4.1同角三角函数的基本关系 课件（共32张PPT） -2024-2025学年高中数学北师大版（2019）必修第二册

(共32张PPT)
4.1同角三角函数的基本关系
北师大版（2019）必修第二册
第四章 三角恒等变换
学习目标
利用同角三角函数的基本关系解决sin α，cos α，tan α三者中知一求二问题，以及相关的化简与恒等式的证明.
02
通过任意角的三角函数的定义，结合图形掌握同角三角函数的基本关系
01
通过本节的学习，能把方程的思想、代数变换、分类讨论的逻辑方法融入到解题中.
03
思考：若直角三角形斜边为1，锐角 α 的对边为 sin α、邻边为 cos α，在这个直角三角中，你能得出什么关系？
sin α
cos α
α
1
根据勾股定理有sin2α＋cos2α＝12，
即sin2α＋cos2α＝1，
另外还有tan α＝ ．
知识回顾
我们是如何在单位圆中定义三角函数的呢？
sin ， cos
如图，角 α 的终边与单位圆交于点P(u,v)，
x
O
M
y
P(u,v)
1
α
x
y
O
A(1，0)
P
α
M
思考：观察单位圆，利用三角函数分析角 α 的正弦、余弦和正切之间存在什么关系？
y
x
O
P (cos α,sin α)
α
1
M
综上可知：sin2α＋cos2α＝1和 tanα＝ ．
sin α，cos α
所以 sin2α＋cos2α＝1．
总结：至此，我们得到了同角三角函数的基本关系式
问题1　同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？
sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R 恒成立，
而tan α＝ 仅对α≠ ＋kπ（k∈Z）成立．
问题2　“sin2α”的含义是什么？
sin2α 是(sin α)2的简写，读作“sin α”的平方，不能将sin2α 写成sin α2．
前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的
总结：至此，我们得到了同角三角函数的基本关系式
问题3　“同角”的含义是什么？
这里“同角”有两层含义，一是“角相同”．
如 sin23α＋cos23α＝1成立，但是 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．
二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关．
思考：同角三角函数基本关系式的变形有哪些？
sin2α＋cos2α＝1
sin2α＝1－cos2α
cos2α＝1－sin2α
sin α＝
cos α＝
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
tanα＝ (α≠ ＋kπ(k∈Z))
sin α＝cos αtan α
cos α＝
使用变形公式sin α＝，cos α＝
时，“”由 α 的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题.
例1 已知sinα＝ ，角 α 的终边在第二象限，如何求cos α与tan α的值？
又角 α 的终边在第二象限
解：
例2 已知cosα＝ ，求sin α，tan α的值．
解：
因为，故 在第二或第三象限
当 在第二象限时，
当 在第三象限时，
例3 已知tan α＝m（m≠0），求sin α和cos α的值．
解：根据题意可得方程组
因为：，故 的终边不在坐标轴上
所以
是第一、第四象限角
是第二、第三象限角
是第一、第四象限角
是第二、第三象限角
解得：
方法总结
（1）已知tanθ求sinθ（或cos θ）常用以下方式求解．
（2）当角 θ 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题，而对角 θ分区间（象限）讨论．
例4 若已知sin α－cos α＝ ，π＜α＜ ，如何求tan α呢？
sinα－cosα＝ ＜0 ①
将①式两边平方得sin αcos α＝ ，
所以sin α＜0，cos α＜0，
又因为π＜α＜ ，
故sin α＋cos α＜0，
所以sin α＋cos α＝ 　　　　　　　　　　　 ②
所以tan α＝ 　　　 　．
由①＋②式得，
例5 已知tan α＝3 ，求 .
解：因为tan α＝ ，
所以cos α0，
所以
思考：本例的解法比较巧妙，并不需要求得sin α和cos α的值.
但如果题目换成求 呢？
由tan α＝3，知 α 在第一象限或第三象限.
(1)当在第一象限，得 ，
则
(2)当在第三象限，得 ，
则
方法总结
已知tan α＝m，可以求 或
的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
例6 求证：
分析等式的左右两端，发现利用平方关系可以证明．
因为sin2α＋cos2α＝1，
由已知可知cos α≠0，且1－sin α≠0，
把①式的两端同除以cos α(1－sin α)，
所以cos2α＝1－sin2α＝(1－sin α)(1＋sin α) ①
得 ．
证明等式有哪些常用方法？
（1）证明一边等于另一边，一般是由繁到简
（2）证明左、右两边等于同一个式子（左、右归一）
（3）差比法：证左边－右边＝0或 ＝1(右边≠0)
（4）证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.
例7 求证：
等式左边＝
等式右边＝
故等式得证．
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B
C
A
AC
ACD
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授课人：一一