二次函数的最值问题关键题型 期末专题练 初中数学人教版九上

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二次函数的最值问题关键题型 期末专题练
2024--2025学年初中数学人教版九年级上学期
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点C为y轴正半轴上一点，且，D是线段上的动点（不与点A，C重合）．

(1)写出A、B、C三点坐标；
(2)如图1，当点D关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时，求此时D点的坐标；
(3)如图2，若点E是线段上的动点，连接，当时，求的最小值．
2．如图，抛物线经过点，交轴于另一点（点在点点的左侧），点是该抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线下方且时，请求出点的横坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
(4)若点在轴上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作交抛物线于，若点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标；
(3)过点作交抛物线于，过点为直线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
4．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
5．如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
(1)直线上的“互补点”的坐标为_________；
(2)直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
(3)若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，m的最小值为k，求k的值．
7．如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值和二次函数图象的顶点坐标．
(2)已知点在该二次函数图象上．
①当时，求的值；
②当时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出的值．
8．【问题背景】
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标．
9．如图，直线与顶点坐标为的抛物线相交于、两点，其中点在轴上．
(1)求、两点的坐标．
(2)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点．设线段长度为，点的横坐标为，写出与之间的函数关系式．
(3)为何值时，线段长度最大？
10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴为．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标．
参考答案：
1．(1)，，
(2)
(3)
（1）根据题意得，
解得，，
∴，，
∴,
∵，
∴．
（2）设直线的解析式为，
把，分别代入解析式，得
，
故直线的解析式为，
设点，
则其对称点坐标为，
代入抛物线解析式中，得
，
整理，得，
解方程，得(舍去)，
当时，，
故．
（3）过点C作轴，且使得，连接，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴．
∵轴，
∴，
∵，
∵
∴
∴，
∴的最小值变成了的最小值，
∵，
故当点P，D，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，
∴的最小值为．
2．(1)
(2)或
(3)存在，5
(4)存在，，
（1）抛物线经过点，
∴，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）令，则，
则，
，
设直线表达式为，又，
∴，
解得，
，
，
，
∴，
当时，，
作轴，交于点，
设，则
则，
则，，
．
即点的横坐标为或．
（3）存在，
点与点关于对称轴对称，
当点在直线与对称轴交点处时最小，
此时，
由（2）知，
，所以这个最小值为5．
（4）存在，设，
①当点在轴下方时，有，
,
，
则，
（舍去），，
②当点在轴上方时，与是平行四边形的对角线，
设，
，
∴，
则，
又，
，即，
综上所述，存在3个点：，．
3．(1)
(2)的周长最小为，的坐标为
(3)四边形的面积最大为，此时
（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：由抛物线可得，当时，，
，对称轴为直线，
设直线的解析式为，代入点，点的坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可设直线的解析式为，代入点的坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴，
∵如图，关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与对称轴的交点即为点，此时，
∴最小，
∴的周长为最小，
∵直线的解析式为，当时，，
的坐标为，
∵，
∴的周长最小为；
（3）解：如图，过点作轴的垂线，交直线于点，
设点的坐标为，则，其中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为，此时．
4．(1)
(2)时，四边形的面积最小，最小值为
(3)存在，或
（1）解：∵，，则，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴是等腰直角三角形，由点的运动可知：
，过点作轴，垂足为，

∴，
又∵，则，
∴
，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
∴，，
∴，
当时，四边形的面积最小，即为；
（3）解：存在，或，
当点在的右侧时，如图所示，

过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，
∵是以为直角为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
当点在的右侧时，同理可得，
解得：或（舍去）
∴，
综上所述，或．
5．(1)
(2)存在，点坐标为或
(3)存在，
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将，，代入得，
，解得，，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在一点，使得，理由如下：
如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，
∵，
∴，即点是满足题意的点，
∵，，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，，
直线与抛物线联立方程组得，
解得，（与重合，舍去）或，
∴，
∵关于轴对称，
∴直线的解析式为：，
∴，，
∴是满足题意的点，
设直线的解析式为：，将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
直线与抛物线联立方程组得，
解得，（与重合，舍去）或，
∴，
综上所述，点坐标为或．
（3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下：
如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，，则，
∴是等腰直角三角形
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴最小即是最小，
∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即的最小值为．
6．(1)
(2)直线上有“互补点”，点的坐标为
(3)1或
（1）设直线上的“互补点”的坐标为，
∴，
解得：，
∴直线上的“互补点”的坐标为，
故答案为：；
（2）设直线上存在“互补点”，
则由题意得：，
解得：，
∴直线上有“互补点”，点的坐标为；
（3）设“互补点”的坐标为，
由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，
∴．
整理得：．
∴当时，m随n的增大而减小；当时，m随n的增大而增大；当时，m取得最小函数值．
①当时，此时当时，m取得最小值，
由题意得，解得；
②当时，此时当时，m取得最小值，
由题意得，
整理得：，方程无解；
③当时，此时当时，m取得最小值，
由题意得，
整理得：，
解得，（舍）．
综上所述，k的值为1或．
7．(1)，
(2)①当时，；②或
（1）解：将点代入，得，解得．
二次函数的表达式为．
，
二次函数图象的顶点坐标为．
（2）①将代入，
得．
当时，．
②由（1），可知抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，如解图所示．
根据函数图象，若满足当时，该二次函数有最小值1，则或，
或．
8．（1）（2）点N的坐标为，有最大值，最大值为（3）或或或
解：（1）∵
∴，，
把，代入，得，
，
解得，，
∴此抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，
把把，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
设点的坐标为，则点，
∴
∴
∵，
∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为；
（3）∵
∴
如图，
当为底边时，点的坐标为；
当为腰时，点的坐标为或或；
综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或或．
9．(1)，
(2)
(3)
（1）解：对于直线，当时，，
∴．
∵抛物线顶点坐标为，
所以可设抛物线解析式为：．
∵抛物线经过点，
∴，得：．
∴抛物线解析式为．
解方程，
得：，．
当时，；当时，．
∴，；
（2）解：∵轴，点在直线上，点在抛物线上，
∴点横坐标为时，点纵坐标为，点纵坐标为．
∴线段的长度．
即：；
（3）解：由，配方得：．
，
当（点的横坐标为3）时，线段长度有最大值．
10．(1)
(2)取最大值；点P的坐标为．
（1）解：∵抛物线过，其对称轴为．
∴
解得：
∴
（2）解：由，
当时，，
则，
设直线的解析式为，则把点、代入，得
，
解得：，
∴直线的解析式为；
过点作轴，交于点，如图：
设点P 为，则点D为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，取最大值；
∴，
∴点P的坐标为．
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