二次函数与一元二次方程关键题型 期末专题练 初中数学人教版九上

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二次函数与一元二次方程关键题型 期末专题练 2024--2025学年初中数学人教版九年级上学期
一、单选题
1．已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．关于x的一元二次方程的根是，
C．
D．
2．抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
3．已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）

A．或 B．或 C． D．
7．二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数与一次函数的图象交于、两点，则一元二次方程的解为（ ）

A．， B． C．， D．
9．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
10．如图，已知二次函数（为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：
①；
②；
③对于任意实数t，总有；
④直线与此二次函数的图象一定有两个交点；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根为 ．
12．已知关于x的一元二次方程的两个根为、（）则实数，，，的大小关系为： ．
13．若关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第 象限．
14．若抛物线与x轴交于、两点，若，则c的最大值是 ．
15．已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为 ．
三、解答题
16．如图，已知抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过M两点，与x轴交于点N．

(1)点N（ ， ）；
(2)若抛物线与抛物线C关于y轴对称，求抛物线的解析式；
(3)若抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，与x轴的交点坐标为A，（点A在点的左边）
①求：的值；
②判断抛物线的顶点，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出直线解析式；不在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
18．如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点．
图⑴ 图⑵
(1)求这个拋物线的解析式．
(2)若点是直线上方抛物线上一个动点，过作轴交直线于，过作轴交轴于，以为邻边构造矩形，求矩形周长的最大值及此时点的坐标．
(3)如图（2），将线段向上平移1个单位长度，平移后的线段记作．然后将抛物线沿射线进行平移，平移的距离记为．若平移后的抛物线与线段有交点，请直接写出的取值范围．
参考答案：
1．C
解：由函数图像可知开口向下，与轴交于正半轴，
，，
∵对称轴为，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵抛物线与轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的根是，；故B不符合题意；
∵抛物线与轴交于，，对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴∵，
∴，故C符合题意；
∴；
∴错误，故D不符合题意；
2．C
解：∵的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的交点问题，
∵方程在的范围内有实数根，
当时，，
当时，，
当时，，
函数在时有最小值2，
∴，
3．B
解：∵a=1>0
∴抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是、
又∵的两根是抛物线与直线y=2的交点横坐标，且
∴抛物线的图象如图，

由图象可知：
4．C
解：∵二次函数图象上有两点分别为，，
∴方程的一个解，
∴方程的解为：，
即．
5．A
解：函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，
当时，此时与两坐标轴两个交点，
当时，则或，
解得，或，
由上可得，的值是0，或1，共4个．
6．B
∵抛物线与直线交于，
∴不等式为：或，
7．C
解：对称轴为直线x=-=1，
解得b=-2，
所以二次函数解析式为y=x2-2x，
y=（x-1）2-1，
x=1时，y=-1，
x=-2时，y=4-2×（-2）=8，
∵x2+bx-t=0的解相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当-1≤t＜8时，在-1＜x＜4的范围内有解．
8．A
解：∵，
∴一元二次方程的解即为二次函数与一次函数的图象交点的横坐标，
∵二次函数：与一次函数：的图象交于A，B两点，
∴由图像可得一元二次方程的解为：，．
9．C
∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①当a＜0时，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，
解得：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜或a≤﹣2
10．D
解：抛物线的顶点为，
，即，
，故①正确；
抛物线经过点，
，即，故②正确；
时，函数有最大值，
对于任意实数，总有，即，故③正确；
，，
，
时，二次函数有最大值，，
时，，
抛物线过点，
直线，
时，，时，，
直线经过点和点，
直线与此二次函数的图象一定有两个交点，故④正确．
11．
解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线．
设该抛物线与x轴的另一个交点是．则，
解得，，
即该抛物线与x轴的另一个交点是．
所以关于x的一元二次方程的根为．
故答案是：．
12．/
解：设函数，
当时，
，或，
当时，
由题意可知：的两个根为、（），由于抛物线开口向上，由抛物线的图象可知：，
故答案为：
13．四
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，，
∴抛物线的顶点在第四象限，
故答案为：四；
14．0
∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴
∴，
解得，
故c的范围是，
c的最大值是0．
15．
解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
根据翻折变换，关于轴的对称点为，
当直线与图象②恰有3个公共点时，如图所示：此时，

当直线与轴重合时，与图象②有2个公共点，此时，
当直线处于直线与直线之间时，与图象②有4个公共点，此时，
当直线位于直线上方时，与图象②有2个公共点，此时，
由图可知：当直线与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为，
故答案为：．
16．(1)，0
(2)
(3)①5350；②不在一条直线上，理由见解析
（1）解：∵M、N两点关于抛物线的对称轴直线对称，且，
∴点N的横坐标为：，
∴点N的坐标为；
故答案为：，0；
（2）解：∵，，且抛物线与抛物线C关于y轴对称，
∴抛物线与x轴的交点坐标分别为，抛物线与y轴的交点为；
设抛物线的解析式为，
代入，得，
解得，
∴；
（3）解：①令，得，
∴，其中，
∴；
②不在一条直线上．
，
设所在直线的解析式为：，
，
∴，
∴，
把点代入，
，
∴点不在直线上．
∴顶点不在一条直线上．
17．(1)
(2)，或
(3)的最大值是，此时的P点坐标是
（1）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
把A，B两点坐标代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵ ，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，点Q在y轴上（不与点O重合），
当时，
，
或；
当时，
，
，
；
综上所述，，或；
（3）解：∵在中，，
∴．
∵轴，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
设直线l的解析式为，
把A，B两点的坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线l的解析式为；
设点P的坐标为，则，
∴．
∵，
∴当时，有最大值是，此时最大，
∴，
当时，，
∴，
∴的最大值是，此时的P点坐标是．
18．(1)
(2)矩形周长的最大值是6，点
(3)与
（1）将点的坐标代入抛物线中得：
，解得：
∴这个抛物线的解析式是：．
（2）设点P的坐标为，
由矩形的性质可知，点D的横坐标为a，点Q的纵坐标为．
在抛物线中，令，得，
所以点，又，可设直线的解析式为：
代入，解得：
∴直线的解析式为：
∵点均在直线上，
将Q点纵坐标代入直线的解析式中得：，解得：
∴
∴矩形的周长：
当时，，此时L的最大值为6，此时
即矩形周长的最大值是6，此时点．
（3）∵抛物线沿直线向右平移，直线的方程为
∴每水平向右平移个单位，则同时垂直向上平移m个单位，
故可设平移后的抛物线方程为：
根据题意可知四边形边长为1的正方形．则，
①当抛物线右支与相交时（如图），
解得：，
∴
∵
∴
②当抛物线左支与相交时（如图），有
解得：
∴
∵
∴
综合①②可知，t的取值范围是：与
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