4.2.1-4.2.2两角和与差的余弦、正弦、正切公式及其应用 课件（共33张PPT） -2024-2025学年高中数学北师大版（2019）必修第二册

(共33张PPT)
4.2.1-4.2.2两角和与差的余弦、正弦、正切公式及其应用
北师大版（2019）必修第二册
第四章 三角恒等变换
学习目标
能利用Cα±β公式、诱导公式等推导两角和与差的正弦、正切公式．
02
会用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式．
01
熟记两角和与差的三角函数公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
03
思考：cos 15°＝cos(45°－30°) ，判断cos(45°－30°) ＝cos 45°－cos 30°是否成立
cos(45°－30°)＝cos 15°＞0，cos 45°－cos 30°＜0，
故cos(45°－30°) ＝cos 45°－cos 30°不成立.
问题1：已知任意角α，β的正弦、余弦，能推出α－β的余弦吗 (可借助向量求解)
因为余弦函数是偶函数，所以可以只讨论α≥β.
如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别记为P，Q，
则点P和点Q的坐标分别为(cos α，sin α)和(cos β，sin β)，
如果0≤α－β≤π，那么可以用向量的数量积求cos(α－β)，
由于向量和向量都是单位向量，它们的夹角是α－β
问题：如图，设角的终边与单位圆的交点分别记为.求
解：由图可得
思考：刚才的解答是否有不足之处？
诱导公式：
解：如图所示，
总结：显然，对于任意角来说，上述结论都成立，因此我们得到了两角差的余弦公式：
问题1　公式Cα－β在结构上有什么特点？
①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦；
②将所得的积相加．
问题2　两角差的余弦公式的适用条件是什么？
公式中的α，β 都是任意角，可以为常量，也可以为变角．
，记作
思考：同学们能否根据公式得出的公式呢？请大家进行小组讨论，并把小组讨论的结果写下来.
这是两角和的余弦公式，记作Cα＋β.
问题1　你能根据余弦两角和差的公式的结构，总结它们的记忆口诀吗？
余余正正，符号相反．
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦
问题2　如何利用两角差的余弦和两角和的余弦公式求cos15°？
因为15°＝60°－45°，所以可用两角差的余弦公式求解．
，记作
，记作
②“符号相反”表示展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相反
例1 利用两角差的余弦公式求的值.
法1：
法2：
例2 已知 ，求的值.
解：观察已知的两个角，与未知角 之间的运算关系，可以得到 .
因此，求的值可以看成求两个角，和的余弦值
例2 已知 ，求的值.
知识回顾
填空.
（1）sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ，tan(－α)＝ ；
（2） ＝ ， ＝ ；
（3）cos(α－β)＝ ，
cos(α＋β)＝ .
－sin α cos α －tan α
cos α sin α
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
问题1　由公式Cα－β或Cα＋β可求sin 75°的值吗？
可以，∵sin 75°＝sin(90°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°).
问题2　由公式Cα±β可以得到sin(α＋β)的公式吗？
可以，sin(α＋β)
＝sin αcos β＋cos αsin β．
尝试推出α－β的正弦公式.
sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)
＝sin αcos β－cos αsin β.
问题1　公式Sα±β的适用条件是什么？
公式中的α、β是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式．
问题2　公式Sα－β，Sα＋β，可记为什么？
正余余正，符号相同
sin(α＋β)＝sin αcos βsin β，记作
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，记作
②“符号相反”表示展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相同
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦
问题1　前面学习的同角三角函数关系中，tan α，sin α，cos α的关系怎样？
问题2　利用该关系及两角和的正、余弦公式，能用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan(α－β)？
①tan(α＋β)
②tan(α－β)
问题　两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？
不是对任意α，β均成立．
tan(α＋β)＝　 　　　　　，记作Tα＋β．
tan(α－β)＝　　　　　　 ，记作Tα－β．
①在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠kπ＋ ，（k∈Z）；
②在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠kπ＋ ，（k∈Z）．
例3 已知 　　　　 ，α为第三象限角，求　 　　　　　　　　　　的值．
解析：因为 ，α 为第三象限角，所以
思考交流：在例3中，两个三角函数值相等，这是一个必然现象还是巧合？请你从
与 之间的关系进行思考.
因为
所以由诱导公式知
这类题目要注意角的变换，观察待求角和已知角，把所求角表示为已知两角的和差，然后利用两角和、差公式求解．
例4 已知tanα＝2，tanβ＝ ，其中0＜α＜ ＜β＜π．
求：（1）tan(α－β)的值；（2）α＋β．
解析：（1）
（2）因为0＜α＜ ＜β＜π，所以
而
故α＋β＝ ．
当堂检测
C
B
C
ACD
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感谢您的聆听与指导
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授课人：一一