2.6.1.1余弦定理 课件（共28张PPT） -2024-2025学年高中数学北师大版（2019）必修第二册

(共28张PPT)
2.6.1.1余弦定理
北师大版（2019）必修第二册
第二章 平面向量及其应用
学习目标
了解余弦定理的证明过程
02
掌握余弦定理及其推论
01
能够利用余弦定理解决有关问题
03
知识回顾
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
探究：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c，怎样用a ， b和C表示c？
b
c
a
探究：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c，怎样用a ， b和C表示c？
b
c
a
（1）当时，求第三边.
（2）一般地，已知两边及其夹角如何表示？
探究：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c，怎样用a ， b和 C 表示 c？
b
c
a
设＝a，＝b ，＝c ，
那么c＝a－b
所以c2＝a2＋b2－2abcos C
①把几何元素用向量表示：
②进行恰当的向量运算：
③向量式化成几何式：
同理可得
a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝a2＋c2－2accos B.
抽象概括
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
还有其他方法证明余弦定理吗？
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，
勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
利用几何法证明：在△ABC中，三个角 A，B，C所对的边分别是a ， b ， c
（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，过顶点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D，
C
A
D
B
（2）当△ABC为直角三角形时，同理可证.
则CD＝bsinA，AD＝bcosA，BD＝AB－AD＝c－bcosA.
在Rt △ BCD中，由勾股定理得 BD ＝CD ＋BD ，
即a ＝b sin A＋（c－bcosA） ＝b sin A＋c ＋b cos A－2bccosA，
所以a ＝b ＋ c － 2bccosA.
同理可证b ＝ a ＋ c －2ac cosB， c ＝ a ＋ b － 2abcos C
利用几何法证明：在△ABC中，三个角 A，B，C所对的边分别是a ， b ， c
（3）当△ABC 为钝角三角形时，如图所示，
即 a ＝b sin A＋（bcosA－c） ，即 a ＝b ＋ c － 2bccosA.
过顶点 C 作 AB 延长线的垂线 CD，垂足为 D，
则CD＝bsinA，BD＝bcosA－c.
在Rt △ BCD中，由勾股定理得 BC ＝CD ＋BD ，
C
D
B
A
同理可证 b ＝ a ＋ c －2ac cosB， c ＝ a ＋ b － 2abcos C
同学们也可以尝试用坐标方法证明
利用坐标法证明：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c
如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.
同理可证 b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
则 A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即 a2＝b2＋c2－2bccos A.
思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
余弦定理的推论
已知三条边求任意角
（SSS）
已知两边及其夹角求第三边
（SAS、SSA）
拓展
利用余弦定理判断三角形的形状
(1)若b2＋c2 > a ，根据余弦定理的推论可知
，则角 A 为锐角．
若a ＋c2 > b2 ， a ＋b2 > c2 ，同理可得角B，C为锐角.
所以当b2＋c2 > a ， a ＋c2 > b2 ，且a ＋b2 > c2时，
△ABC是锐角三角形.
拓展
利用余弦定理判断三角形的形状
(2)若b2＋c2 ＜ a ，根据余弦定理的推论可知
，则△ABC是钝角三角形且角A是钝角．
同理可得，
若a ＋c2 ＜ b2 ，则△ABC是钝角三角形且角B是钝角.
若a ＋b2 ＜ c2 ，则△ABC是钝角三角形且角C是钝角.
拓展
利用余弦定理判断三角形的形状
(3)若b2c2 ＝ a ，根据余弦定理的推论可知
，则△ABC是直角三角形且角A是直角．
同理可得，
若a c2 ＝ b2 ，则△ABC 是直角三角形且角 B 是直角.
若a b2 ＝ c2 ，则△ABC 是直角三角形且角C 是直角.
从这个意义上讲，余弦定理是勾股定理的推广.
例1 如图，有两条直线 AB 和 CD 相交成80°角，交点是 O.甲、乙两人同时从点 O 分别沿OA，OC 方向出发，速度分别是 4 km/h，4.5 km/h. 3h 后两人相距多远 (精确到 0.1 km)
O
80°
D
解：经过3h，甲到达点 P，|OP|＝4×3＝12(km)，
乙到达点 Q，|OQ|＝4.5×3＝13.5(km)，
Q
P
在△OPQ中，由余弦定理得
(km)，
因此，3h 后两人相距约 16.4 km.
例2 如图，是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，，， …的图形.试计算图中线段 BD 的长度及∠DBA 的大小.(长度精确到 0.1，角度精确到 1°)
解：在△BCD中，BC＝1，CD＝1，∠BCD＝135°，
∴BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD
＝12＋12－2×1×1cos 135°＝2＋
∴BD1.8.
在△ABD中，
∴∠DAB80°.
你还能用其他方法求线段 BD 的长度及 ∠DAB 的大小吗？
解：延长 DC 交 AB 的延长线于点 E.
因为∠BCD＝135°，∠ABC＝90°，
所以∠BEC＝∠BCE＝45°
因为BC＝1，所以BE＝1，CE＝
思考交流：你还能用其他方法求线段 BD 的长度及 ∠DAB 的大小吗？
E
在△BDE中，BD2＝BE2＋DE2－2BE·DEcos∠45°
＝12＋1＋2＋2－(＋1)＝2＋
所以BD1.8.
在△ACD中，AC＝，DC＝1，AD＝，∠ACD＝90°
所以cos∠ADC＝，所以∠ADC
所以∠DAB＝180°－∠ADC
例3 在△中，分别是角的对边，已知是锐角，且.
(1)若，求实数的值.
(2)若，求△面积的最大值.
解：由 是锐角，且，得，
(1)可变形为 ，
依据余弦定理，可知
即 ，所以.
例3 在△中，分别是角的对边，已知是锐角，且.
(1)若，求实数的值.
(2)若，求△面积的最大值.
解：由 是锐角，且，得，
(2)因为，
所以，
即.
故.
当堂检测
C
B
A
C
A
A
感谢您的聆听与指导
General template of fresh teaching
授课人：一一