二次函数中求解析式关键题型 期末专题练 初中数学人教版九上

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二次函数中求解析式关键题型 期末专题练
2024--2025学年初中数学人教版九年级上学期
1．如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接．
(1)求的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．
2．如图1，抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)如图2，将该抛物线绕点旋转．
①求旋转后的抛物线的表达式．
②旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交于点，顺次连接，，，，求四边形的面积．
3．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B，当时，．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
4．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，，点N是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，过点N作轴交抛物线于点M．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)若点N沿抛物线向下移动，使得，求点N的纵坐标取值范围；
(3)若点P是抛物线上任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标的取值范围．
5．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，抛物线的对称轴与交于点D，连接，点F在x轴上，抛物线上是否存在点E，使得以O，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．
【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）
【解决问题】
(1)大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式；
(2)探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标x的取值范围；
(3)拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值．
8．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
(1)求的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点在抛物线上且满足，求的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
9．【综合与实践】如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线的解析式为．点为线段上的一个动点，过作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．探究线段的长度变化情况．
（1）写出点的坐标，并求抛物线的解析式；
【类比操作】因为点在直线上，且点和的横坐标都为，所以把代入得，故点的坐标为．
（2）用以上方法，请用含的式子表示点的坐标；
【探索发现】直线平行于轴，故线段的长度可以用点的纵坐标与点的纵坐标的差表示，线段的值随着点的运动而变化．
（3）求线段的长度与的函数解析式，并求出它的最大值．
10．【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．
【背景】已知二次函数（为常数），
(1)若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为 ；
(2)若该函数经过点；
①求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求 的值；
(3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出的取值范围．
参考答案：
1．(1)5
(2)抛物线的表达式为或或
（1）解：将、代入中，
得
解得
抛物线L的表达式为．
顶点．
过点P作轴于点D，则，
，，，
，，
．
（2）由题意知，四边形是面积为12的平行四边形，
当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，
由于，即要使的面积为12，只需，
点P'在y轴左侧，
抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，
此时，抛物线L'的表达式为；
当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，
由于，要使的面积为12，只需，
抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，
此时，抛物线L'的表达式为或．
综上，抛物线L'的表达式为或或．
2．(1)，
(2)①；②
（1）解：由题意可设二次函数的表达式为，将点代入得，
∴二次函数表达式为，
∴顶点的坐标为．
（2）解：①设旋转后抛物线的顶点坐标为，
∵为顶点和的中点，即，，
∴点的坐标为，
∵旋转前后图形的形状不变，开口相反，
∴，
故旋转后的抛物线表达式为；
②由①得点坐标为，
∵，点关于点对称，
∴点坐标为，
∵，，，，
∴，点到轴的距离为，点到轴的距离为，
∴．
3．(1)
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值是13
(3)或
（1）解：设抛物线解析式为，
当时，，
，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
即；
（2）解：，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
点和点关于直线对称，
，
矩形的周长，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值是13．
（3）解：当时，即，
解得，，
当线段与该函数图象的交点在对称轴的左侧时，
则，
解得；
当线段与该函数图象的交点在对称轴的右侧时，
则，
综上所述，n的取值范围为或．
4．(1)，对称轴为直线
(2)
(3)：或．
（1）解：∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，为抛物线上的点，
∴将，代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
∴对称轴为直线
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，，
∴点的横坐标的取值范围为，即，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，．
∴点的纵坐标的取值范围为．
（3）解：∵点与点的纵坐标的差的绝对值不超过3，
∴将代入得：，
解得：
将代入得：，
解得：
∴点横坐标的取值范围是：或，
故答案为：或．
5．(1)
(2)存在，或或或
（1）解：把点代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
抛物线的对称轴为直线，点，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴与交于点，
∴点为的坐标为，
当以为平行四边形的一边时，此时，即轴，
过点作轴，交抛物线于点，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或；
当以为平行四边形的对角线时，此时也为平行四边形的对角线，
设点的坐标为，点的坐标为，
，
解得：或，
∴点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或或．
6．(1)二次函数的解析式为：；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或或或
（1）解：点，，
，，
，
，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，
直线经过点和，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为：，
二次函数，
设点，则，
，
当时，的最大值为，
点的坐标为，
；
（3）解：存在，
，
对称轴为直线，
设，分三种情况：
点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，
解得：，
；
点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，
解得：，
；
点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，
解得：或，
或，
综上，点的坐标为或或或．
7．(1)
(2)
(3)最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为
（1）解：根据图中的坐标系以及题意可得，
点A的坐标为，点B的坐标为，
∵抛物线的顶点坐标为点，
∴可设抛物线的解析式为：，
把点代入可得：，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）解：∵种植苗木时，每棵苗木高，
∴当时，
解得：，，
∵苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布，
∴种植点的横坐标的取值范围为：；
（3）解：根据题中所知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔，
∴在距离y轴的两则开始种植，最前排可种植：（棵），
则最左边一棵苗木种植点的横坐标．
答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为．
8．(1)，
(2)或或或
(3)
（1）解：把点的坐标为代入抛物线得：，
解得：，
，
顶点坐标为：．
（2）解：点的坐标为，由（1）知的对称轴为，
，
令，则，
，
，
设，
，
整理得：或，
解得：，
点的坐标为或或或；
（3）解：连接交抛物线对称轴于点，连接，则此时的值最小，
设直线的解析式为：，
点，点，
，
解得：．
直线的解析式为：，
当时，，
当的值最小时，点的坐标为：．
9．（1）点坐标为，抛物线解析式为，（2），它的最大值．
解：（1）∵直线的解析式为与轴交于点，即，，
∴点坐标为，
又∵点是抛物线与轴的交点；
∴，
∴抛物线解析式为，
（2）∵点在抛物线解析式上，
∴当代入得，
即点
（3）∵P在线段上运动
∴M点在N点上方，
∵，
∴
∴当时，有最大值，的最大值为
10．(1)
(2)①；②
(3)
（1）根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得．
故答案为：．
（2）①将点代入，得：，
解得：，
∴，
将代入，得：，
解得：，
∴函数图象上的“三倍点”坐标为．
②∵，
∴，
当时，，
当时，，
∴，
∴．
（3）由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得：，
则，
解得：；
把代入得，代入得，
∴，
解得：；
把代入得，代入得，
∴，
解得：，
综上，的取值范围为：．
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