二次函数的性质关键题型 期末专题练 初中数学人教版九上

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二次函数的性质关键题型 期末专题练
2024--2025学年初中数学人教版九年级上学期
一、单选题
1．对于抛物线有下列说法：①顶点坐标为；②开口方向向上；③当时，随的增大减小；④与轴有两个不同交点，其中说法正确的有（ ）个．
A． B． C． D．
2．已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线 过四个点，若，四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　）
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
5．点，在函数的图像上，当时，函数的最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，且，与轴交于点，对称轴为直线，为直线与抛物线的交点，且，则下列结论：；；；（其中为任意实数）；若点，，在该抛物线上，则．其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，随的增大而减小；
B．若图象经过点，则；
C．若，是函数图象上的两点，则；
D．若图象上两点，对一切正数，总有，则．
二、填空题
9．已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ．
10．对于二次函数，当时，y随x的增大而增大、已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 .
11．点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ．
12．已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是 ．
14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），为的边上的高线，抛物线顶点与点的最小距离为1，则抛物线解析式为 ．
三、解答题
15．已知抛物线经过三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)列表画出二次函数的图象，并写出当在什么范围内时，．
16．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、两点，二次函数的图象经过点A，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)直线与二次函数图象的对称轴交于点，求点坐标．
17．在平面直角坐标系xOy中，点，为抛物线上的两点．
(1)若，时，有，求h的值；
(2)若对于，，都有，求h的取值范围．
18．定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点P的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为．
(1)当时，
①二次函数关于点P的相关函数为 ；
②点在二次函数关于点P的相关函数的图像上，求的值；
(2)函数关于点P的相关函数是，则 ；
(3)当时，二次函数的相关函数的最小值为，求的值．
参考答案：
1．B
∵顶点坐标为：
∴①的结论错误；
∵的二次项系数为：1
∴开口方向向上，②结论正确；
∵当时，随的增大而增大
∴③的结论错误；
∵判断和轴有两个不同交点，即判断有两个不相等的实数根
∵
∴有两个不相等的实数根
∴与轴有两个不同交点
∴④的结论正确；
2．C
解：∵，
∴，
∴当时，有最大值为，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线，
设的对称点为，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．D
解：由题意得，抛物线的对称轴是直线．
又当时，
∴，且当时，．
∴．
①若，则当时，y随x的增大而增大．
∵，
∴．
∵四个数中有且只有一个大于零，
又，
∴
∴．
∴
②若，
则当时，y随x的增大而减小．
∵
∴．
∴四个数中没有一个大于0，不合题意．
4．B
由题意可知对称轴为轴，则函数为，利用待定系数法求得，由当时，该函数有最大值和最小值，即可得出，，进一步求的，
得到的最小值为，无最大值．
二次函数的图象经过点，，，
对称轴为直线，
，，
，
把，代入得，
解得：．
当时，该函数有最大值和最小值，
时，取最大值，
时，取最小值，
，
又，
的最小值为，无最大值．
5．D
由，得抛物线的对称轴为，顶点坐标为．
由题意得A点在B点的左边．
如图3，当点B与顶点重合时，，解得；
当点A，B对称时，．此时若函数的最大值为4，最小值为；
当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近，
，
解得，
∴a的取值范围是．
6．A
解：，
二次函数的顶点坐标为，且二次函数的图象开口向下，
当时，，
，
当时，，
解得或（舍去），
7．B
解：由图象可知，，，抛物线对称轴为直线，即，
∴，
∴，
故正确；
∵，是抛物线与轴的交点，且，对称轴为直线，
∴，
因此当时，，即，
又∵，
∴，
故正确．
将代入中，得，
又∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴点的横坐标为，
即，
又∵，
∴，
故结论正确；
由图象可知，对于，当时，取最大值，
∴，即，
因此结论错误；
∵，，，
∴，
∴，即结论正确．
综上，正确的结论有个，
8．C
、设抛物线与轴交点为，
∵二次函数，
∴，，，
∵当时，随的增大而增大，
∴，开口向下，
∴当时，随的增大而减小，此选项正确；
、∵二次函数 ，当时，随的增大而增大，
∴，开口向下，
若图象经过点，则，
得：，
∵，，
∴，此选项正确；
、∵对称轴为直线，，
∴，
∵，
∴，是函数图象上的两点，离对称轴近些，
∴，此选项错误；
、由图象上两点 对一切正数，总有，
∵该函数与x轴的两个交点为，，
∴，
解得：，此选项正确；
9．或
解：∵抛物线经过点，，
∴对称轴为，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
∵，是抛物线上的两点是该抛物线上的两点，且，
∴根据对称性可得P点对称点，
∴或．
故答案为：或．
10．/
解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当时，随的增大而增大，
∴，即．
∵点在二次函数的图象上，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
∴
，
∴当时，取最大值，最大值为，
故答案为：．
12．
解：二次函数的对称轴，
令，，
点关于直线的对称点为，
如图：
，
开口向上，
当时，函数值的最大值为，
，
故答案为：．
13．2
解：当抛物线的顶点与A点重合时，的最小值是，
根据题意知是该抛物线的顶点，且经过点，
此时，设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线，
∴此时，
∴，
当抛物线的顶点与B点重合时，取得最大值，
根据题意知是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
14．
解：如图所示，使DE最小则D点必在对称轴x=1上，过点E作EF⊥AB，则AF=BF，
∴AD=BD，
∵为的边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBF=∠BDF=45°，
∴DF=BF=2．
当x=1时，y=-4a，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴EF=4a．
∵DE=1，
∴4a-2=1
解得：a=．
∴抛物线解析式为
即
故答案为：．
15．(1)
(2)列表及图象见详解，当时，则x的取值范围为或
（1）解：由题意得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为，则列表如下：
x ….. 0 1 2 3 …..
y ….. 0 0 …..
函数图象如下所示：
由图象可知：当时，则x的取值范围为或．
16．(1)
(2)点的坐标为
（1）解：令的，则，令，则．
，．
把，代入得：
，解方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）解：由
二次函数的对称轴为直线，
把代入得，
点的坐标为．
17．(1)
(2)或
（1）解：当时，
，．
∵，
∴，
解得或1，
当时，两点重合不合题意，
综上，；
（2）解： 抛物线的对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
点关于对称轴的对称点为，
当时，如图，

∴，
解得：，
当时，如图，

∴，
解得：，
综上所述，h的取值范围为或．
18．(1)①；②
(2)
(3)或
（1）解：①当时，点，则相关函数为：，
故答案为：；
②∵二次函数的顶点坐标为，
∴新函数的顶点坐标为，
∴新函数的表达式为，
将点代入上式并解得．
（2）解：函数和函数的顶点坐标分别为，，
∴由中点公式得：，
解得：
故答案为：；
（3）解：函数
∴顶点坐标为，
则相关函数顶点坐标为，
则相关函数的表达式为，
①当，即时，函数在时，取得最小值，
即，无解，故舍；
②当，即时，函数在顶点处取得最小值，
即，
解得(舍)或；
③当，即时，函数在时，取得最小值，
即，
解得：（舍去）或；
综上，或．
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