二次函数的图像关键题型 期末专题练 初中数学人教版九上

中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数的图像关键题型 期末专题练
2024--2025学年初中数学人教版九年级上学期
一、单选题
1．学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式（≠0）化成的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数化成的形式如下：
两位同学做法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
2．下列各点中，一定不在抛物线上的是（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）
3．如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）

A． B．
C． D．
4．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　)
A． B．
C． D．
6．抛物线经过平移、旋转或轴对称后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数（为常数且）的图象与轴交于点．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，旋转后的图像与轴交于点，若，则的值为（ ）
A．1或 B．1或 C．3 D．
8．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
10．如图，二次函数的图象与轴分别交于A、B两点，与轴交于点，点的坐标为，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知二次函数，用配方法化为的形式是 ．
12．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
13．将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是 ；将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是 ．
14．直线y=m是平行于x轴的直线，将抛物线y=－x2-4x在直线y=m上侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图像，若新的函数图像刚好与直线y=－x有3个交点，则满足条件的m的值为
15．如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③（为常数）；④和时函数值相等；⑤若，，在该函数图像上，则；⑥．其中错误的结论是 （填序号）．

16．抛物线y＝ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0 ④b2﹣4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；其中正确的为 （填序号）．
三、解答题
17．已知二次函数．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________．
18．已知：二次函数的顶点在直线上，并且图象经过点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)D是线段上的一个动点，过点作轴于点，点的坐标为．在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知，关于的二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，图象顶点为，连接、、．
(1)请直接写出点A、B、C、D的坐标（用数字或含a的式子表示）：
A ；B ；C ；D ；
(2)作出点关于对称轴的对称点，连接、、，若和相似，求a的值；
(3)若，直接写出a的取值范围．
参考答案：
1．C
解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确；
2．C
解：当x=1时，，此时解得m=1，
∴点（1，1）可以在抛物线上，故选项A不符合题意；
当x=2时，，
∴点（2，2）在抛物线上，故选项B不符合题意；
当x=1时，，此时解得m=0，此时抛物线解析式不成立，
∴点（1，2）一定不在抛物线上，故选项C符合题意；
当x=1时，，此时解得m=-1，
∴点（1，3）可以在抛物线上，故选项D不符合题意；
3．D
解：曲线段扫过的面积，
则，
故抛物线向上平移3个单位，则
4．D
由平移的性质可知：抛物线经过平移后，的值不变．将化成顶点式，再通过各选项比较，得到各自平移方法，最后分析出无法通过平移抛物线得到．
解：．，抛物线向右平移，再向下平移得到抛物线，故不符合题意；
．， 抛物线向右平移，再向下平移得到抛物线，故不符合题意；
．，，抛物线向下平移得到抛物线，故不符合题意；
．，由平移的性质，的值变为，无法通过平移得到，故符合题意．
5．A
解：抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为，
即解析式为：．
6．D
解：抛物线经平移后，不改变开口大小，所以不变，
而D选项中，不可能是经过平移、旋转或轴对称得到，
7．A
解：∵二次函数（为常数且）的图象与轴交于点．
∴当时，，
∴，
∵二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，
∴旋转后的解析式为：即，
当时，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：或；
8．D
解：∵二次函数对称轴是直线，且过点，
∴二次函数还过点，
补全二次函数的图象，如图所示：
∵图象开口向上，则，
∵对称轴是直线，
∴
即：，故②正确；
∵图象与轴交点在轴下方，
∴，
∴，故①正确；
∵，
由图象可知，当时，随的增大而减小．
∴，故③错误；
由图象可知：当时，，
故④正确；
∵当时，，
又∵
∴，故⑤正确；
9．D
解：一次函数的图象经过一、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧，
10．C
解：∵抛物线的开口向下，对称轴为，交轴于正半轴，
∴，
∴，故选项A错误；
∵图象经过点，
∴，故选项B错误；
由图象可知当时，，故选项C正确；
∵对称轴为，
∴与时的函数值相同，即：，故选项D错误；
11．
解：
，
故答案为：．
12．
得，
，
故答案为：．
13．
解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴函数的图象沿x轴翻折后得到的图象的解析式为；
∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴函数的图象沿y轴翻折后得到的图象的解析式为．
故答案为：，．
14．6或
解：根据题意
∵y=-x2-4x=-（x+4）2+8，
∴顶点为（-4，8），
∴在直线y=m上侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分的顶点为（-4，-8+2m），
∵直线y=-x与抛物线y=-x2-4x相交
∴
解得，，
∴交点坐标为（-6，6），（0，0）
∴m=6时，新的函数图象刚好与直线y=-x有3个交点
翻折后的抛物线的解析式为y=（x+4）2-8+2m，
由题意：，
消去y得到：x2+10x+4m=0，
由题意Δ=0时，满足条件，
∴100-16m=0，
∴m=，
综上所述，m=6或．
15．①⑤
解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴是直线，
∴，即，
∴，
∵经过点，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵当时，函数取得最大值，最大值为，
∴当时，，
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线，
∴直线和直线与对称轴距离相等，则和时的函数值相等，故④正确；
∵抛物线的对称轴是直线，且开口向下，
∴离对称轴越近，函数值越大，
∴，故⑤错误；
当时，，
∴，
∴，故⑥正确；
故答案为：①⑤．
16．①②⑥．
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴①正确；
∵对称轴为x＝＝﹣1，得2a＝b，
∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＞0，
∴⑤错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴④错误；
当x＝1时，y＝a+b+C＞0，
∴②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴③错误；
∵a﹣b+c＜0，4a＝b，
∴c＜3a，
∴4a＞c，
∴⑥正确．
故填空答案：①②⑥．
17．(1)，顶点坐标为
(2)见解析
(3)
（1）解：，
∴抛物线顶点坐标为；
（2）解：列表：
x 0 1 2 3 5
y 5 2 1 2 5
根据描点法画二次函数图象如下：
；
（3）解：由图象可知：当时，．
故答案是：．
18．(1)
(2)点D的坐标为或
（1）解：设抛物线顶点坐标为，则抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，，
；
在中，顶点，
当时，，
解得：，或，
故点，
直线解析式为，
将，代入，
可得：，
解得：，；
故解析式为；
，点的坐标为，
，
，，，
当时，则，
，
解得或（舍去），
∴点的坐标为；
当时，则，
，，
解得或（舍去），
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或；
19．(1)
(2)，
（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，
整理得
则抛物线的表达式为：；
（2）解：存在，理由如下：
的图象交轴于点，
，
，
，
当以点A为直角顶点时，设直线与抛物线交于点，过点作轴
则，
∵
∴，
即，
∴，
即，
设
则，
即点，
把代入，
解得，
解得或（舍去），
∴，
则，
设直线的解析式为，
，，
∴，
解得，
直线的解析式为．
当以点C为直角顶点时，设直线与抛物线交于点，
则，
∵，
∴，
设直线的解析式为．
把代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或3，
把代入，解得，
即点．
综上所述，，．
20．(1)
(2)见解析，
(3)
（1）解：把代入得，，
，
把代入得，，
，
，
解得，，
，，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得，，
顶点为，
故答案为：；；；；
（2）解：如图1，点、关于对称轴对称，，点在对称轴上，
，，
，
和相似，
，
，
整理得，，
解得或（不合，舍去），
；
（3）解：设抛物线的对称轴与轴的交点为点，以点为圆心，2为半径画圆，连接，如图2，
当点在上或内时，，
，
即，
解得，
又，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)