QDB，
△BDO 的面积分别为 S1，S2，S3．求 的最大值．
【解答】解：设直线 AB 的解析式为 ．
∵4E∥BO，易证△DQE∽△DOB，
∴ ，∴ ， ，
∴ ．
设 Q 点坐标为 ，则点 E 坐标为 ，
∴ ，
∴当 x＝2 时，QE 最大为 3，即 的最大值为 2．
第 18 页（共 23 页）
4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y x2 6x 5的图象与 x 轴交于 A、B 两点，
与 y 轴交于点 C，其顶点为 P，连接 PA、 AC 、CP，过点 C 作 y 轴的垂线 l．直线 l上
是否存在点 Q，使△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的 2 倍？若存在，求出点 Q 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【解答】解：设 PC 与 x 轴交于 E 点，PQ 与坐标轴交于 F 点
1
AE PH
S
∵ MNB 2
AE

S 1 PBQ BFBF PH
2
根据解析式，可得 A（1，0）,P（3，4）,C（0，-5） B（5，0）
5
∴PC 解析式为： y=3x 5 可得 E（ ，0）
3
2
∴AE=
3
4 11 19
∴BF= ∴F（ ，0）或 F（ ，0）
3 3 3
6 38
∴PF 解析式为： y=-6x 22 或 y=- x
5 5
27 21
当 y=-5 时，可求得 Q（ ，-5）或 F（ ，-5）
6 2
第 19 页（共 23 页）
5．如图 1，二次函数 y＝x2﹣3x﹣4 的图象与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，直线
BC 的函数表达式为 y＝x﹣4，直线 x＝1 与 x 轴交于点 D，P 为直线 x＝1 上一动点，连接
PB，将 PB 绕 P 顺时针旋转一定角度得到 PQ．若点 Q 恰好落在抛物线位于第四象限的图
象上，连接 AQ 交 BC 于点 E，连接 AC，CQ，当△CEQ 与△ACE 的面积之比最大时，求点
P 的坐标；
【解答】解： 如图 1，作 AM⊥x 轴交直线 BC 于点 M，作 QN⊥x 轴交直线 BC 于点 N，
则 AM∥QN，
∴△QEN∽△AEM，
∴ ＝ ＝ ，
直线 y＝x﹣4，当 x＝﹣1 时，y＝﹣5，
∴M（﹣1，﹣5），
∴AM＝5，
设 Q（m，m2﹣3m﹣4），则 N（m，m﹣4），
∴QN＝m﹣4﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m，
∴ ＝ ＝﹣ （m﹣2）2+ ，
∴当 m＝2 时，△CEQ 与△ACE 的面积之比最大，此时 Q（2，﹣6），
设 P（1，n），
由旋转得 PQ＝PB，
∴（1﹣2）2+（n+6）2＝（4﹣1）2+（0﹣n）2，
解得 n＝﹣ ，∴P（1，﹣ ）．
第 20 页（共 23 页）
6．在平面直角坐标系中 xOy 中，二次函数 y＝﹣x2+x+2 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴
交于点 C．若点 P 是二次函数图象上位于线段 BC 上方的一个动点．如图，连接 AC，CP，
AP，AP交 BC于点 E，过点 P作AC的平行线交 BC于点Q，将△PEQ与△PCE的面积比
记为 a，将△PCE 与△ACE 的面积比 记为 b，当 a+ b 有最大值时，求点 P 的坐
标；
【解答】解：）①令 x＝0，则 y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2．
∵A（﹣1，0）、B（2，0），
∴OA＝1，OB＝2，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，交 BC 于点 G，过点 Q 作 QH
⊥PF 于点 H，如图，
设 P（m，﹣m2+m+2），则 OF＝m，PF＝﹣m2+m+2，
∴BF＝OB﹣OF＝2﹣m，
∵△GFB 为等腰直角三角形，
∴GF＝BF＝2﹣m，
∴PG＝PF﹣GF＝﹣m2+2m．
∵OA＝1，OC＝2，∴AC＝ ＝ ．
∵AC∥PQ，PF∥OC，
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∴∠ACO＝∠FPQ．
∵∠OAC＝∠QHP＝90°，
∴△OAC∽△HQP，
∴ ．
设 QH＝n，
∴ ，
∴PH＝2n，PQ＝ n．
∵QH∥OB，
∴∠HQB＝∠OBC＝45°，
∴△QHG 为等腰直角三角形，
∴GH＝QH＝n，
∴PG＝PH+HG＝3n，
∴ ，
∴PQ＝ （﹣m2+2m）．
∵PQ∥AC，∴△PQE∽△ACE，
∴ ．
∵等高的三角形的面积比等于底的比，
∴ ＝a＝ ， ＝b＝ ，
∴a＝b＝ ＝ （﹣m2+2m）＝﹣ + m．
∴a+ b＝（1+ ）a＝﹣（ ）（m﹣1）2+ ，
∵﹣（ ）＜0，
∴当 m＝1 时，a+ b 有最大值，
∴点 P 的坐标（1，1）；
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