二次函数的图像与系数的关系关键题型 期末专题练 初中数学人教版九上

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二次函数的图像与系数的关系关键题型 期末专题练
2024--2025学年初中数学人教版九年级上学期
一、单选题
1．二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第二象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①；②；③；④若点和点在该抛物线上，则．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④
3．已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②当时，随的增大而增大，③，④（为任意实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴，给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是（　　）
A．①③④ B．③④ C．①②④ D．①④
6．已知开口向上的抛物线经过点，且，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
7．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．有下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③若实数，则；④若，则，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
① ②（m为任意实数） ③
④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．已知二次函数（，为常数且）经过，且，下列结论：；；若关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个；当时，二次函数的最大值为，则.
其中一定正确的有 .（填序号即可）
12．已知抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间，则下列结论：
① ；
②；
③若该抛物线经过点，，则
④若关于x的一元二次方程 无实数根，则．
其中正确的结论是 ．(只填序号)
13．如图，抛物线与轴正半轴交于两点，轴负半轴交于点．若点，则下列结论中： ；；与是抛物线上两点，若，则；若抛物线的对称轴是直线，为任意实数，则；若则其中正确结论的个数共有 个．
14．如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②（m为任意实数）；③若点P为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为；④若m是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的序号有 ．
15．如图，函数的图象过点和，下列判断：
①；
②；
③；
④和处的函数值相等．
其中正确的是 （只填序号）．
三、解答题
16．已知二次函数的图象开口向下，且经过，两点．
(1) （填“”或“”）；
当时，求的值；
(2)若点和点也在二次函数图象上，且，．
求的取值范围；
若两不同点和都在二次函数的图象上，且始终满足，求的取值范围．
17．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线经过点．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)若抛物线是由抛物线经过平移得到的，求抛物线的解析式．
(3)在（2）的条件下，已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由．
18．二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表：
x … 0 1 2 m …
y … n …
(1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______；
(2)表中的_______，_______；
(3)若是这个函数图象上的两点，且，则_______（填“>”或“=”或“<”）；
(4)写出这个函数的一条性质___________．
19．已知二次函数，图象经过点，，．
(1)当时．
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大；
(2)若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：．
参考答案：
1．B
解：∵抛物线开口向上，
∴，故A正确，不符合题意；
由函数图象得抛物线的对称轴为直线
∴
∴，故选项B错误，符合题意；
由图象可得时，
∴，故选项C正确，不符合题意；
∵，
∴，故选项D正确，不符合题意．
2．A
解：二次函数开口向下，则，抛物线与y轴的正半轴交于一点，则，
二次函数对称轴为，则，
∴，，
∴，故①正确；
∵过点，
∴由对称性可得二次函数与轴的另一交点为，
由函数图象可得时，
，故②正确；
时，
，
代入得：，故③错误；
∵对称轴是直线，，，
又∵，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∵二次函数开口向下，
∴，故④错误；
综上所述，正确的选项是①②．
3．A
解：由二次函数(a、b、c为常数，)的图象可知，，，
故选项A符合题意，
4．A
解：由图知，，，，
，
故①错误；
由图知，当时，随的增大而减小，
故②错误；
，
与的函数值相同，
，
故③错误；
，
，
，
当时，最小，
成立，
故④成立；
5．A
∵点在二次函数图像上，
∴，结论①正确；
∵二次函数的图像开口向上，对称轴在y轴的右侧，与y轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴，结论②不正确；
∵，
∴，
∴，结论③正确；
∵二次函数的图象经过点和，
∴，
∴，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
6．C
解：抛物线经过点，
，
，
由得，
抛物线开口向上，
，
，
解得，
抛物线经过点，
、是一元二次方程的两根，
，
，
，
7．B
根据抛物线开口向上可得，对称轴为可得通时判定②；与y轴交于负半轴可得，即可判定①；根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；由图象可知，当时，可推出③错误；根据函数图象即可判断④；当时，函数有最小值，进而判断⑤．
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与x轴交于点，，
∴对称轴为直线，故②正确；
∵，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴上，
∴，
∴，故①错误；
由图象可知，当时，，
∴当时，，故③错误；
由图象可知，当时，y的值随x值的增大而增大，故④错误；
∵且抛物线的对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，
∴当m为任意实数时，，
∴，故⑤正确．
综上所述，说法正确的是②⑤，共2个．
8．C
解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
∵，
∴，
∴，
故③正确；
④，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
9．B
解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与轴交于正半轴，则
∴，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线,
∴当时，取得最大值，最大值为
∴（m为任意实数）
即，故②正确；
∵时，
即
∵
∴
即
∴，故③正确；
∵、是抛物线上不同的两个点，
∴关于对称，
∴即故④不正确
正确的有②③
10．B
解：∵二次函数的部分图象如图所示，
∴开口向下，
∵图象过点，对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．
∴
∴
故①错误；
∵
∴
故③正确；
∵如图：
则图象过点，抛物线开口向下
把代入
∴
∴
故②错误；
∵则图象过点，对称轴为直线
∴抛物线与轴的另一个交点为
∵抛物线开口向下
∴当时，
故④正确的；
把代入，
得
∵
∴
∴
∵
∴
故⑤正确的
11．/////
解：二次函数，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
∴正确，
∵，，
∴，
∴点在轴的下方，
∵抛物线的对称轴为直线，，，
∴抛物线与直线交点的横坐标为整数的有，
∴关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个，
故正确；
∵抛物线对称轴为直线，与轴的交点为，
∴抛物线过，
∵当时，二次函数的最大值为，且，
∴，
∴，
故错误，
综上，正确，
故答案为：．
12．①③/③①
∵抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间，
∴，，，，
∴，，，
∴，
故①正确；②错误；
∵，，距离对称轴越远，函数值越小，
∴，
故③正确；
∵关于x的一元二次方程 无实数根，
∴，
∴，
即
∵，
则．
故④错误；
故答案为：①③．
13．4
解：由抛物线图象可知，抛物线开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，
，
，
，故正确；
抛物线与轴正半轴交于两点，点，
对称轴在直线右侧，
即，
，
，
，故正确；
与是抛物线上两点，由图象可得抛物线在上，随的增大而增大，在上， 随的增大而减小，
不一定成立，故错误；
若抛物线的对称轴是直线，
，即，
，
，故正确；
由得，，
当时，，
当时，，
，
，
整理得，
，
，，
，故正确；
综上所述，正确的有4个，
故答案为：4．
14．①②④
解：抛物线开口向下，
，
抛物线与x轴交于点，，
对称轴为直线，
，
抛物线交y轴的正半轴，
，
，故①正确；
对称轴为直线，开口向下，
时，y有最大值，最大值为，
（m为任意实数）
即，故②正确；
对称轴交y轴的正半轴于点C，
，
由对称性可知，
，故③不正确；
抛物线与x轴交于点，
，
，
，
，
，
m是方程的一个根，
，
当时，，
当时，，
若m是方程的一个根，则一定有成立，故④正确；
故答案为：①②④．
15．①③④
解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确，
，，
，
，
时，，则，
，
，故②错误，
的图象过点和，
方程的根为，，
方程的根为，
，
，故③正确；
的图象过点和，
抛物线的对称轴为直线，
，
和处的函数值相等，故④正确，
故答案为：①③④．
16．(1)；
(2)；
（1）解：由题意，抛物线开口向下，
，
故答案为：；
当时，
抛物线的对称轴是直线，
；
（2）解：由题意，，且，
，
点在轴下方，点在轴上方，
二次函数的图象与轴有两个交点，
图象过点，
当为抛物线与轴左侧的交点时，则时，二次函数的图象均在轴下方，此时点，两点也都在轴下方，这与题意矛盾，故不成立，从而是抛物线与轴右侧的交点，
，
又点和二次函数与轴的左侧的交点关于直线对称，
左侧交点横坐标为，
左侧交点坐标为，
又在轴上方，于是有，
，即，
在轴下方，且，
又抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
，
，
综上，；
依据题意，点，都在二次函数图象上，且，
又，
在点的右方和上方，
又，
点在对称轴右侧，
又二次函数在对称轴右侧时，值随的增大而减小，
必在对称轴左侧，
，
，
，
由得点更靠近对称轴，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
或，
．
17．(1)
(2)
(3)，理由见解析
（1）解：抛物线的对称轴为；
（2）解：直线与轴交于点，
，
抛物线经过点，
，
抛物线是由抛物线经过平移得到的，
，
抛物线的解析式为；
（3）解：，对称轴为，
离对称轴越远，函数值越小，
点，，在抛物线上，
又，，，且，
．
18．(1)，对称轴
(2)
(3)
(4)时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
（1）解：将代入，
，解得，
，
故对称轴；
（2）解：根据函数解析式：，
当时，，
当时，，
解得或（舍去），
，
故答案为：；
（3）解：根据，，
开口向下，
对称轴，
当时，随的增大而增大，
故，则，
故答案为：；
（4）解：根据二次函数的图象可得，
时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
19．(1)①；②.
(2)见解析.
（1）①当时，将点代入函数解析式得，
，
解得．
所以二次函数的表达式为．
②因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
所以当时，y随x的增大而增大．
故一个符合条件的x的取值范围是：．
（2）证明：因为抛物线的对称轴为直线，
又因为，
所以点和点关于抛物线的对称轴对称，
则．
又因为m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，
所以m和p都是非正数，n是正数，
则，
解得．
所以．
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